1.  平面上一凸四邊形的面積是32，兩對(duì)邊與一對(duì)角線之和為16，求另外一個(gè)對(duì)角線的所有可能的長(zhǎng)度。

2. 令P₁(x) = x² - 2, P_i+1 = P₁(P_i(x)), i = 1, 2, 3, ...，求證對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n，方程式P_n(x) = x 的所有根都是互不相同的實(shí)數(shù)。

3. 一個(gè)長(zhǎng)方形的箱子可以用單位正方體完全裝滿，如果用體積為2的正方體來盡量裝填，使得每個(gè)邊都與箱子的邊平行，則恰能裝滿箱子的40％，求所有這種箱子的可能尺寸（長(zhǎng)、寬、高）。

4.  試將1976分解成一些正整數(shù)之和，求這些正整數(shù)乘積的最大值，并加以證明。

5.  n是一個(gè)正整數(shù)，m = 2n， a_ij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。還有m個(gè)未知數(shù)x₁, x₂, ... , x_m滿足下面n個(gè)方程：

a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_imx_m = 0,

其中i = 1, 2, ... , n。求證這n個(gè)方程有一組不全為0的整數(shù)解（x₁, x₂, ... , x_m）使得|x_i|<= m。

6.  一個(gè)序列u₀, u₁, u₂, ... 定義為：

u₀= 2, u₁ = 5/2, u_n+1 = u_n(u_n-1² - 2) - u₁，n = 1, 2, ...

求證

[u_n] = 2^{(2n - (-1)n)/3},

其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)。