2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)二十一

難點(diǎn)21  直線方程及其應(yīng)用

直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎(chǔ)的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎(chǔ)內(nèi)容.應(yīng)達(dá)到熟練掌握、靈活運(yùn)用的程度，線性規(guī)劃是直線方程一個(gè)方面的應(yīng)用，屬教材新增內(nèi)容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學(xué)生比較棘手的.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求證：abc+2＞a+b+c.

●案例探究

［例1］某校一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為α(90°≤α＜180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(a＞b).問學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫的效果最佳？

命題意圖：本題是一個(gè)非常實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及對三角知識的綜合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)連線的斜率公式，不等式法求最值.

錯(cuò)解分析：解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值.如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求sinACB的最大值.都將使問題變得復(fù)雜起來.

技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個(gè)三角函數(shù)值.

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點(diǎn)，在x軸的正半軸上找一點(diǎn)C(x,0)(x＞0),欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取得最大值.

由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(acosα,asinα)、

(bcosα,bsinα),于是直線AC、BC的斜率分別為：

k_AC=tanxCA=,

于是tanACB=

由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤,當(dāng)且僅當(dāng)=x，即x=時(shí)，等號成立，此時(shí)∠ACB取最大值，對應(yīng)的點(diǎn)為C(,0),因此，學(xué)生距離鏡框下緣 cm處時(shí)，視角最大，即看畫效果最佳.

［例2］預(yù)算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能的多，但椅子不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？

命題意圖：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用，本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)、準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解，屬★★★★★級題目.

知識依托：約束條件，目標(biāo)函數(shù)，可行域，最優(yōu)解.

錯(cuò)解分析：解題中應(yīng)當(dāng)注意到問題中的桌、椅張數(shù)應(yīng)是自然數(shù)這個(gè)隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)時(shí)，應(yīng)作出相應(yīng)地調(diào)整，直至滿足題設(shè).

技巧與方法：先設(shè)出桌、椅的變數(shù)后，目標(biāo)函數(shù)即為這兩個(gè)變數(shù)之和，再由此在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解.

解：設(shè)桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件

為由

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)

由

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(25，)

所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(如右圖)

由圖形直觀可知，目標(biāo)函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為(25，)，但注意到x∈N,y∈N^*,故取y=37.

故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇.

［例3］拋物線有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y²=2px(p＞0).一光源在點(diǎn)M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x－4y－17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M(如下圖所示)

(1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，證明：y₁?y₂=－p²；

(2)求拋物線的方程；

(3)試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個(gè)重要應(yīng)用.本題是一道與物理中的光學(xué)知識相結(jié)合的綜合性題目，考查了學(xué)生理解問題、分析問題、解決問題的能力，屬★★★★★★級題目.

知識依托：韋達(dá)定理，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)式方程.

錯(cuò)解分析：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時(shí).

技巧與方法：點(diǎn)關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵.

(1)證明：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知

光線PQ必過拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，

設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－)                                                             ①

由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y²=2px中，整理，得y²－y－p²=0,由韋達(dá)定理，y₁y₂=－p².

當(dāng)直線PQ的斜率角為90°時(shí)，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y₁?y₂=

－p².

(2)解：因?yàn)楣饩�QN經(jīng)直線l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點(diǎn)M(，4)關(guān)于l的對稱點(diǎn)為M′(x′,y′)，則

解得

直線QN的方程為y=－1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₂=－1，

由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₁=4，且由(1)知：y₁?y₂=－p²,則4?(－1)=－p²,

得p=2,故所求拋物線方程為y²=4x.

(3)解：將y=4代入y²=4x,得x=4，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)

將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=,

故N點(diǎn)坐標(biāo)為(，－1)

由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y－12=0,

設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線NP的對稱點(diǎn)M₁(x₁,y₁)

又M₁(,－1)的坐標(biāo)是拋物線方程y²=4x的解，故拋物線上存在一點(diǎn)(，－1)與點(diǎn)M關(guān)于直線PN對稱.

●錦囊妙計(jì)

1.對直線方程中的基本概念，要重點(diǎn)掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關(guān)的問題等.

2.對稱問題是直線方程的一個(gè)重要應(yīng)用，中學(xué)里面所涉及到的對稱一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)或點(diǎn)關(guān)于直線的對稱.中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具.

3.線性規(guī)劃是直線方程的又一應(yīng)用.線性規(guī)劃中的可行域，實(shí)際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時(shí)，設(shè)t=ax+by,則此直線往右(或左)平移時(shí)，t值隨之增大(或減小)，要會(huì)在可行域中確定最優(yōu)解.

4.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)等代數(shù)問題往往借助直線方程進(jìn)行，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

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二、填空題

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三、解答題

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難點(diǎn)磁場

證明：設(shè)線段的方程為y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1.

∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0

f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0

∴線段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x軸上方，這就是說，當(dāng)|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1時(shí)，恒有abc+2＞a+b+c.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：將問題轉(zhuǎn)化為比較A(－1，－1）與B(10²⁰⁰¹，10²⁰⁰⁰）及C(10²⁰⁰²，10²⁰⁰¹）連線的斜率大小，因?yàn)?i>B、C兩點(diǎn)的直線方程為y=x，點(diǎn)A在直線的下方，∴k_AB＞k_AC,即M＞N.

答案：A

2.解析：設(shè)三角形的另外兩邊長為x,y,則

點(diǎn)(x,y）應(yīng)在如右圖所示區(qū)域內(nèi)

當(dāng)x=1時(shí)，y=11；當(dāng)x=2時(shí)，y=10,11；

當(dāng)x=3時(shí)，y=9,10,11；當(dāng)x=4時(shí)，y=8,9,10,11;

當(dāng)x=5時(shí)，y=7,8,9,10,11.

以上共有15個(gè)，x,y對調(diào)又有15個(gè)，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六組，所以共有36個(gè).

答案：C

二、3.解析：找A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，A′B與直線l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn).

答案：P(5，6）

4.解析：光線l所在的直線與圓x²+y²－4x－4y+7=0關(guān)于x軸對稱的圓相切.

答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0

5.解析：f(θ)=表示兩點(diǎn)(cosθ,sinθ)與(2,1)連線的斜率.

答案：  0

6.解析：原不等式變?yōu)?x²－1)m+(1－2x)＜0,構(gòu)造線段f(m)=(x²－1)m+1－2x,－2≤m≤2,則f(－2)＜0,且f(2)＜0.

答案：

三、7.(1)證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，由題設(shè)知x₁＞1,x₂＞1,?

點(diǎn)A(x₁,log₈x₁),B(x₂,log₈x₂).

因?yàn)?i>A、B在過點(diǎn)O的直線上，所以,又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x₁,log₂x₁）、(x₂,log₂x₂).

由于log₂x₁=3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,則

由此得k_OC=k_OD,即O、C、D在同一直線上.

(2)解：由BC平行于x軸，有l(wèi)og₂x₁=log₈x₂,又log₂x₁=3log₈x₁

∴x₂=x₁³

將其代入,得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,

由于x₁＞1知log₈x₁≠0,故x₁³=3x₁x₂=,于是A(，log₈).

9.(1)證明：由條件，得a₁=S₁=a,當(dāng)n≥2時(shí)，

有a_n=S_n－S_n－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.

因此，當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n－a_n－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.

所以{a_n}是以a為首項(xiàng)，2b為公差的等差數(shù)列.

(2)證明：∵b≠0,對于n≥2,有

∴所有的點(diǎn)P_n(a_n,－1)(n=1,2,…)都落在通過P₁(a,a－1)且以為斜率的直線上.此直線方程為y－(a－1)=  (x－a),即x－2y+a－2=0.

(3)解：當(dāng)a=1,b=時(shí)，P_n的坐標(biāo)為(n,),使P₁(1,0)、P₂(2, )、P₃(3,1)都落在圓C外的條件是

由不等式①,得r≠1

由不等式②，得r＜－或r＞+

由不等式③，得r＜4－或r＞4+

再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+

故使P₁、P₂、P₃都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞).