1.  d是不為2,5,13的正整數(shù)，試證明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的兩數(shù)a,b滿足ab-1不是一個完全平方數(shù)。

2. 在三角形 A₁A₂A₃ 所在的平面上有一給定點P₀，當s>=4時定義 A_s = A_s-3 ，現(xiàn)使用以下的方法構(gòu)造一系列點P₁, P₂, P₃, ...： P_k+1 是 P_k 繞 A_k+1 順時針旋轉(zhuǎn)120度得到的點（k = 0, 1, 2,...）。如果 P₁₉₈₆ = P₀，求證A₁A₂A₃是等邊三角形。

3. 給正五邊形的每個頂點賦值一個整數(shù)，使這5個整數(shù)之和是正的。對于任何三個連續(xù)的頂點設(shè)它們所賦予的數(shù)分別是x,y,z，如果y < 0則執(zhí)行下述操作：將x,y,z分別替換為x + y, -y, z + y。重復(fù)執(zhí)行這樣的操作直到這5個頂點數(shù)中至少有一個是負值。試問能否經(jīng)過有限步之后操作結(jié)束。

4. O是正n(n >= 5)邊形的中心 ，設(shè) A, B 是一對相鄰的頂點。設(shè)開始的時候三角形XYZ與三角形OAB重合，現(xiàn)用如下的方式移動三角形XYZ：保持Y、Z始終在多邊形的邊界上、X在多邊形的內(nèi)部。試求出當Y、Z都走遍多邊形的邊界時X點所形成的軌跡。

5. 試找出所有定義在非負實數(shù)并取值也是非負實數(shù)的函數(shù) f，使其滿足f(2) = 0；當 0<= x <2時f(x)不等于0；對所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。

6. 給定平面上的一個有限點集，每個點的坐標都是整數(shù)，問有沒有一種將這些點涂成紅色或白色的染色方法使得在任何一條平行于坐標軸（兩個坐標軸中的任何一個）的直線 L上的紅點和白點的個數(shù)之差不大于1？