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上 海 市
2009年高三十四校聯(lián)考模擬試卷
數(shù)學(xué)試題(理科)
考試用時120分鐘 滿分150分
一、填空題(本大題滿分60分,共12小題,每小題滿分5分)
二、選擇題(本大題滿分16分,共4小題,每小題滿分4分)
15.對任意正整數(shù)n,定義n的雙階乘n。∪缦拢寒(dāng)n為偶數(shù)時,
16.三個半徑為1的球互相外切,且每個球都同時與另外兩個半徑為r的球外切。如果這兩個半徑為r的球也互相外切,則r的值為 ( )
三、解答題(本大題滿分74分,共5小題)
17.(本題滿分12分)
如圖,三棱錐P―ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中點。
18.(本題滿分14分)
19.(本題滿分14分)
20.(本題滿分18分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分)
冬天,潔白的雪花飄落時十分漂亮。為研究雪花的形狀,1904年,瑞典數(shù)學(xué)家科克(Koch Heige Von)把雪花理想化,得到了雪花曲線,也叫科克曲線。它的形成過程如下:
(i)將正三角形(圖①)的每邊三等分,并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形,然后去掉底邊,得到圖②;
(ii)將圖②的每邊三等分,重復(fù)上述作圖方法,得到圖③;
(iii)再按上述方法無限多次繼續(xù)作下去,所得到的曲線就是雪花曲線。
21.(本題20分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題6分,第4小題4分)
我們知道,判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。
(m、n不同時為0)的距離分別為d1、d2,且直線L與橢圓M相切,試求d1?d2的值。
(3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件,并證明。
(4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線,請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證明)。
一、填空題(本大題滿分60分,共12小題,每小題滿分5分)
10. 6 11.①⑤ 12. 2
二、選擇題(本大題滿分16分,共4小題,每小題滿分4分)
三、解答題(本大題滿分74,共5小題)
17.解:(1)取BC的中點F,連接EF、AF,則EF//PB,
所以∠AEF就是異面直線AE和PB所成角或其補(bǔ)角;
……………3分
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,
(2)因為E是PC中點,所以E到平面ABC的距離為 …………10分
18.(本題滿分14分)
19.(本題滿分14分)
20.(本題滿分16分,第1小題滿分6分,第2小題滿分10分)
(3)都是等比數(shù)列,且是單調(diào)遞增的數(shù)列;
雪花曲線的特性是周長無限增大而面積有限的圖形。 ………………16分
(第3小題酌情給分)
21.(本題20分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題6分,第4小題4分)
消去
(3)設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點,點F1、F2到直線
的距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與橢圓相交的充要條件為:;直線L與橢圓M相切的充要條件為:;直線L與橢圓M相離的充要條件為: ……14分
命題得證。
(寫出其他的充要條件僅得2分,未指出“F1、F2在直線L的同側(cè)”得3分)
(4)可以類比到雙曲線:設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個焦點,點F1、F2到直線距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為:;直線L與雙曲線M相切的充要條件為:;直線L與雙曲線M相離的充要條件為:
………………20分
(寫出其他的充要條件僅得2分,未指出“F1、F2在直線L的同側(cè)”得3分)
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