一些數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用
李光斗 趙國(guó)瑞
在直線,射線,線段這一部分內(nèi)容中,滲透了許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法,下面舉例說(shuō)明。
一. 數(shù)形結(jié)合思想
例1. 同學(xué)們?nèi)ス放灾矘?shù),每隔3m植一棵樹(shù),問(wèn)在21m長(zhǎng)的公路旁最多可植幾棵樹(shù)?你可能會(huì)不假思索地在回答,三七二十一,可植樹(shù)7棵,那就錯(cuò)了,結(jié)合圖形觀察后就知道了。
解:從圖1看,顯然可植8棵。
圖1
說(shuō)明:對(duì)于這類題目要注意考慮線段的端點(diǎn),否定容易出錯(cuò)。
二. 方程思想
例2. 點(diǎn)D、E在線段AB上,且都在AB中點(diǎn)的同側(cè),點(diǎn)D分AB為2:5兩部分,點(diǎn)E分AB為4:5兩部分,若DE=5cm,則AB的長(zhǎng)為( )。
圖2
解:由題意,得如圖2所示,設(shè)AB=x,則,由,得,解得,即。
三. 整體思想
例3. 已知:如圖3所示,C是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)D、E分別是AC、CB的中點(diǎn),若,求線段DE的長(zhǎng)。
圖3
解:∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)
說(shuō)明:解答本題的關(guān)鍵是逆用分配律得出待求線段和已知線段這個(gè)整體的關(guān)系。
四. 分類討論思想
例4. 已知線段AB=8cm,在直線AB上畫(huà)線段BC使它等于3cm,求線段AC的長(zhǎng)。
圖4
分析:由于點(diǎn)C可能在線段AB上,也可能在線段AB外,因此需要分類討論。
解:當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),如圖4所示,。
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí),如圖5所示,。
圖5
因此線段AC長(zhǎng)為5cm或11cm。
五. 歸納猜想思想
例5. (2001年江蘇無(wú)錫中考題)
根據(jù)題意,完成下列填空:如圖6所示,與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線,它們有一個(gè)交點(diǎn),如果在這個(gè)平面內(nèi),再畫(huà)第3條直線,那么這3條直線最多可有( )個(gè)交點(diǎn);如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫(huà)第4條直線,那么這4條直線最多可有( )個(gè)交點(diǎn);由此我們可以猜想:在同一平面內(nèi),6條直線最多可有( )個(gè)交點(diǎn)。n(n為大于1的整數(shù))條直線最多可有( )個(gè)交點(diǎn)(用含n的代數(shù)式表示)。
解:(1)畫(huà)圖觀察
圖6
(2)列表歸納
(3)猜想:
,……
于是,可猜想n條直線最多可有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為:
于是,當(dāng)時(shí),個(gè)交點(diǎn)。
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