2009屆高考數(shù)學壓軸題預測

專題四  解析幾何

考點一  曲線（軌跡）方程的求法

1.       設(shè)上的兩點，

滿足，橢圓的離心率短軸長為2，0為坐標原點.

    （1）求橢圓的方程；

    （2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

    （3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 解析：本例（1）通過，，及之間的關(guān)系可得橢圓的方程；（2）從方程入手，通過直線方程與橢圓方程組成方程組并結(jié)合韋達定理；（3）要注意特殊與一般的關(guān)系，分直線的斜率存在與不存在討論。

 答案：（1）

橢圓的方程為 

   （2）設(shè)AB的方程為

由

由已知

    2

  （3）當A為頂點時，B必為頂點.S_△AOB=1    

當A，B不為頂點時，設(shè)AB的方程為y=kx+b

所以三角形的面積為定值.

  點評：本題考查了直線與橢圓的基本概念和性質(zhì)，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解析幾何的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。

2.       在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為 A（0，－1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點G、M同時滿足① ,  ②= = ③∥    

（1）求頂點C的軌跡E的方程

（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點F的坐標為（, 0） ，已知∥ ,  ∥且?= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達點特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，靈活的運算技巧是解決好本題的關(guān)鍵。

 答案：（1）設(shè)C ( x , y )， ,由①知,G為        

△ABC的重心 ，    G(,)   由②知M是△ABC的外心，M在x軸上

 由③知M（，0），

由  得

化簡整理得：（x≠0）。

 （2）F（，0 ）恰為的右焦點

  設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±，則直線PQ的方程為y = k ( x －)

由

設(shè)P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ )  則x₁ + x₂ =  ,    x₁?x₂ =        

則| PQ | = ?

       =  ?

       =  

  RN⊥PQ,把k換成得 | RN | =   

  S =| PQ | ? | RN |

      =  =) 

≥2 ， ≥16

≤ S  < 2 ， (當 k = ±1時取等號)

又當k不存在或k = 0時S = 2

綜上可得  ≤ S ≤ 2

 S_max = 2 ， S_min =   

  點評：本題考查了向量的有關(guān)知識，橢圓與直線的基本關(guān)系，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式，轉(zhuǎn)化的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。

考點二  圓錐曲線的幾何性質(zhì)

3.       如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點  P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點  已知四邊形為平行四邊形， 

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；

（Ⅱ）當時，經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程 

分析:  圓錐曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合其它圖形的考查是重點。注意靈活應用第二定義。

解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又， 

（Ⅱ）當時，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，

又，由得：，解得，則，所以為所求

點評：本題靈活的運用到圓錐曲線的第二定義解題。

4.       設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線 

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設(shè)為右準線上不同于點（4，0）的任意一點， 若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明：點在以為直徑的圓內(nèi) 

分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝ 

故橢圓的方程為   

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 

設(shè)M（x₀，y₀） 

∵M點在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）                 1

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P（4，） 

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，） 

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）        2

將1代入2，化簡得?＝（2－x₀） 

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內(nèi) 

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）  設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點Q的坐標為（，），

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又點M在橢圓上，則，即        5

于是將4、5代入3，化簡后可得－＝ 

從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi) 

點評：本題關(guān)鍵是聯(lián)系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力

考點三  直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題

5.       已知拋物線C：上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；

（3）求出一個數(shù)學問題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．

    例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求側(cè)棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側(cè)面面積之和的最小值”．

   現(xiàn)有正確命題：過點的直線交拋物線C：于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過焦點F。

   試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。

解析：

答案：解：（1）

（2）設(shè)（t>0），則，F(xiàn)(1,0)。

因為M、F、N共線，則有，

所以，解得，

所以，

因而，直線MN的方程是。

（3）“逆向問題”一：

①已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

證明：設(shè)過F的直線為y=k(x)，，，則

由得，所以， ， =，

所以直線RQ必過焦點A。

②過點的直線交拋物線C于P、Q兩點，F(xiàn)P與拋物線交于另一點R，則RQ垂直于x軸。

③已知拋物線C：，過點B(m,0 )（m>0）的直線交拋物線C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A(-m,0)。

 “逆向問題”二：已知橢圓C：的焦點為F₁(-c,0)，F(xiàn)₂(c,0)，過F₂的直線交橢圓C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

 “逆向問題”三：已知雙曲線C：的焦點為F₁(-c,0)，F(xiàn)₂(c,0)，過F₂的直線交雙曲線C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

考點四  圓錐曲線的應用

（1）．圓錐曲線的標準方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。

6.       （2004年全國高考天津理科22題）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若 OP?O Q = 0，求直線PQ的方程；

（3）設(shè) A P =  AQ（＞1），過點P且平行與準線L的直線與橢圓相交于另一點M，證明  FM = - FQ 。

分析：（1）要求橢圓的方程及離心率，很重要的一點就是要熟悉這種二次曲線的標準方程的中心、長軸長、短軸長、焦點坐標、標準方程、離心率、焦距等有關(guān)概念及幾何性質(zhì)。解：（1）根據(jù)已知條件“橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A�！� 可設(shè)橢圓的方程為 （a＞），從而有；又因可以有，聯(lián)系以上這兩個關(guān)于a、c的方程組并解得a=，c=2，所以橢圓的方程為，離心率e=。

（2）根據(jù)已知條件 “O P?O Q = 0” ，我們可設(shè) P ，Q，把兩個向量的數(shù)量積的形式轉(zhuǎn)化為坐標表示的形式，再根據(jù)直線 PQ 經(jīng)過 A（3，0），只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程。而P、Q兩點又在橢圓上，因此，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^直線y=k（x-3）與橢圓，聯(lián)系方程組消去一個未知數(shù)y（或x）得，并利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合及不難求出k=，這里應特別注意K的值要保證＞0成立，否則無法保證直線PQ與橢圓有兩個交點。

（3）要證F M =- F Q ，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^式中兩個向量FM、FQ的坐標之間關(guān)系來謀求證題的方法。為此我們可根據(jù)題意“過點P且平行為準線L的直線與橢圓相交于另一點M”，求得點M坐標為。又因AP=AQ，易知FM、FQ的兩個縱坐標已經(jīng)滿足，所以現(xiàn)在要考慮的問題是如何證明FM、FQ的兩個橫坐標應該滿足，事實上，

注意到＞1，解得    ⑤

因F（2，0），M，故FM==。

  ==

又FQ=，因此FM=-FQ。

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)概念，直線方程、平面向量的坐標表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關(guān)系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎(chǔ)思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。

把兩個向量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個向量坐標之間的關(guān)系，再通過代數(shù)運算的方法來解決有關(guān)向量的問題是一種常用的解題手段。

7.       （江蘇卷）已知，記點P的軌跡為E.

   （1）求軌跡E的方程；

   （2）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點.

       （i）無論直線l繞點F₂怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點，使恒成立，求實數(shù)m的值.

       （ii）過P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍.

解析：

答案：解：（1）由知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

   （2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

    解得k² >3

   （i）