2005 International Mathematical Olympiad

第一天(4.5小時(shí))

1. 等邊三角形ABC各邊上的六個(gè)點(diǎn)A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)構(gòu)成六邊長相等的凸六邊形A1A2B1B2C1C2.
求證:三條直線A1B2,B1C2,C1A2交于一點(diǎn).

2. 整數(shù)數(shù)列a1,a2,……中有無窮多個(gè)正項(xiàng)及無窮多個(gè)負(fù)項(xiàng).已知,對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,數(shù)a1,a2,…,an除以n所得到的余數(shù)互不相同.
證明:每個(gè)整數(shù)在數(shù)列a1,a2,……中都出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次.

3. x,y,z為正數(shù)且xyz≥1.求證:
(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.

第二天(4.5小時(shí))
4.試求與無窮數(shù)列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切項(xiàng)均互素的所有正整數(shù).

5.取定凸四邊形ABCD,其中BC=DA,BC與DA不平行.動(dòng)點(diǎn)E,F分別在線段BC,DA上且滿足BE=DF.直線AC與BD交于P, BD與EF交于Q, EF與AC交于R.求證:當(dāng)E,F變動(dòng)時(shí),所有三角形PQR的外接圓周除了P外還有一個(gè)公共點(diǎn).

6.一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共給出6道題.已知,每兩題均被多于2/5的選手同時(shí)解出,但無一人解出所有6道題.證明:至少有兩人各解出5道題.