專題九：立體幾何

瓶窯中學(xué)    黃向軍

【考點(diǎn)審視】

高考試卷中立體幾何把考查的立足點(diǎn)放在空間圖形上,突出對(duì)空間觀念和空間想象能力的考查.立體幾何的基礎(chǔ)是對(duì)點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系的討論和研究,進(jìn)而討論幾何體。因此高考命題時(shí)，突出空間圖形的特點(diǎn)，側(cè)重于直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系的考查，以便審核考生立體幾何的知識(shí)水平和能力。

多面體和棱柱、棱錐、正多面體、球是空間直線與平面問題的延續(xù)和深化。要熟練掌握概念、性質(zhì)以及它們的體積公式，同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會(huì)把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。

本章主要考查平面的性質(zhì)、空間兩直線、直線和平面、兩個(gè)平面的位置關(guān)系以及空間角和距離、面積及體積。

考試要求

（１）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形。能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。

（２）掌握兩條直線平行與垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握兩條直線所成的角和距離的概念。

（3）掌握直線和平面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握直線和平面所成的角、距離的概念。了解三垂線定理及其逆定理。

（4）掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩平面間的距離的概念。

（5）會(huì)用反證法證明簡單的問題。了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。

（6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖。

（7）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖。

（8）了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。

（9）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式。

 

【疑難點(diǎn)拔】

1、     立體幾何高考命題及考查重點(diǎn)、難點(diǎn)穩(wěn)定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定、線面間的角與距離的計(jì)算作為考查的重點(diǎn)，尤其是以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，更是年年反復(fù)進(jìn)行考查，在難度上也始終以中等偏難為主。

2、     高考直接考查線面位置關(guān)系，以多面體為載體考查線面間位置關(guān)系是今后命題的一種趨勢。

3、     求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視。

4、     由于近年考題常立足于棱柱、棱錐和正方體，因此復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意多面體的依托作用，熟練多面體性質(zhì)的應(yīng)用，才能發(fā)現(xiàn)隱蔽條件，利用隱含條件，達(dá)到快速準(zhǔn)確解題的目的。

5、  立體幾何的證明與計(jì)算的書寫格式要求非常嚴(yán)格，因此在平時(shí)的訓(xùn)練中要多加注意書寫的格式的嚴(yán)密性。

6、  （1995年全國文24、理23）如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF DE，F(xiàn)是垂足。

（1）       求證：AF DB；

（2）       （理）如果圓柱與三棱柱D-ABE的體積比等于3，求直線DE與平面ABCD所成的角。

（文）求點(diǎn)E到截面ABCD的距離。

評(píng)述：本題主要考查圓柱的概念，兩異面直線垂直、直線與平面的垂直、圓柱及棱錐的體積、直線與平面所成的角。主要考查空間想象能力和邏輯推理能力。

分析本題考生答題失誤大致有如下幾點(diǎn)：

（1）                 缺乏清晰的空間形體觀念，抓不住“DA、AE、EB三線兩兩垂直”這個(gè)本質(zhì)關(guān)系，解答過程中方向不明，層次不清，邏輯混亂現(xiàn)象均可能發(fā)生。

（2）                 未能找到DE與平面ABCD所成的角

（3）                 未能正確和準(zhǔn)確地進(jìn)行推理計(jì)算，隨意列寫各種關(guān)系，盲目換算。

（4）                 數(shù)值計(jì)算出現(xiàn)差錯(cuò)。

 

 

 

專題九：  立體幾何

瓶窯中學(xué)    黃向軍

【經(jīng)典題例】

例1：在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)。將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成的度數(shù)為（    ）

 A  90    B  60     C 45    D  0

[思路分析]

  將三角形折成三棱錐以后，HG與IJ為一對(duì)異面直線。過點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD。所以ADF即為所求。故HG與IJ所成角為60

[簡要評(píng)述]

  本題通過對(duì)折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關(guān)系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象能力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

例2：正六棱柱ABCDEF--ABCDEF的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線ED與BC所成的角是（   ）

A  90    B  60     C 45    D  30

[思路分析]

  連接FE、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)得FE//BC。在中，EF=ED=1，，。在直角三角形EFE和EED中，易得EF=ED=。

是等邊三角形。。即BC與DE所成的角為60。

[簡要評(píng)述]

  本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法。

例3：如圖，在底面邊長為2的正三棱錐V―ABC中，E是BC的中點(diǎn)，若的面積是，則側(cè)棱VA與底面所成的角的大小為：____________

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。

[思路分析]

  作VO垂直AE，由正三棱錐V―ABC得O為中心。則AE=2=，得VO=tanVAO=，得VA與底面所成的角的大小為arctan

 

[簡要評(píng)述]

   本題主要考查正三棱柱的性質(zhì)及直線與平面所成的角的作法與求法。

 

例4：若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小為：_________   （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）  

[思路分析]

 

 

 

   設(shè)棱錐的高為h，如圖則V=，D為BC的中點(diǎn)，OD=易證為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，，故。

[簡要評(píng)述]

    本題主要考查三棱錐中的基本數(shù)量關(guān)系，考查二面角的概念及計(jì)算。

例5：關(guān)于直角AOB在定平面內(nèi)的射影有如下判斷：（1）可能是0的角；（2）可能是銳角；（3）可能是直角；（4）可能是鈍角；（5）可能是180的角。其中正確判斷的序號(hào)是：   （注：把你認(rèn)為是正確判斷的序號(hào)都填上）。

[思路分析]

   答案：1、2、3、4、5。

 

[簡要評(píng)述]

  這是考核空間想象能力的問題。

 

例6：如圖，四棱錐S―ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。

（1）       求證BC

（2）       求面ASD與面BSC所成二面角的大小。

（3）      

S

 

 

A

 

 

 

[思路分析]

    本題涉及到求二面角及異面直線所成角的問題，因此要先作出（找出）二面角的平面角及異面直線所成角，再求解。

 

[簡要評(píng)述]

    本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

 

例7：已知正四棱柱ABCD--ABCD，如圖，AB=1，AA=2，點(diǎn)E為CC的中點(diǎn)。

（1）       證明：EF為BD與CC的公垂線；

（2）       求點(diǎn)D到面BDE的距離。

 

[思路分析]

    證明公垂線問題與求點(diǎn)到面的距離采用建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量來證明及求解比較適合。

[簡要評(píng)述]

   本題主要考查正四棱柱的性質(zhì)及運(yùn)用空間向量解決問題的能力。

 

例8：在三棱錐S―ABC中，，且AC=BC=5，SB=5，如圖。

證明：SCBC；

（1）       求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大�。�

（2）       求三棱錐的體積V。

[思路分析]

     由題意可以得是二面角的平面角，故在Rt 與Rt可求得。又由Rt可求得SA=，故可得V。

[簡要評(píng)述]    本題主要考查空間想象能力、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

【熱身沖刺】

一、選擇題：

1．一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為（     ）

試題詳情

   （A）30            （B）45              （C）60           （D）75

試題詳情

2．兩個(gè)完全相同的長方體的長、寬、高分別為5 cm、4cm、3cm ,把它們重疊在一起組成一個(gè)新長方體，在這些新長方體中，最長的對(duì)角線的長度是                （    ）

試題詳情

   （A）       （B）      （C）        （D）

試題詳情

3．等邊三角形ABC的邊長為4，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，沿MN將折起，使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30，則四棱錐A―MNCB的體積為（    ）

試題詳情

   （A）            （B）              （C）           （D）3

試題詳情

4．若二面角為120，直線m,則所在平面內(nèi)的直線與m所成角的取值范圍是                                                                 （    ）

試題詳情

   （A）       （B）        （C）           （D）

試題詳情

5．關(guān)于直線a、b 、及平面M、N，下列命題中正確的是                 （      ）

試題詳情

   （A）若a // M,b // M,則a // b            （B）若a // M,ba,則b M            （C）若a且則  （D）若則

試題詳情

6．棱長為a的正方體中，連接相鄰的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（     ）

試題詳情

   （A）            （B）              （C）           （D）

試題詳情

7．一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（     ）

試題詳情

   （A）3            （B）4              （C）           （D）6

試題詳情

8． 已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（    ）

試題詳情

   （A）2          （B）          （C）           （D）

試題詳情

9．在下列條件中，可判斷平面與平行的是                             （     ）

試題詳情

   （A）都垂直于平面         （B）內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等              （C）、m是內(nèi)兩條直線，且 //                                 （D）、是兩條異面直線，且

試題詳情

10．在正三棱柱ABC―ABC中，若AB=BB，則AB與CB所成的角的大小為

試題詳情

   （A）60            （B）90              （C）105           （D）75

試題詳情

二、填空題：

11．將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形。要使它們的面積之和最小，正方形的周長應(yīng)為：________________________

 

試題詳情

12．已知某球體的體積與其表面積的數(shù)值相等，則此球體的半徑為：_________________

 

試題詳情

13．在正四棱錐P―ABCD中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為60，則異面直線PA與BC所成角的大小為：_____________________       （用反三角函數(shù)值表示）

 

試題詳情

14．把半徑為3cm ,中心角為的扇形卷成一個(gè)圓錐形容器，這個(gè)容器的容積為：_________________

 

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三、解答題：

15．已知三棱柱ABC―ABC，如圖所示中底面邊長和側(cè)棱長均為a ,側(cè)面AACC底面ABC，AB=。                             

試題詳情

（1）       求異面直線AC與BC所成角的余弦值；

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（2）       求證：AB面ABC

 

 

C

B

A

M

P

A1

 

 

 

（1）       

      
 
      
  
  
      
   
      
    
    
      
    
      B1
      

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      （2）       在任意三角形DEF中有余弦定理DE。拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的關(guān)系式，并予以證明。
       
       
       
       
      

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      17．如圖ABCD―是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點(diǎn)。
      

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      （1）       求三棱錐D―DBC的體積；
      

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      （2）       證明BD // 平面CDE
      

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      （3）       求面CDE與面CDE所成二面角的正切值。
       
                                          

      

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      18．如圖，正三棱柱ABC--中，D是BC的中點(diǎn)，AB=a.
      

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      （1）       求證：
      

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      （2）       求點(diǎn)D到平面ACC的距離；
      

      試題詳情
      

      （3）       判斷AB與平面ADC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論
       
       
       
       
       
       
      

      試題詳情
      

      19．如圖四棱錐P---ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB面ABCD。
      

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      （1）       若面PAD與面ABCD所成的二面角為60，求這個(gè)四棱錐的體積；
      

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      （2）       證明：無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90
       
       
       
       
       
       
      

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      20．在棱長為a的正方體OABC--中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF。
      

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      （1）       求證：；
      

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      （2）       當(dāng)三棱錐B―BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B-EF-B的大小。
       
       
       
       
       
      

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      同步練習(xí)冊答案
      


      


      

    
      
    
    
    






















      	
      



      
	







      


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