第六節(jié)  二次函數(shù)的應(yīng)用

【回顧與思考】

    二次函數(shù)應(yīng)用

【例題經(jīng)典】

用二次函數(shù)解決最值問題

例1  （2006年旅順口區(qū)）已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積．

    【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間．

例2  某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：

x（元）

15

20

30

…

y（件）

25

20

10

…

    若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)．

    （1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

    （2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

    【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40．

    （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤(rùn)為w元

         w=（x-10）（40-x）=-x²+50x-400=-（x-25）²+225．

    產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225元．

    【點(diǎn)評(píng)】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最�。�”的設(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

【考點(diǎn)精練】

1．二次函數(shù)y=x²+x-1，當(dāng)x=______時(shí)，y有最_____值，這個(gè)值是________．

2．在距離地面2m高的某處把一物體以初速度V₀（m/s）豎直向上拋出，在不計(jì)空氣阻力的情況下，其上升高度s（m）與拋出時(shí)間t（s）滿足：S=V₀t-gt²（其中g(shù)是常數(shù)，通常取10m/s²），若V₀=10m/s，則該物體在運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)距離地面________m．

3．影響剎車距離的最主要因素是汽車行駛的速度及路面的摩擦系數(shù)．有研究表明，晴天在某段公路上行駛上，速度為V（km/h）的汽車的剎車距離S（m）可由公式S=V²確定；雨天行駛時(shí)，這一公式為S=V²．如果車行駛的速度是60km/h，那么在雨天行駛和晴天行駛相比，剎車距離相差_________米．

4．（2006年南京市）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10．在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？

5．（2006年青島市）在2006年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對(duì)往年的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售價(jià)x（元/千克）

…

 25

 24

 23

 22

…

銷售量y（千克）

…

2000

2500

3000

3500

…

    （1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對(duì)（x，y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．連接各點(diǎn)并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若櫻桃進(jìn)價(jià)為13元/千克，試求銷售利潤(rùn)P（元）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，P的值最大？

6．（2006十堰市）市“健益”超市購(gòu)進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）（x≥30）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式．

    （1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

    （2）設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)P元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤(rùn)不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于4180元，請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)x的范圍（直接寫出答案）．

7．施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現(xiàn)在O點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）．

    （1）直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

    （2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”ABCD，使A、D點(diǎn)在拋物線上，B、C點(diǎn)在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少？請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．

8．（2006年泉州市）一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個(gè)以AD為直徑的半圓O，下部是一個(gè)矩形ABCD．

 （1）當(dāng)AD=4米時(shí)，求隧道截面上部半圓O的面積；

 （2）已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為8米，半圓O的半徑為r米．

    ①求隧道截面的面積S（米）關(guān)于半徑r（米）的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出r的取值范圍）；

    ②若2米≤CD≤3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值（取3.14，結(jié)果精確到0.1米）

答案:

例題經(jīng)典 

例1：解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2≤x≤4）

易知CN=4-x，EM=4-y．且有（作輔助線構(gòu)造相似三角形），即=，∴y=-x+5，S=xy=-x²+5x（2≤x≤4），

此二次函數(shù)的圖象開口向下,對(duì)稱軸為x=5，

∴當(dāng)x≤5時(shí)，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，

對(duì)2≤x≤4來說，當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值S_最大=-×4²+5×4=12．

考點(diǎn)精練 

1．-1，小，-  2．7  3．36

4．解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，∴，

∵AB=2AD，MN=x，∴MF=2x，∴EM=EF-MF=10-2x，

∴S=x（10-2x）=-2x²+10x=-2（x-）²+，

∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值為．

5．解：（1）正確描點(diǎn)、連線．由圖象可知，y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，

∵點(diǎn)（25，2000），（24，2500）在圖象上，

∴ ，

∴y=-500x+14500．

（2）P=（x-13）?y=（x-13）?（-500x+14500）

=-500x²+21000x-188500=-500（x-21）²+32000，

∴P與x的函數(shù)關(guān)系式為P=-500x²+21000x-188500，

當(dāng)銷售價(jià)為21元/千克時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)．

6．解：（1）設(shè)y=kx+b由圖象可知，，

∴y=-20x+1000（30≤x≤50） 

（2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x²+1400x-20000．

∵a=-20<0，∴P有最大值．

當(dāng)x=-=35時(shí)，P_最大值=4500．

即當(dāng)銷售單價(jià)為35元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)4500元．

（3）31≤x≤34或36≤x≤39．

7．解：（1）M（12，0），P（6，6）． 

（2）設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為：y=a（x-6）²+6，

∵拋物線過O（0，0），∴a（0-6）²+6=0，解得a=，

∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-（x-6）²+6，即y=-x²+2x．

（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-m²+2m），

∴OB=m，AB=DC=-m²+2m，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱，可得：OB=CM=m，

∴BC=12-2m，即AD=12-2m，

∴L=AB+AD+DC=-m²+2m+12-2m-m²+2m=-m²+2m+12=-（m-3）²+15．

∴當(dāng)m=3，即OB=3米時(shí)，三根木桿長(zhǎng)度之和L的最大值為15米．

8．（1）當(dāng)AD=4米時(shí)，S_半圓=×（）²=×2²=2（米²）．

（2）①∵AD=2r，AD+CD=8，∴CD=8-AD=8-2r，

∴S=r²+AD?CD=r²+2r（8-2r）=（-4）r²+16r，

②由①知CD=8-2r，又∵2米≤CD≤3米，∴2≤8-2r≤3，∴2．5≤r≤3，

由①知S=（-4）r²+16r=（×3.14-4）r²+16r

=-2.43r²+16r=-2.43（r-）²+，

∵-2.43<0，∴函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，

∵函數(shù)圖象對(duì)稱軸r=≈3.3．又2.5≤r≤3<3.3，

由函數(shù)圖象知，在對(duì)稱軸左側(cè)S隨r的增大而增大，

故當(dāng)r=3時(shí)，S有最大值，

S_最大值=（-4）×3²+16×3≈（×3.14-4）×9+48=26.13≈26.1（米²）．

答：隧道截面面積S的最大值約為26.1米²．