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專題九：立體幾何

瓶窯中學(xué) 黃向軍

【考點(diǎn)審視】

高考試卷中立體幾何把考查的立足點(diǎn)放在空間圖形上,突出對空間觀念和空間想象能力的考查.立體幾何的基礎(chǔ)是對點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系的討論和研究,進(jìn)而討論幾何體。因此高考命題時(shí)，突出空間圖形的特點(diǎn)，側(cè)重于直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系的考查，以便審核考生立體幾何的知識水平和能力。

多面體和棱柱、棱錐、正多面體、球是空間直線與平面問題的延續(xù)和深化。要熟練掌握概念、性質(zhì)以及它們的體積公式，同時(shí)也要學(xué)會運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解，會運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。

本章主要考查平面的性質(zhì)、空間兩直線、直線和平面、兩個(gè)平面的位置關(guān)系以及空間角和距離、面積及體積。

考試要求

（１）掌握平面的基本性質(zhì)，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形。能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。

（２）掌握兩條直線平行與垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握兩條直線所成的角和距離的概念。

（3）掌握直線和平面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握直線和平面所成的角、距離的概念。了解三垂線定理及其逆定理。

（4）掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩平面間的距離的概念。

（5）會用反證法證明簡單的問題。了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。

（6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖。

（7）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會畫正棱錐的直觀圖。

（8）了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。

（9）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式。

【疑難點(diǎn)拔】

1、立體幾何高考命題及考查重點(diǎn)、難點(diǎn)穩(wěn)定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定、線面間的角與距離的計(jì)算作為考查的重點(diǎn)，尤其是以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，更是年年反復(fù)進(jìn)行考查，在難度上也始終以中等偏難為主。

2、高考直接考查線面位置關(guān)系，以多面體為載體考查線面間位置關(guān)系是今后命題的一種趨勢。

3、求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視。

4、由于近年考題常立足于棱柱、棱錐和正方體，因此復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意多面體的依托作用，熟練多面體性質(zhì)的應(yīng)用，才能發(fā)現(xiàn)隱蔽條件，利用隱含條件，達(dá)到快速準(zhǔn)確解題的目的。

5、立體幾何的證明與計(jì)算的書寫格式要求非常嚴(yán)格，因此在平時(shí)的訓(xùn)練中要多加注意書寫的格式的嚴(yán)密性。

6、（1995年全國文24、理23）如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF DE，F(xiàn)是垂足。

（1）求證：AF DB；

（2）（理）如果圓柱與三棱柱D-ABE的體積比等于3，求直線DE與平面ABCD所成的角。

（文）求點(diǎn)E到截面ABCD的距離。

評述：本題主要考查圓柱的概念，兩異面直線垂直、直線與平面的垂直、圓柱及棱錐的體積、直線與平面所成的角。主要考查空間想象能力和邏輯推理能力。

分析本題考生答題失誤大致有如下幾點(diǎn)：

（1）缺乏清晰的空間形體觀念，抓不住“DA、AE、EB三線兩兩垂直”這個(gè)本質(zhì)關(guān)系，解答過程中方向不明，層次不清，邏輯混亂現(xiàn)象均可能發(fā)生。

（2）未能找到DE與平面ABCD所成的角

（3）未能正確和準(zhǔn)確地進(jìn)行推理計(jì)算，隨意列寫各種關(guān)系，盲目換算。

（4）數(shù)值計(jì)算出現(xiàn)差錯(cuò)。

專題九：立體幾何

瓶窯中學(xué) 黃向軍

【經(jīng)典題例】

例1：在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)。將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成的度數(shù)為（）

A 90 B 60 C 45 D 0

[思路分析]

將三角形折成三棱錐以后，HG與IJ為一對異面直線。過點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD。所以ADF即為所求。故HG與IJ所成角為60

[簡要評述]

本題通過對折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關(guān)系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象能力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

例2：正六棱柱ABCDEF--ABCDEF的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對角線ED與BC所成的角是（）

A 90 B 60 C 45 D 30

[思路分析]

連接FE、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)得FE//BC。在中，EF=ED=1，，。在直角三角形EFE和EED中，易得EF=ED=。

是等邊三角形。。即BC與DE所成的角為60。

[簡要評述]

本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法。

例3：如圖，在底面邊長為2的正三棱錐V―ABC中，E是BC的中點(diǎn)，若的面積是，則側(cè)棱VA與底面所成的角的大小為：____________

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。

[思路分析]

作VO垂直AE，由正三棱錐V―ABC得O為中心。則AE=2=，得VO=tanVAO=，得VA與底面所成的角的大小為arctan

[簡要評述]

本題主要考查正三棱柱的性質(zhì)及直線與平面所成的角的作法與求法。

例4：若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小為：_________ （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

[思路分析]

設(shè)棱錐的高為h，如圖則V=，D為BC的中點(diǎn)，OD=易證為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，，故。

[簡要評述]

本題主要考查三棱錐中的基本數(shù)量關(guān)系，考查二面角的概念及計(jì)算。

例5：關(guān)于直角AOB在定平面內(nèi)的射影有如下判斷：（1）可能是0的角；（2）可能是銳角；（3）可能是直角；（4）可能是鈍角；（5）可能是180的角。其中正確判斷的序號是：（注：把你認(rèn)為是正確判斷的序號都填上）。

[思路分析]

答案：1、2、3、4、5。

[簡要評述]

這是考核空間想象能力的問題。

例6：如圖，四棱錐S―ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。

（1）求證BC

（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小。

（3）

[思路分析]

本題涉及到求二面角及異面直線所成角的問題，因此要先作出（找出）二面角的平面角及異面直線所成角，再求解。

[簡要評述]

本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

例7：已知正四棱柱ABCD--ABCD，如圖，AB=1，AA=2，點(diǎn)E為CC的中點(diǎn)。

（1）證明：EF為BD與CC的公垂線；

（2）求點(diǎn)D到面BDE的距離。

[思路分析]

證明公垂線問題與求點(diǎn)到面的距離采用建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量來證明及求解比較適合。

[簡要評述]

本題主要考查正四棱柱的性質(zhì)及運(yùn)用空間向量解決問題的能力。

例8：在三棱錐S―ABC中，，且AC=BC=5，SB=5，如圖。

證明：SCBC；

（1）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大��；

（2）求三棱錐的體積V。

[思路分析]

由題意可以得是二面角的平面角，故在Rt 與Rt可求得。又由Rt可求得SA=，故可得V。

[簡要評述] 本題主要考查空間想象能力、靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力。

【熱身沖刺】

一、選擇題：

1．一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為（）

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