1. 令 E_n = (a₁ - a₂)(a₁ - a₃) ... (a₁ - a_n) + (a₂ - a₁)(a₂ - a₃) ... (a₂ - a_n) + ... + (a_n - a₁)(a_n - a₂) ... (a_n - a_n-1). 求證  E_n >= 0 對(duì)于n=3或5成立，而對(duì)于其他自然數(shù)n>2不成立。

2.  凸多邊形 P₁ 的頂點(diǎn)是 A₁, A₂, ... , A₉，若將頂點(diǎn) A₁ 平移至A_i 時(shí)則 P₁ 平移成了多邊形 P_i ，求證 P₁, P₂, ... , P₉ 之中至少有兩個(gè)具有一共同內(nèi)點(diǎn)。

3.  求證能夠找到一個(gè)由形式 2ⁿ - 3 （n是正整數(shù)）的整數(shù)構(gòu)成的集合并滿足任何兩個(gè)元素互質(zhì)。

4. 四面體ABCD的所有面都是銳角三角形，在線段AB上取一內(nèi)點(diǎn)X，現(xiàn)在BC上取內(nèi)點(diǎn)Y，CD上取內(nèi)點(diǎn)Z，AD上內(nèi)點(diǎn)T。求證：

5.  對(duì)任何自然數(shù) m ，求證存在平面上一有限點(diǎn)集 S，滿足：對(duì)S中的每一個(gè)點(diǎn) A，存在S中的恰好 m 個(gè)點(diǎn)與 A的距離為單位長(zhǎng)。

6.  設(shè) A = (a_ij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一個(gè)方陣，元素 a_ij 都是非負(fù)整數(shù)。若 i、j使得a_ij = 0，則第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求證：該方陣中所有元素之和 大于或等于n²/2。