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2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù) 學(xué)

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨立，那么

P(A?B)=P(A)?P(B) 其中R表示球的半徑球的體積公式

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是

P，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k

次的概率其中R表示球的半徑

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有

（1）若的終邊所在象限是

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

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（2）對于，給出下列四個不等式

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① ②

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③ ④

其中成立的是

（A）①與③ （B）①與④ （C）②與③ （D）②與④

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（3）已知α、β是不同的兩個平面，直線，命題無公共點；命題. 則的

（A）充分而不必要的條件（B）必要而不充分的條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要的條件

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（4）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足

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（A）0 （B）1 （C）（D）2

（5）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p₁，乙解決這個問題的概率是 p₂，那么恰好有1人解決這個問題的概率是

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（A）（B）

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（C）（D）

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（6）已知點、，動點，則點P的軌跡是

（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線

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（7）已知函數(shù)，則下列命題正確的是

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（A）是周期為1的奇函數(shù) （B）是周期為2的偶函數(shù)

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（C）是周期為1的非奇非偶函數(shù) （D）是周期為2的非奇非偶函數(shù)

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（8）已知隨機變量的概率分布如下：

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則

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（A）（B）（C）（D）

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（9）已知點、，動點P滿足. 當(dāng)點P的縱坐標(biāo)是時，

點P到坐標(biāo)原點的距離是

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（A）（B）（C）（D）2

（10）設(shè)A、B、C、D是球面上的四個點，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是

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（A）（B）（C）（D）

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（11）若函數(shù)的圖象（部分）如圖所示，則的取值是

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（A）（B）

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（C）（D）

（12）有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

（A）234 （B）346 （C）350 （D）363

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

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（14）= .

（15）如圖，四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD

為正方形，側(cè)棱與底面邊長均為2a，

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且，則側(cè)棱AA₁和截面B₁D₁DB的距離是 .

（16）口袋內(nèi)裝有10個相同的球，其中5個球標(biāo)有數(shù)字0，5個球標(biāo)有數(shù)字1，若從袋中摸出5個球，那么摸出的5個球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是 .（以數(shù)值作答）

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點.

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（Ⅱ）求二面角P―AB―F的平面角的余弦值.

（18）（本小題滿分12分）

設(shè)全集U=R

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解關(guān)于x的不等式

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（19）（本小題滿分12分）

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設(shè)橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，點N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：

（Ⅰ）動點P的軌跡方程；

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（Ⅱ）的最小值與最大值.

（20）（本小題滿分12分）

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甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠. 由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系.

若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格），

（Ⅰ）將乙方的年利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；

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（Ⅱ）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？

（21）（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)

（Ⅰ）求a的值；

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（Ⅱ）設(shè)

（22）（本小題滿分12分）

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已知函數(shù).

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（Ⅰ）求函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

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（Ⅱ）假設(shè)對任意成立，求實數(shù)m的取值范圍.

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)學(xué)試題答案與評分參考

（1）D （2）D （3）B （4）C （5）B （6）D

（7）B （8）C （9）A （10）A （11）C （12）B

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二、填空題：本題考查基本知識和基本運算. 每小題4分，滿分16分.

（13）1 （14）（15）a （16）

（17）本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，四棱錐的有關(guān)概念及余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查空

間想象能力和推理能力. 滿分12分.

（1）證明：連接BD.

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三、解答題

為等邊三角形.

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是AB中點，…………2分

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面ABCD，AB面ABCD，

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面PED，PD面PED，面PED.…………4分

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面PAB，面PAB. ……………………6分

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（2）解：平面PED，PE面PED，

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連接EF，PED，

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設(shè)AD=2，那么PF=FD=1，DE=.

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在

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即二面角P―AB―F的平面角的余弦值為…12分

（18）本小題主要考查集合的有關(guān)概念，含絕對值的不等式，簡單三角函數(shù)式的化簡和已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識，考查簡單的分類討論方法，以及分析問題和推理計算能力. 滿

分12分.

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解：（1）由

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當(dāng)時，解集是R；

試題詳情

當(dāng)時，解集是……………………3分

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因

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由…………8分

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（19）本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力. 滿分

12分.

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（1）解法一：直線l過點M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為

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記、由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)、是方程組

②

①

將①代入②并化簡得，，所以

于是

…………6分

設(shè)點P的坐標(biāo)為則

消去參數(shù)k得 ③

當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為………………8分

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解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以

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④ ⑤

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④―⑤得，所以

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當(dāng)時，有 ⑥

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并且 ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 ⑧

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當(dāng)時，點A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時點P的坐標(biāo)為（0，0）

也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為

………………8分

（2）解：由點P的軌跡方程知所以

……10分

故當(dāng)，取得最小值，最小值為時，取得最大值，

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最大值為……………………12分

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注：若將代入的表達式求解，可參照上述標(biāo)準(zhǔn)給分.

（20）（I）解法一：因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為：

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w=2000 ……2分

試題詳情

因為w=2000，所以當(dāng)時，w取得最大值．

試題詳情

所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量噸 ……4分

解法二：因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為：

w=2000． ……2分

由，令0

得．

當(dāng)t＜t₀時，＞0；當(dāng)t＞t₀時，＜0，所以t=t₀時，w取得最大值．

試題詳情

因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量（噸）． ……4分

（II）設(shè)甲方凈收入為u元，則

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u=st－0.002t²． ……6分

試題詳情

將代入上式，得甲方凈收u與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式

……8分

又，

令=0，得s=20．

當(dāng)s＜20時，＞0；當(dāng)s＞20時，＜0，所以s=20時，u取得最大值．

因此甲方向乙向要求賠付價格s=20(元/噸)時，獲最大凈收入． ……12分

試題詳情

注：若將代入u的表達式求解，可參照上述標(biāo)準(zhǔn)給分．

（21）本小題主要考查函數(shù)和不等式的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，以及靈活運用數(shù)學(xué)方法分析和解決問題的能力. 滿分14分.

（1）解：由于的最大值不大于所以

① ………………3分

又所以. ②

由①②得………………6分

（2）證法一：（i）當(dāng)n=1時，，不等式成立；

試題詳情

因時不等式也成立.

試題詳情

（ii）假設(shè)時，不等式成立，因為的

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對稱軸為知為增函數(shù)，所以由得

試題詳情

………………8分

于是有

試題詳情

…………12分

所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.

試題詳情

根據(jù)（i）（ii）可知，對任何，不等式成立.…………14分

試題詳情

證法二：（i）當(dāng)n=1時，，不等式成立；

試題詳情

（ii）假設(shè)時不等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時，

………………8分

因所以

……12分

于是因此當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.

試題詳情

根據(jù)（i）（ii）可知，對任何，不等式成立.…………14分

試題詳情

證法三：（i）當(dāng)n=1時，不等式成立；

（ii）假設(shè)時.

若則 ①…………8分

若≤a_k＜，則

0＜a_k_＋1=＜．

＜ ②……12分

由①②知當(dāng)n=k＋1時，不等式0＜a_n＜也成立．

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根據(jù)（I）（II）可知，對任何n∈N*，不等式a_n＜成立． ……14分

（22）（I）解：由y=f(x)=ln(e^x＋a)得x=ln(e^y－a)，所以

y=f^－1(x)=ln(e^x－a)（x＞lna）． ……3分

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(II)解法一：由＜0得

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＜m＜

即對于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有

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＜e^m＜ ①

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設(shè)t= e^x，u(t)=，u (t)=，于是不等式①化為

u(t)＜e^m＜u (t) t∈[3a，4a] ② ……7分

當(dāng)t₁＜t₂，t₁、t₂∈[3a，4a]時，

試題詳情

u(t₂)－u(t₁)=＞0

試題詳情

所以都是增函數(shù).

試題詳情

因此當(dāng)時，的最大值為的最小值為

試題詳情

而不等式②成立當(dāng)且僅當(dāng)即

，于是得 ………………12分

解法二：由得

設(shè)

于是原不等式對于恒成立等價于 ③…7分

由，注意到

故有，從而可均在

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上單調(diào)遞增，因此不等式③成立當(dāng)且僅當(dāng)

試題詳情

即 ………………12分

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