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專題五：排列、組合、二項(xiàng)式定理、概率與統(tǒng)計(jì)

余杭中學(xué) 謝綱

【考點(diǎn)審視】

1．突出運(yùn)算能力的考查。高考中無論是排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率題目，均是用數(shù)值給出的選擇支或要求用數(shù)值作答，這就要求平時(shí)要重視用有關(guān)公式進(jìn)行具體的計(jì)算。

2．有關(guān)排列、組合的綜合應(yīng)用問題。這種問題重點(diǎn)考查邏輯思維能力，它一般有一至兩個(gè)附加條件，此附加條件有鮮明的特色，是解題的關(guān)鍵所在；而且此類問題一般都有多種解法，平時(shí)注意訓(xùn)練一題多解；它一般以一道選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于中等偏難（理科）的題目。

3．有關(guān)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)式和二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的問題。這種問題重點(diǎn)考查運(yùn)算能力，特別是有關(guān)指數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用，同時(shí)還要注意理解其基本概念，它一般以一道選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題。

4．有關(guān)概率的實(shí)際應(yīng)用問題。這種問題既考察邏輯思維能力，又考查運(yùn)算能力；它要求對四個(gè)概率公式的實(shí)質(zhì)深刻理解并準(zhǔn)確運(yùn)用；文科僅要求計(jì)算概率，理科則要求計(jì)算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道選擇題或填空題、一道解答題）的形式出現(xiàn)，屬于中等偏難的題目。

5．有關(guān)統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用問題。這種問題主要考查對一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題。

【疑難點(diǎn)撥】

1．知識體系：

2．知識重點(diǎn)：

（1）分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理。它是本章知識的靈魂和核心，貫穿于本章的始終。

（2）排列、組合的定義，排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的定義以及推導(dǎo)過程。排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程就是位置分析法的應(yīng)用，而組合數(shù)公式的推導(dǎo)過程則對應(yīng)著先選（元素）后排（順序）這一通法。

（3）二項(xiàng)式定理及其推導(dǎo)過程、二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)及其推導(dǎo)過程。二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程體現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的實(shí)質(zhì)，反映了兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及組合思想的具體應(yīng)用，二項(xiàng)展開式系數(shù)性質(zhì)的推導(dǎo)過程就對應(yīng)著解決此類問題的通法――賦值法（令）的應(yīng)用。

（4）等可能事件的定義及其概率公式，互斥事件的定義及其概率的加法公式，相互獨(dú)立事件的定義及其概率的乘法公式，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義及其概率公式�；コ馐录母怕始臃ü綄�(yīng)著分類相加計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式對應(yīng)著分步相乘計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。

（5）（理科）離散型隨機(jī)變量的定義，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差。

（6）簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣，總體分布，正態(tài)分布，線性回歸。

2．知識難點(diǎn)：

(1) 排列、組合的綜合應(yīng)用問題。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵在于：在基本思想上強(qiáng)調(diào)兩個(gè)基本原理（分類相加計(jì)數(shù)原理和分步相乘計(jì)數(shù)原理）在本章知識中的核心地位；在通法上要求，首先要認(rèn)真審題，分清是排列（有序）還是組合（無序），或二者兼而有之；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利用兩個(gè)基本原理進(jìn)行“分類與分步”，分類時(shí)要不重不漏，分步時(shí)要獨(dú)立連續(xù)。在兩個(gè)公式的應(yīng)用中要深刻理解其定義中的“所有”的含義，特別是組合數(shù)“”已包含了個(gè)元素“所有”可能的組合的個(gè)數(shù)，故在平均分堆過程中就會產(chǎn)生重復(fù)，而平均分配給不同的對象過程中就不用再排序。同時(shí)在本節(jié)中要注意強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

(2) 二項(xiàng)式定理的計(jì)算。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵在于：熟記指數(shù)的運(yùn)算法則和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，深刻理解“第項(xiàng)”“常數(shù)項(xiàng)”“有理項(xiàng)”“二項(xiàng)式系數(shù)”“系數(shù)”等基本概念的區(qū)別與聯(lián)系。

(3) 概率、分布列、期望和方差的計(jì)算。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵在于：首先要運(yùn)用兩個(gè)基本原理認(rèn)真審題，弄清楚問題屬于四種類型事件中的哪一種，然后準(zhǔn)確地運(yùn)用相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算，其中要注意排列、組合知識的應(yīng)用。（理科）對于分布列要熟記一個(gè)基本型（）和三個(gè)特殊型（，二項(xiàng)分布，幾何分布）的定義和有關(guān)公式；此類問題解題思維的的流程是：要求期望，則必先求分布列，而求分布列的難點(diǎn)在于求概率，求概率的關(guān)鍵在于要真正弄清每一個(gè)隨機(jī)變量“”所對應(yīng)的具體隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

【經(jīng)典題例】

例1：將名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排名學(xué)生，那么互不相同的分配方法共有多少種？

[思路分析] 根據(jù)宿舍的人數(shù)，可分為三類：“”型不同的分配方法有種；“”型不同的分配方法有種；“”型不同的分配方法有種。則由加法原理得，不同的分配方法共有種。

[簡要評述] 本題體現(xiàn)了“先選后排”通法的應(yīng)用，屬于排列組合混合問題。要注意（不）平均分配與（不）平均分堆的聯(lián)系與區(qū)別。

例2：在正方形中，分別為各

邊的中點(diǎn)，為正方形中心，在此圖中的九個(gè)點(diǎn)中，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，在這些三角形中，

互不全等的三角形共有多少個(gè)？

[思路分析] 根據(jù)三角形的類型分為三類：直角三角

形有共種；以邊

為底的三角形共種；過中點(diǎn)和中心的三角形有共種。由加法原理得，共有種不同類型的三角形。

[簡要評述] 本題體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學(xué)思想”的應(yīng)用，屬于排列組合中的幾何問題，在具體方法上是運(yùn)用了“窮舉法（將所有的情形全部列出）”。

例3：在多項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為多少？

[思路分析]

解1 ，所以含項(xiàng)的系數(shù)為。

解2 ，所以含項(xiàng)的系數(shù)為。

解3 由組合原理。

[簡要評述] 本題重點(diǎn)考查對二項(xiàng)式定理的本質(zhì)的理解和運(yùn)算能力。

例4：從數(shù)字中，隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于的概率為多少？

[思路分析] 本題的基本事件是由個(gè)不同的數(shù)字允許重復(fù)而且含的條件下組成三位數(shù)，根據(jù)乘法原理可知基本事件的全體共有個(gè)。設(shè)三個(gè)數(shù)字之和等于的事件為，則分為六類：數(shù)碼組成不同的三位數(shù)有個(gè)；數(shù)碼組成不同的三位數(shù)有個(gè)；數(shù)碼組成不同的三位數(shù)有個(gè)；數(shù)碼組成不同的三位數(shù)有個(gè)；數(shù)碼組成不同的三位數(shù)有個(gè)；數(shù)碼組成不同的三位數(shù)有個(gè)，根據(jù)加法原理，事件共有

個(gè)。故。

[簡要評述] 本題考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重點(diǎn)在于利用排列組合知識求各個(gè)基本事件的總數(shù)。

例5：若則

，。

[思路分析] 將條件等式的左右兩邊比較，可知變形。

利用賦值法，令，則有；

令，則有。

[簡要評述] 本題考查二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)，在具體方法上是運(yùn)用了通法“賦值法”。

例6：從中任取個(gè)數(shù)字，從中任取個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被整除的不同四位數(shù)共有個(gè)。

[思路分析] 由已知，此四位數(shù)的末位只能是或，且不能在首位，故為特殊元素，而且二者中至少要選一個(gè)。根據(jù)題意，可分三類：有無，不同的四位數(shù)有個(gè)；有無，不同的四位數(shù)有個(gè)；同時(shí)存在，當(dāng)在末位時(shí)，不同的四位數(shù)有個(gè)，當(dāng)在末位時(shí)，不同的四位數(shù)有個(gè)。所以滿足條件的不同的四位數(shù)共有個(gè)。

[簡要評述] 本題考查有兩個(gè)受條件限制的特殊元素的排列組合混合問題，基本解題模型為：分為三類。第一類，兩個(gè)中一個(gè)都不考慮；第二類，兩個(gè)中考慮一個(gè)；第三類，兩個(gè)都考慮。

注意在具體求解中其中“先選后排”“位置分析法”等通法的運(yùn)用。

例7：魚塘中共有條魚，從中捕得條，加上標(biāo)志后立即放回塘中，經(jīng)過一段時(shí)間，再從塘中捕出條魚，發(fā)現(xiàn)其中有條標(biāo)志魚。

（1）問其中有條標(biāo)志魚的概率是多少？（2）由此可推測塘中共有多少條魚（即用表示）？

[思路分析] （1）由題意可知，基本事件總數(shù)為。魚塘中的魚分為兩類：有標(biāo)志的魚條，無標(biāo)志的魚條，從而在捕出條魚中，有標(biāo)志的條魚有種可能，同時(shí)無標(biāo)志的條魚有種可能，則捕出條魚中有條魚共有種可能。所以概率為。

（2）由分層抽樣可知，（條）。

[簡要評述] 本題考查等可能性事件的概率和統(tǒng)計(jì)知識，重點(diǎn)要注意“魚”的不同的分類以及抽樣方法中各個(gè)元素被抽取概率的相等性。

例8：某賓館有間客房，現(xiàn)要安排位旅游者，每人可以進(jìn)住任意一個(gè)房間，且進(jìn)住各房間是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件：指定的個(gè)房間各有人；（2）事件：恰有個(gè)房間各有人；（3）事件：指定的某房間中有人；（4）事件：一號房間有人，二號房間有人；（5）事件：至少有人在同一個(gè)房間。

[思路分析] 由于每人可以進(jìn)住任一房間，進(jìn)住哪一個(gè)房間都有種等可能的方法，根據(jù)乘法原理，個(gè)人進(jìn)住個(gè)房間有種方法，則（1）指定的個(gè)房間中各有人有種方法，。

（2）恰有個(gè)房間各有人有種方法，。（3）從人中選人的方法有種，余下的人每人都可以去另外的個(gè)房間中的任一間，有種方法，。（4）從人中選人去一號房間的方法有種，從余下人中選人去二號房間的方法有，再余下的人可去個(gè)房間中的任一間，。

（5）從正面考慮情形較復(fù)雜，正難則反，“至少有人在同一個(gè)房間”的反面是“沒有人在同一個(gè)房間，即恰有個(gè)房間各有人”，。

[簡要評述] 本題考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列組合知識的運(yùn)用。

例9：甲、乙、丙三人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲解出而乙解不出的概率為，被乙解出而丙解不出的概率為，被甲、丙兩人都解出的概率是。

（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；

（2）（文科）求該題被解出的概率。（理科）求解出該題人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。

[思路分析]（1）設(shè)分別為甲、乙、丙三人各自獨(dú)立解某一數(shù)學(xué)題的事件。由已知?jiǎng)t有

即由此方程組解得所以該題被乙獨(dú)立解出的概率為。（2）（文科）記為該題被解出，它對應(yīng)著甲、乙、丙三人中至少有一人解出該題，則。

（理科），，

，

。

所以隨機(jī)變量的分布列為：

期望為。

[簡要評述] 本題考查相互獨(dú)立事件的概率和互斥事件的概率，同時(shí)考查函數(shù)方程數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力。理科還考查分布列和數(shù)學(xué)期望，在解題過程中特別要注意，真正弄清每一個(gè)隨機(jī)變量“”所對應(yīng)的具體隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

例10：某一汽車前進(jìn)途中要經(jīng)過個(gè)紅綠燈路口。已知汽車在第一個(gè)路口，遇到紅燈和遇到綠燈的概率都是；從第二個(gè)路口起，若前次遇到紅燈，則下一次遇到紅燈的概率是，遇到綠燈的概率是；若前一次遇到綠燈，則下一次遇到紅燈的概率是，遇到綠燈的概率是。求：