1.  試證明集合{1,2,...,1989}可以分拆成117個子集合A₁,A₂,...,A₁₁₇ （即這些子集合互不相交且并集為整個集合），滿足每個A_i包含17個元素，并且每個A_i中元素之和都相等。

2.  銳角△ABC，內(nèi)角∠A的角平分線交△ABC的外界圓于A_1，類似定義B₁,C₁點。設(shè)AA₁與∠ B,∠C的外交平分線交于A₀點，類似定義B₀,C₀點。 

求證：△A₀B₀C₀的面積是六邊形AC₁BA₁CB₁的 兩倍也是△ABC面積的至少4倍。

3. 設(shè)n,k是正整數(shù)，S是由平面上n個點構(gòu)成的集合并且無三線共點，對任何S中的點P至少存在S中的k個點與P等距離。

求證： k<1/2+√2n。

4. 凸四邊形ABCD的邊AB,AD,BC滿足AB=AD+BC，四邊形內(nèi)部有一與直線CD距離為h的點P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，

求證：1/√h<=1/√AD+1/√BC。

5. 試證明對每個正整數(shù)n，存在n個連續(xù)的正整數(shù)使得其中無素數(shù)或素數(shù)的冪。

6. 設(shè){x₁,x₂,...,x_m} 是{1,2,...,2n}的一個排列，其中n是一個正整數(shù)。如果|x_i-x_i+1|=n對至少 {1,2,...,2n-1}中的一個i成立就說這個排列{x₁,x₂,...,x_m}具有性質(zhì)P。 試證明對于任意的n，具有性質(zhì)P的排列都比不具有的多。