1.  設(shè) p_n(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 個(gè)固定點(diǎn)的排列的個(gè)數(shù)，求證 k從 0 到 n 對(duì)(k p_n(k) )的求和是 n!。

[一個(gè)集合S的一個(gè)排列是從S到它自身的一一映射。元素 i 稱為是 f 固定點(diǎn)如果 f(i) = i。]

2. 銳交三角形ABC 的內(nèi)角A的角平分線交BC于 L，交ABC的外接圓于 N，從 L 點(diǎn)向 AB,AC做垂線，垂足分別是 K、M，求證四邊形 AKNM的面積與三角形ABC的面積相等。

3.  x₁, x₂, ... , x_n 是實(shí)數(shù)并且滿足x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1，求證對(duì)每個(gè)正整數(shù)k >= 2存在不全為0的整數(shù)a₁, a₂, ... , a_n，使得對(duì)每個(gè) i有|a_i| <= k - 1 及

|a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n| <= (k - 1)√n/(kⁿ-1)。

4. 求證不存在從非負(fù)整數(shù)到非負(fù)整數(shù)的函數(shù) f滿足對(duì)所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。 

5. n是大于或等于3的整數(shù)，求證存在一個(gè)由平面上n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合滿足任何兩點(diǎn)的距離都是無(wú)理數(shù)并且任何三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為有理數(shù)的非退化的三角形。

6. n是大于或等于2的整數(shù)，如果對(duì)所有0<=k<=√n/3都有k² + k + n 是素?cái)?shù)，則

當(dāng)0<=k<=n-2時(shí)，k² + k + n 都是素?cái)?shù)。