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(四)創(chuàng)新試題
1. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列,對(duì)一切正整數(shù),點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上,且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.
⑴求點(diǎn)的坐標(biāo);
⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸,第條拋物線的頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn),記與拋物線相切于的直線的斜率為,求:.
2. 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4…)
(1)求證 數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t),作數(shù)列{bn},使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn;
(3)求和 b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
創(chuàng)新試題答案
1.解:(1)
(2)的對(duì)稱軸垂直于軸,且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為:
把代入上式,得,的方程為:。
,
=
2.解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)-(2t+3)=3t ∴a2=
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, ①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0 ∴,n=2,3,4…,
所以{an}是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列;
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn-1
可見(jiàn){bn}是一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列 于是bn=1+(n-1)=;
(3)由bn=,可知{b2n-1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和,公差均為的等差數(shù)列,
于是b2n=,
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)
=- (b2+b4+…+b2n)=-.n(+)=- (2n2+3n)
四、復(fù)習(xí)建議
1.“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要,但用“基本量法”并樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地運(yùn)用條件,又要時(shí)刻注意題的目標(biāo),往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果
2.歸納--猜想--證明體現(xiàn)由具體到抽象,由特殊到一般,由有限到無(wú)限的辯證思想.學(xué)習(xí)這部分知識(shí),對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,計(jì)算能力,熟悉歸納、演繹的論證方法,提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力,都有重大意義.
3.解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法,一般遞推法,數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題.
4.?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解.
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