專(zhuān)題七：直線(xiàn)和圓

余杭實(shí)驗(yàn)中    任惜芬

【考點(diǎn)審視】

本章是解析幾何的基礎(chǔ)，也是高考對(duì)解析幾何進(jìn)行綜合考查的重要組成部分之一，因?yàn)橹本�(xiàn)和圓是最簡(jiǎn)單基本的幾何圖形。研究直線(xiàn)和圓的思想與方法也是解析幾何研究的基本思想與方法，同時(shí)也是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以直線(xiàn)和圓成為高考的必考內(nèi)容。命題的特點(diǎn)：1.本章在高考中主要考查兩類(lèi)問(wèn)題：基本概念題和求在不同條件下的直線(xiàn)方程。基本概念重點(diǎn)考查（1）與直線(xiàn)方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問(wèn)題；（2）直線(xiàn)的平行和垂直的條件；（3）與距離有關(guān)的問(wèn)題等。此類(lèi)題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)。2.直線(xiàn)與圓、圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等綜合性試題，此類(lèi)題難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)。3.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式等代數(shù)問(wèn)題往往借助直線(xiàn)方程進(jìn)行解決，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力。4.本章的線(xiàn)性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，在高考中極有可能涉及，但難度不會(huì)大。應(yīng)試策略：首先是注重基礎(chǔ)，基本知識(shí)、基本題型要掌握好，不必做那些難的有關(guān)直線(xiàn)的問(wèn)題，高考中直線(xiàn)以解答題形式出現(xiàn)的可能性不大。解析幾何解答題大多是關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系的綜合題，考查綜合運(yùn)用知識(shí)、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，尤其現(xiàn)在高考不要求兩圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題后，直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題更是重要，因此，在復(fù)習(xí)中要注意滲透本章知識(shí)在解答解析幾何綜合問(wèn)題時(shí)的運(yùn)用。

【疑難點(diǎn)拔】

直線(xiàn)的斜率及直線(xiàn)方程的幾種形式是本章的重點(diǎn)，本章的難點(diǎn)是傾斜角及直線(xiàn)方程的概念，突破難點(diǎn)的方法之一是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，要注意直線(xiàn)方程幾種形式的適用性和局限性，直線(xiàn)方程中的各個(gè)參數(shù)都具有明顯的幾何意義，它對(duì)直線(xiàn)的位置、點(diǎn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與圓的各種關(guān)系的研究十分重要，高考中重點(diǎn)考查運(yùn)用上述知識(shí)解題的變通能力。在解答有關(guān)直線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，要注意：

（1）在確定直線(xiàn)的斜率、傾斜角時(shí)，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍；

（2）在利用直線(xiàn)的截距式解題時(shí)，要注意防止由于“零截距”而造成丟解的情況；

（3）在利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意檢驗(yàn)不存在的情況，防止丟解；

（4）直線(xiàn)方程的三種形式各有適用范圍，要能根據(jù)題中所給已知條件選用最恰當(dāng)?shù)谋硎拘问剑�并能根�?jù)問(wèn)題的需要靈活準(zhǔn)確地進(jìn)行互化，在求直線(xiàn)方程時(shí)，要注意需二個(gè)獨(dú)立的條件才能確定。常用的方法是待定系數(shù)法；

（5）兩直線(xiàn)的平行與垂直是現(xiàn)實(shí)生活中最常見(jiàn)到的兩種特殊位置關(guān)系，故掌握它們的判斷方法就顯得非常重要，特別要提醒的是應(yīng)把它們的判定和平面兩向量共線(xiàn)與垂直的判定有機(jī)地結(jié)合在一起；

（6）在由兩直線(xiàn)的位置關(guān)系確定有關(guān)參數(shù)的值或其范圍時(shí)，要充分利用分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)思想方法。

(7)直線(xiàn)方程問(wèn)題是“解析幾何”的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意積累下面兩方面的經(jīng)驗(yàn)：①正確選擇各種直線(xiàn)方程解決各種問(wèn)題；②通過(guò)直線(xiàn)方程問(wèn)題的解題，逐步認(rèn)識(shí)“解析幾何”問(wèn)題的解題思維策略，積累“方程”、“坐標(biāo)”、“圖形”的解題經(jīng)驗(yàn)。

線(xiàn)性規(guī)劃是直線(xiàn)方程在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，常通過(guò)二元一次不等式表示的平面區(qū)域來(lái)確定實(shí)際問(wèn)題的解，應(yīng)用極為廣泛。加強(qiáng)思想方法訓(xùn)練，培養(yǎng)綜合能力。平面解析幾何的核心是坐標(biāo)法，它需要運(yùn)用變化的觀點(diǎn)，運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，因此在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，從知識(shí)到思想方法上都需要與函數(shù)、方程、不等式、三角及平面幾何內(nèi)容相聯(lián)系。

能夠判斷直線(xiàn)與圓、點(diǎn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，解決直線(xiàn)與圓的有關(guān)問(wèn)題的基本方法是將直線(xiàn)和圓的方程組成的方程組通過(guò)消元，化成一元二次方程，然后靈活使用判別式或違達(dá)定理解題；同時(shí)要善于利用直線(xiàn)和圓的幾何知識(shí)解題。

直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是直線(xiàn)的一種重要應(yīng)用，在高考中每年都有重點(diǎn)的考查，因此在復(fù)習(xí)時(shí)一定注意知識(shí)間的橫向聯(lián)系，以達(dá)到融匯貫通。

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

專(zhuān)題七：直線(xiàn)與圓

余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué)    任惜芬

【經(jīng)典題例】

例1：不等式 表示的平面區(qū)域是在直線(xiàn)（    ）

的點(diǎn)的集合。

（A）左上方      （B）右上方      （C）左下方      （D）右下方

[思路分析]  作出直線(xiàn)，又因?yàn)?sub>，所以原點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)側(cè)表示直線(xiàn)的左下方，故選取C。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]  用特殊值法解選擇題是常用的方法。

 

例2：若直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是  (     )

（A） （B） （C） （D）或(-1,1]

[思路分析]  數(shù)形結(jié)合的思想，

表示一組斜率為1的平行直線(xiàn)，

表示y軸的右半圓。如圖可知，選（D）

[簡(jiǎn)要評(píng)述]  數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，此題

可以進(jìn)一步拓展，，等。

 

例3：如果實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，那么的最大值是            。

[思路分析]  解法一：設(shè)直線(xiàn)l：，則表示直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)與圓

相切時(shí)，斜率為最大或最小，所以只要求圓心到直線(xiàn)

距離為半徑即可。

解法二：設(shè)圓的參數(shù)方程：

則   據(jù)三角知識(shí)求解。

解法三：設(shè)=t ，則  只要解方程組，利用可得解。

解法四：如圖，聯(lián)結(jié)圓心C與切點(diǎn)M，則由OM⊥CM，又Rt△OMC中，OC=2，CM=

        所以，OM=1，得

 [簡(jiǎn)要評(píng)述]  小題小做，選方法四最為簡(jiǎn)單，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用。

 

例4：已知兩點(diǎn)，，求直線(xiàn)的斜率與傾斜角。

[思路分析]  注意斜率存在的條件。當(dāng)時(shí)，不存在。=，當(dāng)時(shí)，

；當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),

[簡(jiǎn)要評(píng)述]  此題涉及到分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，分類(lèi)討論在歷年的高考中，特別是綜合性題目中常常出現(xiàn)，是重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一。

 

例5：過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交、的正半軸于、，若四邊形的面積被直線(xiàn)平分，求直線(xiàn)方程。

[思路分析]  命題有兩種設(shè)方程的方案：①設(shè)、的點(diǎn)斜式方程，然后求出；②設(shè)的截距式方程，經(jīng)過(guò)估算，應(yīng)選第②方案更好。設(shè)方程為（a>0,b>0）

∴、。  ∵⊥ ∴

  ∵a>0  0<b<5   ∵方程的一般式為

∴到的距離

∴的面積

而的面積，

∵直線(xiàn)平分四邊形的面積，∴  ， 可得   

故所求方程為和。

[簡(jiǎn)要評(píng)述] 若命題中的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸均有交點(diǎn)，應(yīng)首先考慮選用截距式方程是否有利。

 

例6：已知，定點(diǎn)A(1,0)，B、C是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，保持A、B、C在圓上逆時(shí)針排列，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求△ABC重心G的軌跡方程。

[思路分析]  設(shè)，則；設(shè)G（x，y）

則      ①

        ②

       ①²+②²  得     

即 

[簡(jiǎn)要評(píng)述] 適當(dāng)運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，有利于尋求函數(shù)關(guān)系。

 

例7：過(guò)點(diǎn)P（-8，0），引圓C： 的割線(xiàn)，求被此圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。

[思路分析] 方法一，      

∵CM⊥PM，∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以

P（-8，0）、C（1，-5）中點(diǎn)為圓心，|PC|

長(zhǎng)為直徑的圓。

   （圓C的內(nèi)部）

方法二，設(shè)M（x，y）為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（-8，0）的直線(xiàn)

，又設(shè)A（，y₁），B（x₂，y₂），

由方程組 

                                                  

可以得到

據(jù)韋達(dá)定理可以得解。                                                

方法三，

化簡(jiǎn)得       （圓C的內(nèi)部）

 [簡(jiǎn)要評(píng)述]  方法一是據(jù)圓的定義得解的較為簡(jiǎn)單；方法二容易想到，但計(jì)算量太大；方法三是利用平面兩向量垂直的性質(zhì)與平面兩向量的數(shù)量積，使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化。

 

例8：已知?dú)庀笈_(tái)A處向西300km處，有個(gè)臺(tái)風(fēng)中心，已知臺(tái)風(fēng)以每小時(shí)40km的速度向東北方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心250km以?xún)?nèi)的地方都處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)，問(wèn)：從現(xiàn)在起，大約多長(zhǎng)時(shí)間后，氣象臺(tái)A處進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈？氣象臺(tái)A處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約多長(zhǎng)？

[思路分析]  如圖建立直角坐標(biāo)系，B為臺(tái)風(fēng)中心，

處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的界線(xiàn)為以B為圓心，半徑為250的

圈內(nèi)，若t小時(shí)后，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)B₁點(diǎn)，則

B₁(-300+40tCOS45⁰,40tsin45⁰)，則以B₁為圓心，

250為半徑的圓的方程為

那么臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的點(diǎn)就應(yīng)滿(mǎn)足 。若氣象臺(tái)A處進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈，那么A點(diǎn)的坐標(biāo)就應(yīng)滿(mǎn)足上述關(guān)系式，把A點(diǎn)的坐標(biāo)(0，0)代入上面不等式，得，解得，即為；所以氣象臺(tái)A處約在2小時(shí)后進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈，處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約6小時(shí)37分。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]  學(xué)生怕做應(yīng)用題，幫助學(xué)生分析題意尤其重要。關(guān)鍵是尋求有效信息，建立函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)算到位。

 

 

【熱身沖刺】

一、選擇題：

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二、填空題：

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三、解答題：

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1―10.CAACB  CCCDB，11．（1，1），12．（-2，3），13．5，14．D=E，15．m＞-1/2

16．因?yàn)椋?sup>2－ｙ²＝0表示過(guò)原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線(xiàn)：y=x，y=-x，（x-a）²+y²=1表示圓心為C（a，0），半徑為1的動(dòng)圓，本題討論方程組有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題即討論圓與直線(xiàn)有公共點(diǎn)的問(wèn)題。（1）-≤a≤；（2）當(dāng)-＜a＜-1或-1＜a＜1或1＜a＜時(shí)有四組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a=±1時(shí)，有三組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a=±時(shí)，有兩組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a＜-或a＞時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解。

17．以直線(xiàn)AB為x軸，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)A（-5，0），則B（5，0），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)從A運(yùn)貨物到P的運(yùn)費(fèi)為2a元/km，則從B運(yùn)到P的費(fèi)用是a元/km，若P地居民選擇在A地購(gòu)買(mǎi)此商品，則

即P點(diǎn)在圓C

的內(nèi)部.換言之,圓C內(nèi)部的居民應(yīng)在A地購(gòu)買(mǎi),同理可推得圓C外部的應(yīng)在B地購(gòu)物，圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購(gòu)物。

18．嘗試使用對(duì)稱(chēng)法，如圖作A點(diǎn)關(guān)于y軸

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A₁，再作A點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A₂，

在y軸和y=x上公別取點(diǎn)B、 C，則|BA|=|BA₁|，

|AC|=|A₂C|，于是△ABC的周長(zhǎng)

|AB|+|BC|+|CA|=|A₁B|+|BC|+|CA₂|，

從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在y軸，y=x上各取一點(diǎn)，使

折線(xiàn)A₁BCA₂的長(zhǎng)度最小。B（0，-17/5）和C（-17/8，-17/8）

19．（1）配方得圓心，將心坐標(biāo)消去m可得直線(xiàn)a：x-3y-3=0

   （2）設(shè)與直線(xiàn)a平行的直線(xiàn)c：x-3y+b=0（b≠-3），則圓心到直線(xiàn)a的距離為

，∵圓的半徑r=5，∴當(dāng)d＜r時(shí)，直線(xiàn)與圓相交，當(dāng)d=r時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，當(dāng)d＞r時(shí)直線(xiàn)與圓相離。（3）對(duì)于任一條平行于a且與圓相交的直線(xiàn)的直線(xiàn)c，由于圓心到直線(xiàn)c的距離都與m無(wú)關(guān)，所以弦長(zhǎng)與m無(wú)關(guān)。

20．△ABC為直角三角形，如國(guó)圖建立直角坐標(biāo)系，

則A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），設(shè)內(nèi)切圓半徑

為r，則r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故內(nèi)切圓方程為

（x-1）²+（y-1）²=1，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（1+Cosα，1+Sinα）

則以PA、PB、PC為直徑的三個(gè)圓面積之和S=（10-Cｏｓα）

當(dāng)Cosα=-1時(shí)，Smax=5.5π,

當(dāng)Cosα=1時(shí), Smin=4.5π.