完全平方公式變形的應(yīng)用
姜峰
完全平方公式是多項(xiàng)式乘法中非常重要的一個(gè)公式。掌握其變形特點(diǎn)并靈活運(yùn)用,可以巧妙地解決很多問(wèn)題。
一. 完全平方公式常見(jiàn)的變形有
a2+b2=(a+b)2-2ab,
a2+b2=(a-b)2+2ab,
(a+b)2-(a-b)2=4ab,
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)
二. 乘法公式變形的應(yīng)用
例1: 已知:x2+y2+4x-6y+13=0,x、y均為有理數(shù),求xy的值。
分析:逆用完全乘方公式,將
x2+y2+4x-6y+13化為兩個(gè)完全平方式的和,利用完全平方式的非負(fù)性求出x與y的值即可。
解:∵x2+y2+4x-6y+13=0,
(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0,
即(x+2)2+(y-3)2=0。
∴x+2=0,y=3=0。
即x=-2,y=3。
∴xy=(-2)3=-8。
分析:本題巧妙地利用
例3 已知:a+b=8,ab=16+c2,求(a-b+c)2002的值。
分析:由已知條件無(wú)法直接求得(a-b+c)2002的值,可利用(a-b)2=(a+b)2-4ab確定a-b與c的關(guān)系,再計(jì)算(a-b+c)2002的值。
解:(a-b)2=(a+b)2-4ab=82-4(16+c2)=-4c2。
即:(a-b)2+4c2=0。
∴a-b=0,c=0。
∴(a-b+c)2002=0。
例4 已知:a、b、c、d為正有理數(shù),且滿(mǎn)足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求證:a=b=c=d。
分析:從a4+b4+C4+D4=4abcd的特點(diǎn)看出可以化成完全平方形式,再尋找證明思路。
證明:∵a4+b4+C4+D4=4abcd,
∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0,
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0。
a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0
又∵a、b、c、d為正有理數(shù),
∴a=b,c=d。代入ab-cd=0,
得a2=c2,即a=c。
所以有a=b=c=d。
練習(xí):
1. 已知:x2+3x+1=0。
2. 已知x,y,z滿(mǎn)足條件
求:(1)x2+y2+z2
(2)x4+y4+z4的值
3. 已知:x=a2+b2,y=c2+d2。
求證:x,y可表示成平方和的形式。
4. 已知:ad-bc=1
求證:a2+b2+c2+d2+ad+cd≠1。
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