江蘇省南京市2009屆高三第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)試題2009.3
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）
1、計(jì)算：
= 。
2、若復(fù)數(shù)
是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則
= 。
3、某人5 次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為
，
。已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為 。
4、已知等比數(shù)列
的各項(xiàng)均為正數(shù)，若
，前三項(xiàng)的和為21 ，
則
。
5、設(shè)
是兩個(gè)集合，定義集合
，若
，
，則
。
6、根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果
為
。
7、已知扇形的周長(zhǎng)為
，則該扇形面積的最大值為 
。
8、過(guò)橢圓
的左頂點(diǎn)
作斜率為
的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為
，與
軸的交點(diǎn)為
。若
，則該橢圓的離心率為
。
9、若方程
在區(qū)間
上有解，則所有滿足條件的
的值的和為
。
10、如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔、，燈塔位于燈塔的正南方向，海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔的北偏西
方向，與相距
海里的
處；乙船位于燈塔B的北偏西
方向，與相距5海里的
處，則兩艘船之間的距離為 海里。
11、如圖，在正三棱柱
中，D為棱
的中點(diǎn)，若截面
是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為
。
12、設(shè)
：函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增；
，如果“┐p”是正真命題，那么實(shí)數(shù)
的取值范圍是
。
13、如圖，在正方形
中，已知
，
為
的中點(diǎn)，若
為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則
的最大值是 。
14、已知函數(shù)
，
，
是其圖象上不同的兩點(diǎn).若直線
的斜率總滿足
，則實(shí)數(shù)的值是
。
二、解答題
15、（本題滿分14分）
某學(xué)�；@球隊(duì)，羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)員，某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì)，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，求：
(1) 該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；
（2）該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率
16、（本題滿分14分）如圖，在四棱錐
中，底面中為菱形，
，
為
的中點(diǎn)。
（1） 若
，求證：平面
平面
；
（2） 
點(diǎn)在線段
上，
，試確定實(shí)數(shù)
的值，使得
平面
。
17、（本題滿分14分）已知函數(shù)
。
（1） 求函數(shù)
在
上的值域；
（2） 在
中，若
，求
的值。
18、（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系
中，已知拋物線
橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5。
（1） 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）
設(shè)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以為圓心的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為
，求證：
圓過(guò)定點(diǎn)。
19、（本題滿分16分）設(shè)
，函數(shù)
.
(1) 當(dāng)
時(shí),求曲線
在
處的切線方程;
(2) 當(dāng)
時(shí),求函數(shù)的最小值.
20、（本題滿分16分）在數(shù)列中，已知
，且，
（1） 若數(shù)列為等差數(shù)列，求的值。
（2） 求數(shù)列的前
項(xiàng)和
（3） 當(dāng)
時(shí)，求證：
南京市2009屆高三第一次調(diào)研試數(shù)學(xué)附加題
21、選做題(在
四小題中只能選做2題，每小題10分,共計(jì)2分)
.選修
：幾何證明選講
如圖，已知四邊形內(nèi)接于⊙O,
,
切⊙O于點(diǎn)
.求證：
.
B.選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣
，
。在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線
在矩陣
對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線
，求曲線的方程。
C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線和參數(shù)方程為
,
是橢圓
上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值。
D．選修4-5：不等式選講
已知
為正數(shù)，求證：
.
必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。
22．已知圓
：
，定點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)
，且與圓相內(nèi)切。
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線與（1）中的曲線交于兩點(diǎn)，且
的面積為
，求直線的方程。
23已知：
（1）當(dāng)
時(shí)，求
的值。
（2）設(shè)
，
。試用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，
一、填空
1、
；2、
；3、；4、
；5、
；6、5；7、
；8、
；9、
；
10、
；11、
；12、
；13、
；14、
。
二、解答題
1`5、（本題滿分14分）
解：（1）（設(shè)“該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的”為事件A，則事件A的概率
（2）設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的”為事件B，則事件B的概率為
答：（略）
16、（本題滿分14分）
解：（1）連
，四邊形
菱形 
，
為
的中點(diǎn)， 
又
，
（2）當(dāng)
時(shí)，使得
，連
交
于
，交于
，則為 的中點(diǎn)，又為
邊上中線，為正三角形
的中心，令菱形的邊長(zhǎng)為
，則
，
。
即：
。
17、解：
（1）
，
在區(qū)間
上的值域?yàn)?sub>
（2）
，
，
18、解：（1）依題意，得：
，
。
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)圓心
的坐標(biāo)為
，半徑為
。
圓心在
軸上截得的弦長(zhǎng)為
圓心的方程為：
從而變?yōu)椋?sub>
①
對(duì)于任意的
，方程①均成立。
故有：
解得：
所以，圓過(guò)定點(diǎn)（2，0）。
19、解（1）當(dāng)
時(shí)，
令
得 
所以切點(diǎn)為（1，2），切線的斜率為1，
所以曲線
在處的切線方程為：
。
（2）①當(dāng)
時(shí)，
，
，
恒成立。 
在
上增函數(shù)。
故當(dāng)
時(shí)，
② 當(dāng)
時(shí)，
，
（）
（i）當(dāng)
即
時(shí)，
在
時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間
上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，
，且此時(shí)
(ii)當(dāng)
，即
時(shí)，在
時(shí)為負(fù)數(shù)，在間
時(shí)為正數(shù)。所以在區(qū)間
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)
故當(dāng)
時(shí)，
，且此時(shí)
(iii)當(dāng)
；即 
時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在時(shí)和
時(shí)的最小值都是
。
所以此時(shí)的最小值為
；當(dāng)時(shí)，在時(shí)的最小值為
，而，
所以此時(shí)的最小值為。
當(dāng)時(shí)，在時(shí)最小值為，在時(shí)的最小值為
，
而，所以此時(shí)的最小值為
所以函數(shù)的最小值為
20、解：（1）設(shè)數(shù)列
的公差為
，則
，
，
依題得：
，對(duì)
恒成立。
即：
，對(duì)恒成立。
所以
，即：
或
，故
的值為2。
（2）
所以，
① 當(dāng)
為奇數(shù)，且
時(shí)，
。
相乘得
所以 
當(dāng)
也符合。
② 當(dāng)為偶數(shù)，且
時(shí)，
， 
相乘得
所以 
，所以 
。因此 
，當(dāng)
時(shí)也符合。
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
。
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
為偶數(shù)，
所以
南京市2009屆高三第一次調(diào)研試
數(shù)學(xué)附加題參考答案
21、選做題
.選修
：幾何證明選講
證明：因?yàn)?sub>
切⊙O于點(diǎn)
，所以
因?yàn)?sub>
，所以 
又A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以 
所以 
又
，所以
∽
所以
即
所以 
即：
B.選修4-2：矩陣與變換
解:由題設(shè)得
,設(shè)
是直線
上任意一點(diǎn),
點(diǎn)在矩陣
對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?sub>
,
則有
, 即 
,所以
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,從而
,即：
所以曲線
的方程為 
C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解： 直線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)）故直線的普通方程為
因?yàn)?sub>為橢圓
上任意點(diǎn)，故可設(shè)
其中
。
因此點(diǎn)
到直線的距離是
所以當(dāng)
，
時(shí)，取得最大值
。
D．選修4-5：不等式選講
證明：
，所以 
必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。
22、解：（1）設(shè)圓
的半徑為。
因?yàn)閳A與圓
，所以
所以
，即：
所以點(diǎn)的軌跡是以
為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為
其中 
，所以
所以曲線的方程
（2）因?yàn)橹本�過(guò)橢圓的中心，由橢圓的對(duì)稱性可知，
因?yàn)?sub>
，所以
。
不妨設(shè)點(diǎn)
在
軸上方，則
。
所以
，
，即：點(diǎn)的坐標(biāo)為
或
所以直線的斜率為
，故所求直線方和程為
23、（1）當(dāng)
時(shí)，
原等式變?yōu)?/p>
令
得 
（2）因?yàn)?sub>
所以
①當(dāng)時(shí)。左邊=
，右邊
左邊=右邊，等式成立。
②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，等式成立，即
那么，當(dāng)
時(shí)，
左邊
右邊。
故當(dāng)時(shí)，等式成立。
綜上①②，當(dāng)
時(shí)，
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