湖北省鄂州市2009屆高三五月模擬試題
數(shù)學(xué)(理科)
命題人:胡俊峰 審題人:王兆良
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)=(2,-3),=(-4,3),=(5,6),則(+3)?等于
A.(-50,36) B.-
2.“a=”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+≥
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量滿足(-)?(-)=0,則的最大值是
A.1 B.
4.如圖,AB=AC=BD=1,ABM,AC⊥M,
BD⊥AB,BD與面M成30o角,則CD等于
A.1 B.2
C. D.
5.函數(shù)y=f (x)的反函數(shù)為f -1(x),則函數(shù)y=f (x+1)+1的反函數(shù)為
A.y=f -1(x+1)+1 B.y=f -1(x-1)-1
C.y=f -1(x-1)+1 D.y=f -1(x+1)-1
6.已知f (x)=,當(dāng)θ∈(π,π)時(shí),f (sin2θ)-f (-sin2θ)可化簡(jiǎn)為
A.2sinθ B.-2cosθ C.2cosθ D.-2sinθ
7.三對(duì)夫妻排成一行,夫妻不相鄰的不同排法共有( )種
A.360 B.
8.下列函數(shù)中在x=0處連續(xù)的是
A. B.
C.f (x)=(1+x) D.
9.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F 的直線l從上到下依次交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于C,若,=3,則拋物線的方程為
A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=
10.設(shè),若對(duì)任何x≥0,都有f (x)≤ax,則a∈
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分。把答案填在相應(yīng)位置上。
11.判斷正假(填“真”或“假”)已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足且z1+2z2為純虛數(shù),則3z1-z2為實(shí)數(shù)______________.
12.已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上動(dòng)點(diǎn)QA、QB分別切⊙M于A、B兩點(diǎn),則直線AB恒過定點(diǎn)______________.
13.已知數(shù)列滿足a1=1,an=a1+
14.已知f (x)是R上的函數(shù),且f (x+2)=,若f (1)=,則f (2009)=_______.
15.設(shè)a∈R,f (x)=ax2+x?a(?1≤x≤1),當(dāng)a=_______時(shí),f (x)max=.
三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
16.(本小題滿分12分)已知函數(shù),.
⑴求f (x)的最值;
⑵若不等式<2在上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
17.(本小題滿分12分)如圖,已知四棱錐P―ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60o,E、F 分別是BC、PC的中點(diǎn).
⑴證明:AE⊥PD;
⑵若H為PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成最大角的正
切值為,求二面角E―AF―C的余弦值.
18.(本小題滿分12分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立,每道工序加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí),對(duì)每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí),產(chǎn)品為一等品,其余均為二等品.
⑴已知甲、乙兩種產(chǎn)品第一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示,分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙;
⑵已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示,用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn),在⑴的條件下,求ξ、η的分布列及Eξ、Eη;
⑶已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金數(shù)如表三所示,該工廠有工人40名,可用資金60萬元,設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量,在⑵的條件下,x、y為何值時(shí),z=xEξ+yEη最大?最大值是多少?
19.已知兩定點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)圓M與直線AB相切于點(diǎn)N,且,現(xiàn)分別過點(diǎn)A、B作動(dòng)圓M的切線(異于直線AB),兩切線相交于點(diǎn)P.
⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
⑵若直線x?my?3=0截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得的弦長(zhǎng)為5,求m的值;
⑶設(shè)過軌跡上的點(diǎn)P的直線與兩直線分別交于點(diǎn)P1、P2,且點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ(λ>0),當(dāng)λ∈時(shí),求的最值.
20.(本小題滿分13分)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意n∈N+總有an,Sn,成等差數(shù)列.
⑴求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
⑵設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且.求證:對(duì)任意x∈(1,e]和n∈N+,總有Tn<2;
⑶正數(shù)數(shù)列{an}中,an+1=(cn)n+1(n∈N+).求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng).
21.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).
⑴求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
⑵是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式f (x)≥a的解集為(0,+∞)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,試說明理由.
鄂州市2009屆高三五月模擬試題
一、選擇題
1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.D
二、填空題
11.真 12. 13. 14.2+ 15.-2
三、解答題
16.⑴∵ 1分
= 3分
又由得 ∴ 5分
故,f (x)max=1+2×1=3 6分
⑵<2在上恒成立時(shí) 9分
結(jié)合⑴知: 故m的取值范圍是(1,4) 12分
17.⑴連結(jié)AC,△ABC為正△,又E為BC中點(diǎn),∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD,又PA⊥平面ABCD
故AD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影,由三垂線定理知:AE⊥PD。 4分
⑵連HA,由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角 5分
而tan∠AHE=故當(dāng)AH最小即AH⊥PD時(shí)EH與平面PAD所成角最大
6分
令A(yù)B=2,則AE=,此時(shí)
∴AH=,由平幾知識(shí)得PA=2 7分
因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD
過E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC
過O作OS⊥AF于S,連結(jié)ES,則∠ESO
為二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中,EO=AE?sin30°=,AO=AE?cos30°=
又F是PC的中點(diǎn),在Rt△ASO中,SO=AO?sin45°=
又SE=,在Rt△ESO中,cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值為 12分
注:向量法及其它方法可參照給分。
18.⑴P甲=0.8×0.85=0.68,P乙=0.75×0.8=0.6 3分
⑵隨機(jī)變量ξ、η的分布列如下:
ξ
5
2.5
η
2.5
1.5
P
0.68
0.32
P
0.6
0.4
Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2,Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1 7分
⑶由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y 9分
作出可行域(如圖):
作直線l:4.2x+2.1y=0,將l向右上方平移到l1位置時(shí)
直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大
此時(shí)Z=4.2x+2.1y取得最大值,又M(4,4)
即x=y(tǒng)=4時(shí),z取最大值25.2。 12分
19.⑴由題設(shè)及平面幾何知識(shí)得
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支由,
∴b2=c2-a2=5,故所求P點(diǎn)的軌跡方程為 3分
⑵易知直線x?my?3=0恒過雙曲線焦點(diǎn)B(3,0)
設(shè)該直線與雙曲線右支相交于D(xD,yD),E(xE,yE)由雙曲線第二定義知
,又a=2,c=3,
∴e=則 5分
由|DE|=5,得,從而易知僅當(dāng)m=0時(shí),滿足|DE|=5
故所求m=0 7分
⑶設(shè)P(x,y),P1(x1、y1),P2(x2、y2)且P分有向線段所成的比為λ,則
,又點(diǎn)P(x,y)在雙曲線
上,∴,化簡(jiǎn)得,
又,,∴ 9分
令 ∵在上單減,在上單增,
又 ∴在上單減,在上單增,∴umin=u(1)=4,
又, ∴umin=
故的最小值為9,最大值為。
20.⑴由已知,對(duì)于n∈N+總有①,∴②
①-②得∴
∵an>0,∴∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時(shí),,解得a1=1,∴an=n(n∈N+)。 4分
⑵證明:∵an=n,則對(duì)任意和,總有 6分
∴
8分
⑶解:由已知,,
,
易得c1<c2,c2>c3>c4>…猜想n≥2時(shí),是單調(diào)遞減數(shù)列 10分
令,則
∴當(dāng)x≥3時(shí),f’ (x)<0,故在內(nèi)f (x)單減 12分
由an+1=(cn)n+1知
∴n≥2時(shí),是單減數(shù)列,即{cn}是單減數(shù)列,又c1<c2
∴{cn}中最大項(xiàng)為
21.⑴ 3分
故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)>0,x∈(1,+∞)時(shí)<0
所以在(0,1)單增,在(1,+∞)單減 5分
由此知在(0,+∞)內(nèi)的極大值為=ln2,沒有極小值 6分
⑵(i)當(dāng)a≤0時(shí),由于
故關(guān)于x的不等式的解集為(0,+∞) 10分
(ii)當(dāng)a>0時(shí),由知
其中n為正整數(shù),且有
又n≥2時(shí),且
取整數(shù)no滿足no>-log2(e-1),no>且no≥2
即
即當(dāng)a>0時(shí),關(guān)于x的不等式的解集不是(0,+∞) 13分
綜合(i)、(ii)知,存在a使得關(guān)于x的不等式的解集為(0,+∞)且a的取值范圍為(-∞,0]
法二:
注:事實(shí)上,注意到定義域?yàn)?0,+∞),只須求之下限
結(jié)合(1),并計(jì)算得
故所求a值存在,其范圍是(-∞,0]
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