2009屆江蘇省蘇北十校期末聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題2009.1

必做題部分

(時(shí)間120分鐘,滿分160分)

一.填空題:本大題14小題,每小題5分,共70分.請(qǐng)將正確的答案填在答題紙上相應(yīng)的橫線上.

1. 若復(fù)數(shù)z滿足(i是虛數(shù)單位),則z=__________.

 

2. 已知集合,,則           

 

3. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則       .

4. 已知,則      

5. 一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都減去構(gòu)成一組新數(shù)據(jù),則這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,方差是,則原來一組數(shù)的方差為            .

 

6. 定義在R上的偶函數(shù)上是增函數(shù).若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是                .

 

7. 函數(shù)(常數(shù))為偶函數(shù),且在上是單調(diào)遞減函數(shù),則的值為_________.

 

8. 從集合中任取兩個(gè)元素),則方程所對(duì)應(yīng)的曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率是 ­­­­­        

 

9. 已知為互相垂直的單位向量,,且的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.

 

10.若直線與圓相切,則實(shí)數(shù)的取值范圍是     

 

11. 定義:若對(duì)定義域上的任意實(shí)數(shù)都有,則稱函數(shù)上的零函數(shù).根據(jù)以上定義,“上的零函數(shù)或上的零函數(shù)”為“的積函數(shù)是上的零函數(shù)”的                   條件.

 

12. 已知為拋物線上一點(diǎn),設(shè)到準(zhǔn)線的距離為到點(diǎn)的距離為,則的最小值為________.

 

13. 已知函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是           

 

14. 三位同學(xué)合作學(xué)習(xí),對(duì)問題“已知不等式對(duì)于恒成立,求的取值范圍”提出了各自的解題思路.

 甲說:“可視為變量,為常量來分析”.

 乙說:“尋找的關(guān)系,再作分析”.

 丙說:“把字母單獨(dú)放在一邊,再作分析”.

參考上述思路,或自已的其它解法,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍是         

 

二.解答題:本大題6小題,共90分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本大題14分,第一小題7分,第二小題7分)

如圖,在三棱柱中,四邊形為菱形,,四邊形為矩形,若,

⑴求證:平面平面;

⑵求三棱柱的體積.

 

 

 

 

16. ( 本大題14分,第一小題7分,第二小題7分)

已知二次函數(shù),若對(duì)任意x、xR,恒有2f(≤f(x)+f(x)成立,不等式f(x)<0的解集為A.

(1)求集合A;

(2)設(shè)集合,若集合B是集合A的子集,求的取值范圍.

 

 

 

 

 

17.( 本大題15分,第一小題7分,第二小題8分)

已知,在平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

.

(1)若,求的值;

(2)若,求的值.

 

 

 

 

 

18. ( 本大題15分,第一小題7分,第二小題8分)

⑴在長度為的線段上任意作一點(diǎn),求的概率;

⑵若將長度為的線段截成三段,則三段長能圍成一個(gè)三角形的概率有多大.

 

 

 

 

 

 

 

 

19. ( 本大題16分,第一小題5分,第二小題5分,第三小題6分)

如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、,我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.

(1)已知橢圓,判斷是否 

相似,如果相似則求出的相似比,若不相似請(qǐng)說明理由;

(2)寫出與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程,并列舉  

相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);

(3)已知直線,在橢圓上是否存在兩點(diǎn)、關(guān)于直

對(duì)稱,若存在,則求出函數(shù)的解析式.

 

 

 

 

 

20. ( 本大題16分,第一小題5分,第二小題5分,第三小題6分)

已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:,

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求非零常數(shù)c;

(3)若(2)中的的前n項(xiàng)和為,求證:

 

數(shù)學(xué)附加題

(時(shí)間30分鐘,滿分40分)

一.選答題:本大題共4小題,請(qǐng)從這4題中選做2小題,如果多做,則按所做的前兩題記分.每小題10分,共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

1.(幾何證明選講)

如圖,已知AD是ΔABC的外角ÐEAC的平分線,交BC的延長線于點(diǎn)D,延長DA 交ΔABC的外接圓于點(diǎn)F,連結(jié)FB、FC.

(1)求證:FB=FC;

(2)求證:FB2=FA?FD;

(3)若AB是ΔABC外接圓的直徑,ÐEAC=120°,  BC=6cm,求AD的長.

2.(不等式選講)

對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

3.(矩陣與變換)

設(shè),若矩陣把直線變換為另一直線,求的值.

4.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)

從極點(diǎn)作直線與另一直線相交于點(diǎn),在上取一點(diǎn),使.

⑴求點(diǎn)的軌跡方程;

⑵設(shè)為直線上任意一點(diǎn),試求的最小值.

選做第_______題:

 

選做第_______題:

 

二.必答題:本大題共2小題,第一小題8分,第二小題12分,共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

5. 已知數(shù)列滿足,且().

  ⑴求的值;

⑵由⑴猜想的通項(xiàng)公式,并給出證明.

 

 

 

 

 

 

 

 

6.學(xué)校文藝隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng),已知會(huì)唱歌的有人,會(huì)跳舞的有人,現(xiàn)從中選人.設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù),且.

  ⑴求文藝隊(duì)的人數(shù);

⑵寫出的概率分布列并計(jì)算.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一.填空題:

1.     2.    3.  64    4.     5.      6.   

7.  1    8.    9.      10.     11.  充分非必要    12.  4 

 13.    4   14.  

二.解答題:

15.[解]:⑴略;⑵.

16. 解:(1)對(duì)任意x、xR,由≥0成立.

要使上式恒成立,所以!3分

由f(x)=ax+x是二次函數(shù)知a≠0,故a>0. ………………………………4分

解得!5分

(2) 解得,…………………………………………………6分

因?yàn)榧螧是集合A的子集,所以…………………………8分

,…………………………………………………………………11分

化簡得,解得………………14分

17. [解]:(1)

.

,∵ ,∴.      ---------7分

(2),得

     ,.

  兩邊平方得,.

  ∴ 原式.---------14分

18. 解:(1)(2)

19. [解]:(1)橢圓相似.

因?yàn)?sub>的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,而橢圓的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為.       ------- 4分

(2)橢圓的方程為:.------------------------7分

兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有:                          寫出一個(gè)給1分

①     兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方;

②     分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似,相似比即為橢圓的相似比;

③     兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合;

過原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比.    ----10分

(3)假定存在,則設(shè)所在直線為,中點(diǎn)為.

.-------------------12分

所以.

中點(diǎn)在直線上,所以有.-------------16分

.

.-------------18分

 

20.解:(1)為等差數(shù)列,∵,又

,是方程的兩個(gè)根

又公差,∴,∴, ……………………………………   2分

   ∴   ∴……………………………………  4分

(2)由(1)知, ………………………………………… 5分

………………………………………………………………   6分

,, ………………………………………………  8分

是等差數(shù)列,∴,∴ ……………………………     9分

舍去) …………………………………………………………… 10分

(3)由(2)得 ………………………………………………………… 12分

  時(shí)取等號(hào) ………… 15分

,時(shí)取等號(hào)…17分

(1)、(2)式中等號(hào)不可能同時(shí)取到,所以 ………………… 18分

附加題:

                                                          

1. 解:(1)∵AD平分ÐEAC,∴ÐEAD=ÐDAC.

∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓,∴ÐDAC=ÐFBC.

    ∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB,∴ÐFBC=ÐFCB,∴FB=FC.

(2)∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC ,ÐAFB=ÐBFD,

     ∴ΔFBA∽ΔFDB.∴,∴FB2=FA?FD.

(3)∵AB是圓的直徑,∴ÐACB=90°.

     ∵ÐEAC=120°, ∴ÐDAC=ÐEAC=60°,ÐBAC=60°.∴ÐD=30°.

     ∵BC= 6, ∴AC=. ∴AD=2AC=cm.

 

 


同步練習(xí)冊(cè)答案