1.函數(shù)及其表示、初等函數(shù)的基本性質(zhì)，包括定義域，值域（最值），圖象，單調(diào)性，奇偶性，周期性等．

例1（08年山東卷理4）設(shè)函數(shù)f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則a的值為（A   ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(A) 3                (B)2                 (C)1               (D)-1

解析：A  該函數(shù)的圖象是一個在兩側(cè)斜率為的射線，在之間為平行于軸的線段，若要該函數(shù)圖象關(guān)于對稱，只需關(guān)于對稱，，即。

點評：本題考查對帶有絕對值的函數(shù)的理解和分析問題的能力。實際是帶有絕對值的函數(shù)是一個分段函數(shù)，題目給出的是一個三段的函數(shù)，解題的關(guān)鍵是用“零點分區(qū)“去掉絕對值后，對各段上函數(shù)解析式的認(rèn)識。

易錯指導(dǎo)：對“零點分區(qū)”去絕對值的方法認(rèn)識模糊，不能正確地將函數(shù)化為分段函數(shù)；缺乏理性思維，不能“想象”出函數(shù)圖象的大致形狀，是一個類似水渠橫斷面的圖形。

例1（08年山東卷文12）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（    ）

A．             B．

C．          D．

解析：A 首先由于函數(shù)單調(diào)遞增，；又，即，所以，故。

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查分析問題解決問題的能力。解題的關(guān)鍵是根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和所給的圖象特征找出所滿足的不等關(guān)系。

易錯指導(dǎo)：不能自覺地利用函數(shù)性質(zhì)，理解錯函數(shù)圖象給出的關(guān)系等，是本題出錯的主要原因。

2.函數(shù)模型及其應(yīng)用、函數(shù)的零點定理

例2．關(guān)于的方程，給出下列四個命題：

①．存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實數(shù)根；

②．存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實數(shù)根；

③．存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實數(shù)根；

④．存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實數(shù)根；

其中假命題的個數(shù)是（    ）

．0    ．1    ．2    ．3

分析：若展開直接求解，問題將復(fù)雜化；可根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征，利用換元法化高次為低次，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)模型進(jìn)行解答．

解：令，則方程可化為，分別作出（如圖1）和（如圖2）的圖象，結(jié)合圖象可知：當(dāng)與軸只有一個交點時，即（此時）時，結(jié)合圖象可知原方程有4個根；當(dāng)圖象下移，此時圖象與軸有兩個交點且在0和1之間（此時），原方程有8個根；當(dāng)（即）時，原方程有5個根；當(dāng)圖象繼續(xù)下移，此時且只能取一個正值，原方程有5個根。故選．

                      圖2

點評：在復(fù)習(xí)時，我們要熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、耐克函數(shù)的模型；這些模型可以用來解決最值問題、方程問題、抽象函數(shù)問題．

易錯指導(dǎo)：要特別注意轉(zhuǎn)化的合理性，如上例中要注意換元后新元素的取值范圍．

3. 函數(shù)性質(zhì)的刻畫與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及以此為主要手段的不等式的證明，參數(shù)范圍的討論，實際應(yīng)用等問題．

例3（08年江蘇卷8）直線是曲線的一條切線，則實數(shù)b＝        ．

解析：  ，令得，故切點（2，ln2），代入直線方程，得，所以b＝ln2－1．

點評：本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值是函數(shù)圖象過點（）的切線的斜率；曲線上的一點處的切線方程為：．

例4（08年山東卷理21）已知函數(shù)，其中，為常數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時，證明：對任意的正整數(shù)，當(dāng)時，有．

解析：（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，

所以．

（1）      當(dāng)時，由得，，此時．

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

（2）當(dāng)時，恒成立，所以無極值．

綜上所述，時，

當(dāng)時，在處取得極小值，極小值為；

當(dāng)時，無極值．

（Ⅱ）證法一：因為，所以．

當(dāng)為偶數(shù)時，令，

則（）．所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，因此恒成立，所以成立．

當(dāng)為奇數(shù)時，

要證，由于，所以只需證，令，則（），所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，恒有，即命題成立．

綜上所述，結(jié)論成立．

證法二：當(dāng)時，．

當(dāng)時，對任意的正整數(shù)，恒有，

故只需證明．

令，，則，

當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，即成立．故當(dāng)時，有．即．

點評：本題考查冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，考查考生分析問題解決問題的能力。本題第一問，是一個中規(guī)中矩的常規(guī)試題，只要考生基本功扎實，解決起來困難不大；第二問就需要考生有較高的分析問題解決問題的能力了，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本思路是通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為研究這個函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間端點值或最值問題，在證明過程中，還要進(jìn)行不等式的放縮（這也體現(xiàn)了山東對考查《不等式選講》的力度），如果考生缺乏這樣的思想意識，不能自覺地朝這個方向思考，要順利地完成這一問的解答是不可能的。本題能有效地區(qū)分不同思維層次的考生，是一道設(shè)計十分優(yōu)秀的試題。

易錯指導(dǎo)：第一問中把導(dǎo)數(shù)求錯，或是不對參數(shù)進(jìn)行討論是出錯的主要原因；第二問中不知道構(gòu)造函數(shù)，或是構(gòu)造函數(shù)后解決問題的思維混亂，不知道用函數(shù)的單調(diào)性和端點值確立不等關(guān)系等是考生失分的主要原因。

例4（08年山東卷文21）設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）設(shè)，試比較與的大�。�

解析：（Ⅰ）因為，

又和為的極值點，所以，

因此解方程組得，．

（Ⅱ）因為，，所以，令，解得，，．因為當(dāng)時，；當(dāng)時，．

所以在和上是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的．

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，

令，則．令，得，因為時，，

所以在上單調(diào)遞減，故時，；

因為時，，所以在上單調(diào)遞增，故時，．

所以對任意，恒有，又，因此，

故對任意，恒有．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查方程的思想、等價轉(zhuǎn)化的思想，考查分析問題解決問題能力、運(yùn)算求解能力。本題的關(guān)鍵突破口是用方程的思想求出系數(shù)的值，其中第三問的證明用到構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。

易錯指導(dǎo)：第一問是本題的入口，也是本題的關(guān)鍵，這一問解錯了這個題就算報廢了，但由于文科的考試大綱對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不作要求，考生可能在求的導(dǎo)數(shù)時無所適從，事實上，并不涉及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，另外函數(shù)式較為復(fù)雜，運(yùn)算不準(zhǔn)確，也是考生不能正確解答第一問的重要原因；第二問中對式子符號的判斷是解題的關(guān)鍵點，對解不等式考試大綱只要求到會解一元二次不等式，而這個不等式與一元二次不等式懸殊較大，考生就不知道利用不等式的基本性質(zhì)去分析解決，這是容易出錯的地方；第三問的關(guān)鍵是會構(gòu)造輔助函數(shù)，并能正確地利用不等式的性質(zhì)作出分析判斷。

4.定積分的概念、性質(zhì)和運(yùn)算等問題．

例5（08年山東卷理14）設(shè)函數(shù)，若，，則的值為        ．

解析：  ，故，即，又，所以，又，所以。

點評：本題所考查的知識點是很多的．首先考查定積分的性質(zhì)２，其次考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的逆向運(yùn)算，即找到兩個函數(shù)使它們的導(dǎo)數(shù)分別等于和，這實際上是從更高的層次上考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，第三考查微積分基本定理和具體的數(shù)值計算能力．這類題目應(yīng)該說高考考查定積分的一個重要方向．

易錯指導(dǎo)：不能正確求出函數(shù)被積函數(shù)的原函數(shù)，對微積分基本定理認(rèn)識模糊，運(yùn)算能力薄弱等都是本題出錯的原因。

四 掃雷先鋒

易錯點一：對函數(shù)的性質(zhì)理解不到位（下例是講解函數(shù)的性質(zhì)的易錯點，故需去掉“定義域”）

例1        在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則（　�。�

A．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)；

B．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)；

C．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)；

D．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)．

錯解與剖析：本題容易出錯的地方就是在由偶函數(shù)的性質(zhì)得到在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)之后對函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性吃不準(zhǔn)而錯選A.事實上本題有常規(guī)方法和做圖法兩種解法，下面只介紹常規(guī)方法.

正解：由知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故在[0，1]上是增函數(shù)．

又由是偶函數(shù)得，故其周期．

故在上是增函數(shù)，在[3，4]上是減函數(shù)．選B．

點評：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性的概念及其應(yīng)用是高考的�？键c．求解時一要把握住其定義性質(zhì)；二可構(gòu)造直觀模型，借助其圖象求解．

易錯點二：把判斷函數(shù)單調(diào)性的充分條件當(dāng)作充要條件

例2 在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

錯解：由在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)得在（-∞，4）上恒成立.解得的取值范圍為.

剖析：事實上當(dāng)時在（-∞，4）上也是減函數(shù)．

正解：由在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)得在（-∞，4）上恒成立.解得的取值范圍為.

點評：（或）只是函數(shù)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增（或遞減）的充分條件；可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增（或遞減）的充分條件是：對任意x（a，b）都有（或）且在（a，b）上都不恒為零．利用此充要條件可方面地解決“已知函數(shù)的單調(diào)性，反過來確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值或范圍”問題.

易錯點三：在求極值點時把=0的點x=等同于極值點（建議改為“將函數(shù)取極值的必要條件，當(dāng)作充要條件”）

例3 求函數(shù)的極值點．

錯解：的極值點即是滿足=0的點x=.由=0得.所以求函數(shù)的極值點為.

剖析：滿足=0的點x=只是它為極值點的必要而不充分條件，如果理解為充要條件，從正面看往往產(chǎn)生增解致錯.

正解：，令得，但當(dāng)時，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在左右兩側(cè)不變號，所以不是函數(shù)的極值點，故函數(shù)沒有極值點．

點評：可導(dǎo)函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于零只是該函數(shù)在該點取得極值的必要條件，要真正在該點取得極值還得其導(dǎo)數(shù)在該點左右變號！本題如不注意這一點，很可能就求出來為該函數(shù)的極值的錯誤結(jié)果．

五 規(guī)律總結(jié)

１．研究函數(shù)問題要樹立定義域優(yōu)先的意識，否則解題中極易出錯．

２．具備奇偶性的函數(shù)的定義域區(qū)間一定關(guān)于原點對稱．奇函數(shù)若在處有定義則一定有，偶函數(shù)一定有．

3.比較大小是對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)考查的常見題型，熟記它們的圖像特點并結(jié)合0、1比較是解這類題的通法.

4．函數(shù)圖象的對稱性的一些常見結(jié)論：

①若，對恒成立，則關(guān)于對稱；

②若，對恒成立，則關(guān)于點對稱；

③函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.

5．函數(shù)圖像的平移：把的圖像向左平移a（a>0）個單位，再向上平移b(b>0)個單位得到的圖象，簡記為“上加下減，左加右減”.

6．函數(shù)在某點可導(dǎo)必在該點連續(xù)；反過來連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo).

7.函數(shù)取得極值的充要條件：定義域上的可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的充要條件是，并且在兩側(cè)異號．只是可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的必要條件，即必須有這個條件，但只有這個條件還不夠，還得在兩側(cè)異號，這一點我們要充分重視．

8.單調(diào)性：（１）在某個區(qū)間（）上，若,則在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；若,則在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒成立,則在這個區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)；若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù)；（２）若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，則，反之等號不成立，因為即或，當(dāng)時函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，當(dāng)時在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；同理．若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，則，反之等號不成立；（３）使的離散的點不影響函數(shù)的單調(diào)性．

9.求曲線的切線方程時，要明確是曲線上某點處的切線（僅有一條），還是過某點的切線（可能不止一條）．

10.用導(dǎo)數(shù)解決與正整數(shù)有關(guān)的問題時，不能直接對求導(dǎo)，要把正整數(shù)放到連續(xù)的正實數(shù)區(qū)間里面去，然后再用導(dǎo)數(shù)去解決．

11.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)；奇函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于，偶函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它在區(qū)間或上定積分的兩倍．

六 能力突破

例１若函數(shù)滿足, 且時,函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)為 (    )

A．          B．          C．       D．

本題簡介：考查函數(shù)零點的概念以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力和數(shù)形結(jié)合的意識．

解析：當(dāng)時，結(jié)合圖象知共有個交點，故在區(qū)間上共有個交點；當(dāng)時結(jié)合圖象知共有個交點．故函數(shù)在區(qū)間共有零點個．如圖．

反思：我們要求的實際上就是函數(shù)和在區(qū)間上交點的個數(shù)．由于函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，我們只要考查它們在區(qū)間和在區(qū)間上交點的個數(shù)即可．由函數(shù)的周期性，結(jié)合圖象就可解決．

例2 如右圖，陰影部分的面積是（    ）

       A．                  B．             

       C．                    D．

本題簡介：本題考查定積分的簡單應(yīng)用．

解析：陰影部分的面積為：．

反思：所求的陰影部分的面積實際上就是在區(qū)間上的定積分．微積分基本定理是課標(biāo)高考理科應(yīng)注意的內(nèi)容．

例3 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的最大值是M，最小值是m，則________.

本題簡介：本題是一道自編題，主要考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握以及分析問題解決問題的能力.

解析：令，易求得，所以是奇函數(shù)，所以的最大值與最小值之和是0，從而的最大值與最小值之和是6.

反思：面對此題若不假思索就對求導(dǎo).理科學(xué)生，求導(dǎo)得，無法找到極值點，而文科學(xué)生不會對這個函數(shù)求導(dǎo).因此，須從考查函數(shù)的性質(zhì)下手.

例4已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求在上的最大值和最小值；

（3）當(dāng)時，求證對大于的任意正整數(shù)，．

本題簡介：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式以及分析問題解決問題的能力．

解析：（1）由已知：，依題意得：對恒成立，

     ∴對恒成立，即對恒成立，，即．.

（２）當(dāng)時，，在，若，則，若則，故是函數(shù)在區(qū)間上的唯一的極小值點，也就是最小值點，故；

， 因為，所以，即，即函數(shù)在區(qū)間上最大值是．綜上知函數(shù)在區(qū)間上最大值是，最小值是．

（３）當(dāng)時，由（１）知，函數(shù)在上為增函數(shù)．

當(dāng)時令，則，故，　　　　　

即，即．　

故，，…………，，

相加得，

而，

即．

反思：函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)在這個區(qū)間上大于或等于零，但要注意的是只能在一些離散的點上等于零，而不能恒等于零，單調(diào)遞減的情況同樣處理；閉區(qū)間上的函數(shù)最值是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重要方面，其基本思想是求出函數(shù)在這個閉區(qū)間上的極值和端點值，再比較大小，最大的是最大值，最小的是最小值；將函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式綜合起來進(jìn)行考查是近年來高考命題的一大趨勢，這類題目蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，我們在復(fù)習(xí)備考中要充分重視．

七 高考風(fēng)向標(biāo)

考查方向一：以函數(shù)為依托的小綜合題，考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本方法.近年的高考命題中的選擇填空題，在內(nèi)容上日趨綜合化，在解題方法上日趨多樣化.

例1 （08年高考廣東卷理7）設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（   ）

A．           B．           C．          D．

解析：B ，函數(shù)有大于零的極值點等價于方程有大于零的實數(shù)根，方程顯然不成立，當(dāng)時，解得，首先，若要，必須，即，即。

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程的有關(guān)知識，考查等價轉(zhuǎn)化分類討論的數(shù)學(xué)思想以及分析問題解決問題的能力，是試卷中一個以能力考查為主的試題。解決本題的關(guān)鍵是用表示出，通過建立關(guān)于參數(shù)的不等式，這也是解決參數(shù)范圍問題的一個通用方法，值得仔細(xì)體會。

易錯指導(dǎo)：對簡單的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則不熟悉，不能正確地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（考試大綱明確規(guī)定要掌握形如的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)），或是缺乏等價轉(zhuǎn)化的思想意識，不能將其歸結(jié)為一個方程有正根，或是對指數(shù)對數(shù)等知識上的細(xì)微漏洞都可能解錯本題，這也說明我們在高考復(fù)習(xí)中要高度重視基礎(chǔ)知識，重視數(shù)學(xué)思想方法。

例1 （08年高考廣東卷文9）設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（    ）

A．           B．           C．          D．

解析：A ，函數(shù)，有大于零的極值點等價于方程有大于零的實數(shù)根，從方程解得，即，即，即�；蛘�，當(dāng)時，，從而。

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，解題的有關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化意識，將函數(shù)有大于零的極值點轉(zhuǎn)化為方程有大于零的實數(shù)根。

易錯指導(dǎo)：對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)認(rèn)識模糊，不能正確判斷時函數(shù)的值域。

例2（08年高考全國卷Ⅱ理3文4）函數(shù)的圖像關(guān)于（    ）

A．軸對稱              B． 直線對稱 

C． 坐標(biāo)原點對稱     D． 直線對稱

解析：C 是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱.

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

考查方向二：求參數(shù)范圍以及與方程、不等式、數(shù)列等的結(jié)合――高考中函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題的主流題型．

例3（08年高考海南、寧夏卷理21）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。

（1）求的解析式；

（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（3）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

解析：（Ⅰ），于是解得或

因，故．

（Ⅱ）已知函數(shù)，都是奇函數(shù)．

所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．

而．

可知，函數(shù)的圖像按向量平移，即得到函數(shù)的圖像，故函數(shù)的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．

（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點．

由知，過此點的切線方程為．

令得，切線與直線交點為．

令得，切線與直線交點為．

直線與直線的交點為．

從而所圍三角形的面積為．

所以，所圍三角形的面積為定值．

點評：本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義、待定系數(shù)法，等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，推理論證、運(yùn)算求解能力和分析問題解決問題的能力。本題的難點是第三問，解決的突破口是用曲線上切點的橫坐標(biāo)表示出曲線的切線方程，通過方程組找用切點的橫坐標(biāo)所表示的三角形三個頂點的坐標(biāo)，由于這個三角形的一條邊和軸垂直，從而用切點的橫坐標(biāo)表示出三角形的面積，通過運(yùn)算得到所證明的結(jié)論。在解決一般曲線的切線問題時，切點的橫坐標(biāo)往往是問題的關(guān)鍵所在。

易錯指導(dǎo)：第一問易忽視的限制條件；第二問表達(dá)混亂，或是不能通過轉(zhuǎn)化找到證明的思路；第三問計算出錯。

例3（08年高考海南、寧夏卷文21）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

解析：（Ⅰ）方程可化為．當(dāng)時，．又，

于是解得，故．

（Ⅱ）設(shè)為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為

，即．

令得，從而得切線與直線的交點坐標(biāo)為．

令得，從而得切線與直線的交點坐標(biāo)為．

所以點處的切線與直線，所圍成的三角形面積為．

故曲線上任一點處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為定值，此定值為．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線，待定系數(shù)法，推理論證與運(yùn)算求解能力．本題的難點是第二問，解決的關(guān)鍵是用曲線上任意一點的橫坐標(biāo)表示出曲線的切線方程，進(jìn)而用這個橫坐標(biāo)表示出三角形的面積，然后通過運(yùn)算得到所證結(jié)論．

易錯指導(dǎo)：第一問易將的導(dǎo)數(shù)求錯；第二問不知道用切點坐標(biāo)表示切線方程，或是忽視了絕對值等。

考查方向三：考查分析問題和解決問題的能力.利用導(dǎo)數(shù)求最大值和最小值的方法解決科技、經(jīng)濟(jì)、社會中的某些簡單的優(yōu)化問題，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解決這類問題的首要問題.

例4（08年高考江蘇卷17）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點及的中點處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域上（含邊界），且與等距離的一點處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，設(shè)排污管道的總長為

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)，將表示為的函數(shù)；

②設(shè)，將表示為的函數(shù)關(guān)。

（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短。

解析：（1）①延長交于點，由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，則，故.

又，所以.

所求函數(shù)關(guān)系式為.

②若OP=x(km)，則OQ=10-x，所以

所求函數(shù)關(guān)系式為。

（2）選擇函數(shù)模型①

.,令得.

當(dāng)時，y是θ的減函數(shù)；當(dāng)時，y是θ的增函數(shù)。所以函數(shù)在處取得極小值，這個極小值就是函數(shù)在的最小值，。

當(dāng)時，。因此，當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到兩點的距離均為時，鋪設(shè)的排污管道的總長度最短。

選用函數(shù)模型②

，令則，平方得，解得，由于，故，并且可以判斷這個是函數(shù)的最小值點，此時，下面對實際問題的解釋類似上面的解法。

點評：本題考查函數(shù)的概念、解三角形、導(dǎo)數(shù)等基本知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實際問題的能力。命題者匠心獨具地把對同一個問題讓考生用不同的變量建立數(shù)學(xué)模型，而在接下來的第二問中又要求考生選用所建立的兩個函數(shù)模型中的一個來解決優(yōu)化問題，這就要求考生有對數(shù)學(xué)模型較高的鑒賞能力，選用的模型不同，其簡繁程度就不同，使考生在比較鑒別中體會數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，是一道值得稱道的優(yōu)秀試題。

易錯指導(dǎo)：本題第一問，考生往往忽略函數(shù)的定義域，導(dǎo)致失分；第二問考生往往不能選擇合適的函數(shù)解析式，特別是第一個函數(shù)解析式帶有三角函數(shù)，產(chǎn)生畏懼心理，從而選擇第二個解析式，對第二個函數(shù)解析式，由于考試大綱中對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只要求到型的，對這個函數(shù)求導(dǎo)數(shù)又有可能出現(xiàn)錯誤，即使是求導(dǎo)正確，在接下來的具體求解過程中，運(yùn)算也有可能出現(xiàn)問題。因此考生在備考時要學(xué)會比較鑒別。

八、實戰(zhàn)演習(xí)

１．已知是偶函數(shù)，則的最大值是　　�。�      ）

A.  　B.     C.  　　 D.

2．（理）點P在曲線上移動，在點P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是（    ）．

A．；         B．；    C． ；       D．．

2．(文)已知直線是的切線，則的值是（     ）．

A．；                   B．；              C．；                  D．．

３．定義在上的函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上遞增，則（   ）

  A．             B．   

C．             D．

４．已知，若實數(shù),當(dāng)，則下列正確的是        （    ）

  A．     B．

    C．     D．

５．已知，，則    (     )

A.   B.   C.   D.

６.（理）做直線運(yùn)動的質(zhì)點在任意位置處，所受的力，則質(zhì)點沿著相同的方向，從點處運(yùn)動到點處，力所做的功是　　�。ā　　。�

Ａ．�。拢�　�。茫�　　�。模�

6.（文）做直線運(yùn)動的質(zhì)點的運(yùn)動方程是，則該質(zhì)點在時的瞬時速度是　�。ā　。�

Ａ．　Ｂ．　�。茫�　Ｄ．

７．下列大小關(guān)系正確的是（    ）

A．          B．

C．          D．

8．已知在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，則的取值范圍是(　 A　)．A

A．(－∞，7)；       B．；          C．（7，20）；       D．．

９．點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為�。�   ）．   

　　　A.               B.              C.            D.

１０．（理）已知函數(shù)則

    A．              B．       C．             D．

１０.（文）曲線在點處的切線方程是　�。ā　　　。�

Ａ．　�。拢��。茫�　　Ｄ．

１１．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是

A．                       B．

C．     D．

12．設(shè)函數(shù)，則的值為（     ）．

A．－3；              B．0；                C．1；                D．3．

13．定義在（－1，1）上的函數(shù)為，則不等式的解集是               ．

14．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且．若，則的值為___________________．

１５．（理）直線平分由，，所圍成的圖形的面積，則　　　　　．

１５.（文）曲線在點處的切線和兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積是　　　　　　　．

１６．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，則關(guān)于函數(shù)有下列命題：①的圖象關(guān)于原點對稱；②的圖象關(guān)于軸對稱；③的最小值為；④在區(qū)間上是單調(diào)遞增．其中正確命題的序號是        ．

17.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)定義在上，對于任意實數(shù)，恒有，且當(dāng)時，． 

（1）求證：在上是減函數(shù)；

（2）解不等式．

１８．（本小題滿分12分）求函數(shù)的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最大值.

１９．本小題滿分1２分）已知函數(shù),其中.

(1)設(shè)在和處取得極值,其中,求證: ；

 (２)若,求證:過原點且與曲線相切的兩條直線不可能垂直．

20．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)

   （１）若存在使不等式能成立，求實數(shù)的最小值；

   （２）關(guān)于的方程在上恰有兩個相異實根，求實數(shù)的取值范圍．

21.（改編題）已知函數(shù)在處取得極值2.

⑴ 求函數(shù)的解析式；

⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

⑶ 若為圖像上的任意一點，直線l與圖像切于點P，求直線l的斜率的取值范圍.

２２．（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（１）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（２）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大，最小值；

（３）當(dāng)時，對任意的正整數(shù)，比較與的大小．

答案

一　選擇題

１．B 提示:∵是偶函數(shù)，

∴，即，

∴∴，最大值.故選B.

2．B．提示：切線的斜率，故其傾斜角的取值范圍是．選B．

2．（文）C     提示：由知切線過點，故．∴．選C．

３．Ａ提示:由.故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,又,故.故選A.

４．D提示:函數(shù)是上的減函數(shù),由得,故,同理.相加得.故選D.

５．D提示:.故.故選D.

６．Ｂ提示:由．故選Ｂ．

６．（文）Ｃ提示:速度方程為，．故選Ｃ．

７．Ｄ提示:由冪函數(shù)的性質(zhì)，由指數(shù)函數(shù)知，故選Ｄ．

8．B．提示：由題設(shè)知在[1，2]上不小于零，而在[1，2]上是增函數(shù)，故．選B．

９．Ｂ提示:得，解得，設(shè)去了．故切點坐標(biāo)為，由點到直線的距離公式得．故選Ｂ．

１０．Ｄ提示:，

故，．故選Ｄ．

１０（文）Ａ提示:，曲線在點處的切線的斜率為．故切線方程為．

故選Ａ．

１１．Ａ提示:Ａ中，又的定義域為，，其中在遞減，故在遞減．故選Ａ．

12．A．提示：，選A．

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

二　、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13．．

提示：由知在（－1，1）上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)．

于是原不等式為．等價于  解得．

14．4．

提示：由和得；由．

又，∴．

此題亦可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，則．

１５．提示:由于，即，解得．

１５．（文）提示:，故曲線在點處的切線的斜率是，切線方程是，解得與坐標(biāo)軸的交點是和，故所圍圖形的面積為．

１６．②④提示:函數(shù)．．故知只有②④．

三　、解答題（本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．解（1）令得．∵，∴．

又，若，則．由知．

故對任意的，都有．

設(shè)，則，．

∴

．

即，故在上是減函數(shù)．

（2）原不等式等價于．

又是減函數(shù)，∴．解得．故原不等式的解集為．

１８．解：∵過函數(shù)圖象上任意一點的切線方程是，…………3分

_∴切線在軸和軸上的截距分別為，.

∴切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.……………………5分

，由得.………………………………8分

當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù).

，，

所以函數(shù)的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最大值為.…12分

１９．解：(1),

∴的兩根為,　　　…………３分

令,∵,∴,

故有．………………６分

 (２)過曲線上的點的切線的斜率是，

當(dāng)時,切線的斜率；…………７分

當(dāng)時, ，解得，∴切線斜率.…………９分

∵,∴,∴

∴

∴,故過原點且與曲線相切的兩條直線不可能垂直．……１２分

20．解：（１）依題意得，…………２分

    ，…………３分

當(dāng)時，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以．故，即實數(shù)的最小值是．…………6分

   （２）依題意得，在上恰有兩個相異實根，

    令，則，……８分

當(dāng)時，當(dāng)時，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故． ，，因為，所以只要，即可以使方程在上恰有兩個相異實根．即 …………………………12分

21.解：⑴ 求導(dǎo)，又在處取得極值2，所以，即，解得，所以；

⑵ 因為，又的定義域是R，所以由，得，又在上連續(xù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有，得，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有或，得.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

⑶ 直線l在點處的切線的斜率，令，則，所以，因為，所以.

22．解：（１）當(dāng)時，，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，即．　　（4分）

（２）當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，當(dāng)時，故是函數(shù)在上唯一的極小值點，故．　　　　　　　　�。�6分）

又，，故．（8分）

（３）令，則，（10分）

當(dāng)時，，，故在上恒成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增，故，　　　　�。ǎ�3分）

取，則，故有．　　　　　�。ǎ�4分）

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