2009年 高 考 模 擬 試 卷
數(shù)學(xué)（文科）試題
題 號(hào)
一
二
三
得 分
注意事項(xiàng)：
1．本試題分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．
2．答第Ⅰ卷前務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在答題卡上．考試結(jié)束，試題和答題卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每題選出答案后，都必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)（ABCD）涂黑，如需改動(dòng)，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（共60分）
參考公式：
球的表面積公式：S＝4πR2，其中R是球的半徑.
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率：
Pn（k）＝C
pk(1-p)n-k（k＝0，1，2，…，n）.
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）.
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P（AB）＝P（A）?P（B）.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合
都是非空集合，則“
”是“
且
”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D． 既不是充分條件，也不是必要條件
2．已知函數(shù)
的一個(gè)零點(diǎn)在
內(nèi)，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是（ ）
A．
B． C．
D．
3．已知
是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)
的模為 （ ）
A．１ B．
C．
D．
4．在正方體ABCD－A1B
成角的正切值為 （ �。�
A．
B．
C．1 D．
5．直線
與圓
相交于兩點(diǎn)M、N， 若滿足
，
則
?
（Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)）等于 （ ）
A． －2 B．
－
6．若函數(shù)
，
的表達(dá)式是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函數(shù)
在
上是增函數(shù)，
，
若
，則
的取值范圍是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．右面的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，要求
輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，
應(yīng)該填入下面四個(gè)選項(xiàng)中的 （ ）
A．c > x B．x > c
C．c > b D．b > c
9．直線
將圓
分成四塊，用
種不同的顏料涂色，要求共邊的兩塊顏色互異，每塊只涂一色，則不同的涂色方案共有 （ ）
A．240
B．
10．對(duì)于方程：
，有如下幾種說(shuō)法：
①該曲線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)； ②該曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
③該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ④該曲線是一個(gè)封閉圖形且面積大于π。
其中正確命題的序號(hào)為 （ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
11．在正方體ABCD
A1B
A．不存在 B．有且只有兩條
C．有且只有三條 D．有無(wú)數(shù)條
12．已知Ａ、Ｂ兩地之間有６條網(wǎng)線并聯(lián)，這６條網(wǎng)線能通過(guò)的信息量分別為1，1，2，2，3，3．現(xiàn)從中任�。硹l網(wǎng)線，設(shè)可通過(guò)的信息量為Ｘ，當(dāng)Ｘ≥６時(shí)，可保證線路信息暢通（通過(guò)的信息量Ｘ為三條網(wǎng)線上信息量之和），則線路信息暢通的概率為 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.將答案填在題中的橫線上.
13．已知
，
，則
＿＿＿＿＿＿．
14. 設(shè)
，其中
滿足
若
的最大值為６，則的最小值為 ．
15．設(shè)是二次函數(shù)，方程
有兩個(gè)相等的實(shí)根，且
，
＿＿＿．
16．已知命題：橢圓
與雙曲線
的焦距相等．試將此命題推廣到一般情形，使已知命題成為推廣后命題的一個(gè)特例：
．
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
在四邊形ABCD中， BD是它的一條對(duì)角線，且
，
，
．⑴若△BCD是直角三形，求
的值；⑵在⑴的條件下，求
．
18．（本小題滿分12分）
已知某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都是
，一個(gè)植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一粒種子，假定某次實(shí)驗(yàn)中，種子發(fā)芽則稱(chēng)該次實(shí)驗(yàn)是成功的，種子沒(méi)有發(fā)芽則稱(chēng)該次實(shí)驗(yàn)是失敗的．
（Ⅰ）若該研究所做了三次實(shí)驗(yàn)，求至少兩次實(shí)驗(yàn)成功的概率；
（Ⅱ）若該研究進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率．
19．（本小題滿分12分）
如圖，正三棱錐S―ABC中，底面的邊長(zhǎng)是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點(diǎn)．求：
（Ⅰ）
的值；
（Ⅱ）二面角S―BC―A的大��；
（Ⅲ）正三棱錐S―ABC的體積．
20．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列
,其中
為實(shí)數(shù)，
為正整數(shù).
（Ⅰ）證明：當(dāng)
（Ⅱ）設(shè)
為數(shù)列
的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有 
若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.
21．（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減．
（Ⅰ）求
之間的關(guān)系式；
（Ⅱ）若
在
處取得極小值，求的解析式；
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí)，若
在
上為單調(diào)函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)
的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
22．（本小題滿分14分）
已知橢圓
，它的離心率為
，直線
與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓
的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為
，左準(zhǔn)線為
，動(dòng)直線
垂直于直線，垂足為點(diǎn)
，線段
的垂直平分線交于點(diǎn)
，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的方程；
（Ⅲ）將曲線向右平移2個(gè)單位得到曲線
,設(shè)曲線的準(zhǔn)線為
，焦點(diǎn)為
，過(guò)作直線交曲線于
兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)
作平行于曲線的對(duì)稱(chēng)軸的直線，若
，試證明三點(diǎn)
（
為坐標(biāo)原點(diǎn)）在同一條直線上．
一、選擇題：
1．解析：B．由
且
能夠推出
；反之，由只能推出或，而不能推出且．故“”是“且”的必要不充分條件，故選B．
評(píng)析：有關(guān)充要條件的判定問(wèn)題，概念性較強(qiáng)，進(jìn)行判斷時(shí)，必須緊扣概念．一方面，要正確理解充要條件本身的概念，進(jìn)行雙向推理，準(zhǔn)確判斷；另一方面，還要注意根據(jù)具體問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念來(lái)思考．本題中，弄清并集和交集概念中“或”與“且”的關(guān)系顯得很重要．
2．解析：B．∵△＝
．要使函數(shù)
的一個(gè)零點(diǎn)在
內(nèi)，必須滿足條件：
，即
，
∴
，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為(2，3)．
3．解析：Ｄ．化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)
可得
，∴
，
故選Ｄ．
4．解析：Ｂ 先作出直線A1B與平面BC1D1所成角，再通過(guò)解三角形求出其正切值．如圖，連結(jié)
交
于
，連結(jié)
．由
，
，又
，得
，所以
就是直線A1B與平面BC1D1所成角．在直角
中，求得
，故選Ｂ．
評(píng)析：平面的斜線與平面所成的角，就是這條斜線與它在該平面上
的射影所成的銳角，根據(jù)題目的條件作出斜線在該平面上的射影
是實(shí)現(xiàn)解題的關(guān)鍵，而作射影的關(guān)鍵則是作出平面的垂線，要注
意面面垂直的性質(zhì)在作平面的垂線時(shí)的應(yīng)用．
5．解析：
A．特值法．取B=0，A=1，C=－1，則M(1，
)，
N(1，－)， ∴
= x1x2+y1y2 =－2．故選A ．
6．解析
Ｂ．設(shè)點(diǎn)
是函數(shù)
上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)
關(guān)于點(diǎn)
的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
，則
由
在
上，
得
，∴
，即
．故選Ｂ．
7．解析： C．圖象法．由
的圖象可得，在
上是增函數(shù)，在
上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，∴
，
∴
，解得
．故選Ｃ．
8．解析：Ｂ，由
，得：
，即
，
解之得
，由于
，故
；選Ｂ
9．解析： B．如果四塊均不同色，則有
種涂法；如果有且僅有兩塊同色，它們必是相對(duì)的兩塊，有
種涂法；如果兩組相對(duì)的兩塊分別同色，則有
種涂法．根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，得到涂色方法種數(shù)為
（種），故選B．
10．解析：選D．①②③易于判斷其真。
.
，即曲線上任一點(diǎn)P(x,y)在單位圖
外，(點(diǎn)(±1，0)在圓上)，
則S>π?12=π
評(píng)析：f(x,y)=f(x,－y)
曲線f(x,y)=0，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
f(x,y)=f(－x, y)曲線f(x,y)=0，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
f(x,y)=f(－x, －y)曲線f(x,y)=0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。
11．解析：D，在EF上任意取一點(diǎn)M,直線
與M確定一個(gè)平面，
這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N, 當(dāng)M取不同的位置就確
定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與這
3條異面直線都有交點(diǎn)的.如右圖：
評(píng)析：本題主要考查立體幾何中空間直線相交問(wèn)題，考查學(xué)生
的空間想象能力。
12．解析：C．Ｐ（Ｘ＝８）＝
，Ｐ（Ｘ＝７）＝
，
Ｐ（Ｘ＝６）＝
， 所以Ｐ（Ｘ≥６）＝
，
即線路信息暢通的概率為
，故選C．
二、填空題：
13．解析：
．由
，得
，即
，又由
，得
，∴
，
于是，
．
14. 解析：
．如圖，
過(guò)點(diǎn)
，
．
在點(diǎn)
處取得最小值，點(diǎn)在直線
上，
，∴
．
評(píng)析：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，其約束條件是平面上的一個(gè)
多邊形閉區(qū)域，或者是向某一方向無(wú)限延展的半閉區(qū)域，而目標(biāo)函數(shù)一般在邊界的頂點(diǎn)處取得最值．解題時(shí)通常運(yùn)用圖解法，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，從圖形中尋求思路、獲得答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
15．解析：f(x)=x2+2x+1 ．設(shè)f(x)=ax2+bx+c
(a≠0)，則△=b2－
∴
，故 f(x)=x2+2x+1 ．
16．解析：橢圓
與雙曲線
的焦距相等．由橢圓
與雙曲線
的焦距相等，分析橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)之間的關(guān)系，運(yùn)用類(lèi)比推理的方法，不難得到推廣后的一個(gè)命題為：橢圓與雙曲線的焦距相等．
評(píng)析：推廣命題有多種方法，其中類(lèi)比推理是一種常用方法．值得指出的是，本題的答案不唯一，例如，我們還可以得到推廣后的更具一般性的命題：橢圓
與雙曲線
的焦距相等．
三、解答題：
17．解析：（Ⅰ）
，在
中，由余弦定理，
得
，
∴
，
（2分）
由
，
，
由
得，
，
∴
，從而
（4分）
由題意可知
，∴
，
（5分）
又∵△BCD是
，∴
當(dāng)
時(shí)，則
，由
，
∴
；
當(dāng)時(shí)，則
，由
，∴
；
綜上，
．
（7分）
（Ⅱ）由（1）知
，∴向量
與
的夾角為
， （9分）
當(dāng)
時(shí)，
，
，
∴
．
（10分）
當(dāng)時(shí)，，
，
∴
．
（12分）
評(píng)析：本題考查平面向量和解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類(lèi)討論的思想方法．求解時(shí)容易發(fā)生的錯(cuò)誤是：（1）將條件“△BCD是直角三形”當(dāng)作“△BCD是以角
是直角三形”來(lái)解，忽略對(duì)
為直角的情況的討論；（2）在計(jì)算
時(shí)，將
當(dāng)作向量與的夾角，忽略了確定兩個(gè)向量的夾角時(shí)必須將它們的起點(diǎn)移到一起．暴露出思維的不嚴(yán)謹(jǐn)和概念理解的缺陷，在復(fù)習(xí)中要引起重視，加強(qiáng)訓(xùn)練．
18．解析: （Ⅰ）做了三次實(shí)驗(yàn)，至少兩次實(shí)驗(yàn)成功的情形有兩種：
（1）恰有兩次成功，其概率為
；
（2分）
（2）三次都成功，其概率為
．
（4分）
故得所求之概率為
． （6分）
（Ⅱ）在第4次成功之前，共做了6次試驗(yàn)，其中三次成功、三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗，其各種可能情況的種數(shù)為
．
（10分）
因此，所求之概率為
．
（12分）
19．解析：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M為BC中點(diǎn)，
∴SM⊥BC，AM⊥BC． （2分）
由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，即
得
．
（4分）
（Ⅱ）作正三棱錐的高SG，則G為正三角形ABC的中心，G在AM上，
∵SM⊥BC，AM⊥BC，
∴∠SMA是二面角S―BC―A的平面角．（6分）
在Rt△SGM中，∵
∴∠SMA=∠SMG=60°，
即二面角S―BC―A的大小為60°． （8分）
（Ⅲ）∵△ABC的邊長(zhǎng)是3，
∴
， （10分）
∴
．
（12分）
評(píng)析計(jì)算二面角大小，既可以根據(jù)二面角的定義，通過(guò)作出二面角的平面角，再解三角形求角，也可以運(yùn)用向量方法，轉(zhuǎn)化為計(jì)算兩個(gè)平面的法向量的夾角．做題時(shí)要考慮前后聯(lián)系，注意選擇簡(jiǎn)便的方法．
20．解析：(Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使｛an｝是等比數(shù)列，則有
,即
（
）2=
2
矛盾.
所以｛an｝不是等比數(shù)列.
（3分）
（Ⅱ）證明：∵
又
由上式知
故當(dāng)
數(shù)列｛bn｝是以
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列.
（7分）
（Ⅲ）當(dāng)
由（Ⅱ）得
于是
當(dāng)
時(shí)，
，從而
上式仍成立.
要使對(duì)任意正整數(shù)n , 都有
即
（9分）
令
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，
于是可得
綜上所述，存在實(shí)數(shù)
，使得對(duì)任意正整數(shù)
，都有
的取值范圍為
（12分）
評(píng)析：（1）求解等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，定義、公式和性質(zhì)是主要工具，要注意抓住基本量───首項(xiàng)和公差（公比），方程思想、化歸思想和運(yùn)算能力是考查的重點(diǎn)；（2）正面求解，直接證明難以突破時(shí)，可以考慮從反面入手，運(yùn)用正難則反的思想來(lái)處理，反證法就是從反面入手的一種重要的推理方法，一般地，以否定的形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)命題，我們常用反證法來(lái)實(shí)現(xiàn)證明。
21．解析：（Ⅰ）
，……（1分）
∵函數(shù)
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
∴在
處取得極大值，有
，
（3分）
即
，這就是所求的
之間的關(guān)系式． （4分）
（Ⅱ）當(dāng)在
處取得極小值，有
，即
，
①
又由（Ⅰ）有：
②聯(lián)立①和②，解得
．
（5分）
此時(shí)，
，在
上
，
在
上
，
∴在處確可取得極小值，故， （7分）
從而
．
（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：
，
∴
，
它在
上為減函數(shù),在
為增函數(shù). （10分）
若存在實(shí)數(shù)
，使
在
上為單調(diào)函數(shù)，則有
，得
．又因?yàn)?sub>
，有
，這與矛盾．
所以滿足題意的實(shí)數(shù)不存在．
（12分）
評(píng)析: 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)有力工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可轉(zhuǎn)化為解不等式
和方程
，顯得非常簡(jiǎn)捷且易于操作．值得注意的是：是
取得極值的必要條件，因此，在（Ⅱ）中，由求出，必須檢驗(yàn)．
22．解析：（Ⅰ）由題意可得
， （2分）
由
，得
，∴
, （4分）
∴橢圓
的方程為
.
（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得橢圓的左焦點(diǎn)為
，左準(zhǔn)線為
,
連結(jié)
，則
，設(shè)
，則
,
∴
，
（6分）
化簡(jiǎn)得
的方程為
.
（8分）
（Ⅲ）將曲線向右平移2個(gè)單位,得曲線
的方程為: 
,其焦點(diǎn)為
，準(zhǔn)線為
，對(duì)稱(chēng)軸為
軸． （10分）
設(shè)直線的方程為
，代入y2=4x，得y2－4ty－4=0．
由題意，可設(shè)
(
)，
(
)，則y1y2=－4，
且有
（12分）
∴
，
，
得
．
∴
三點(diǎn)共線．
（14分）
評(píng)析：證明三點(diǎn)共線的方法很多,這里運(yùn)用向量共線定理來(lái)證，體現(xiàn)了平面向量與解析幾何知識(shí)的交匯和平面向量知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用．近幾年的高考突出了在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題的要求，平面向量與解析幾何知識(shí)的綜合考查成為一個(gè)不衰的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要引起重視．
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