專題十:數(shù)列的極限與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
瓶窯中學 童國才
【考點審視】
極限與導(dǎo)數(shù)作為初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接點,新課程卷每年必考,主要考查極限與導(dǎo)數(shù)的求法及簡單應(yīng)用�?v觀近年來的全國卷與各省市的試卷,試題呈“一小一大”的布局,“小題”在選擇、填空題中出現(xiàn)時,都屬容易題;“大題”在解答題中出現(xiàn)時,極限通常與其它數(shù)學內(nèi)容聯(lián)系而構(gòu)成組合題,主要考查極限思想與方法的靈活應(yīng)用能力;導(dǎo)數(shù)的考查常給出一個含參的函數(shù)或應(yīng)用建模,通過求導(dǎo)、分析函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學思想方法的綜合運用能力。從2004年各地的高考試卷看,考生在備考時,應(yīng)從下列考點夯實基礎(chǔ),做到以不變應(yīng)萬變:
(1)從數(shù)列或函數(shù)的變化趨勢了解極限概念,理解三個基本極限:
1)是常數(shù)),2),3).
(2)明確極限四則運算法則的適用條件與范圍,會求某些數(shù)列和函數(shù)的極限。
(3)了解函數(shù)連續(xù)的意義,理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值。
(4)了解導(dǎo)數(shù)的概念,掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義,理解導(dǎo)函數(shù)的概念。
(5)熟記八個基本導(dǎo)數(shù)公式,掌握求導(dǎo)的四則運算法則,理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
(6)掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,強化用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的能力。
【疑難點撥】:1,極限的四則運算法則,只有當兩數(shù)列或兩函數(shù)各自都有極限時才能適用。對、、、型的函數(shù)或數(shù)列的極限,一般要先變形或化簡再運用法則求極限。例如(2004年遼寧,14)=
【分析】這是型,需因式分解將分母中的零因子消去,故
==。
2,極限的運算法則僅可以推廣到有限個數(shù)列或函數(shù),對于無窮項的和或積必須先求和或積再求極限;商的極限法則,必須分母的極限不為零時才適用。例如:
(2004年廣東,4)…+ )的值為…( )
()-1 ()0 () ()1
【分析】這是求無窮項的和,應(yīng)先求前項的和再求極限=,∴原式==-1,故選。
3,無窮等比數(shù)列的公比,當||1時,各項的和及重要應(yīng)用。例如(2004年上海,4)設(shè)等比數(shù)列()的公比,且=,則
【分析】數(shù)列是首項為,公比是的等比數(shù)列,∴==,解得=2。
4,當且僅當時, ,時可有定義也可無定義。例如下列命題正確的是……………………………………………( )
()若,則,若,則,若,則, (D)若,則。
【分析】()中無定義,()中無定義,而(D) ,,故是正確的。
5,函數(shù)在處連續(xù)是指,注意:有極限是連續(xù)的必要條件,連續(xù)是有極限的充分條件。
6,導(dǎo)數(shù)的概念要能緊扣定義,用模型解釋,記住典型反例。例如在(,)處的導(dǎo)數(shù)存在嗎?為什么?
【分析】,
∴在(,)處的導(dǎo)數(shù)不存在。
7,導(dǎo)數(shù)的求法要熟練、準確,須明確(1)先化簡,再求導(dǎo),(2)復(fù)合函數(shù)靈活處理,(3)有時要回到定義中求導(dǎo)。
8,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率,物理意義是因變量對自變量的變化率。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)盡可能全面、深入,注重掌握以下幾方面的問題:曲線切線方程的求法、函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)作圖、函數(shù)極值與最值求法、有關(guān)方程與不等式問題、有關(guān)近似計算問題、實際應(yīng)用題。
【經(jīng)典題例】
【例1】求下列數(shù)列的極限:
(1);(2)();
(3);
(4)已知,數(shù)列{}滿足,若{}的極限存在且大于零,求的值。
【例2】求下列函數(shù)的極限:
(1) (2)
(3) (4)
【例3】求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):
(1)=; (2)=;
�。ǎ常�=; (4)已知=,求。
【例4】設(shè)(),(+
)。(Ⅰ)用和表示;(Ⅱ)當時,
求的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的取值范圍。
【例5】過點(2,0),求與曲線相切的直線方程。
【例6】(2004全國卷二,22)已知函數(shù) ,。
(Ⅰ)求函數(shù)的最大值;
(Ⅱ)設(shè),證明。
【例7】(2004廣東卷,21)設(shè)函數(shù)=,其中常數(shù)為整數(shù)。
(Ⅰ)當為何值時,;
(Ⅱ)定理:若函數(shù)在[]上連續(xù),且與異號,則至少存在一點使。試用上述定理證明:當整數(shù)時,方程=0,在[]內(nèi)有兩個實根。
【例8】溶液自深18,頂直徑12的圓錐形漏斗中漏入一直徑為10的圓柱形容器中,開始時漏斗中盛滿水,已知當溶液在漏斗中之深為12時,其水平下落的速度為1ㄍ,問此時圓柱形容器中水面上升的速度是多少?
【熱身沖刺】
一、選擇題:
1、下列數(shù)列極限為1的是…………………………………………………………( ); ;
; 。
2、已知,則常數(shù)的值為…………………………………( )
() ;
3、]的值是………………………………………………( )
不存在;
4、若在點處連續(xù),則( )
5、若為偶函數(shù),且存在,則……………………( )
()0 1 -1;
6、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,則的圖象最有可能的是…………………………………………………………………( )
(A) (B) (C) (D)
7、函數(shù)有極值的充要條件是……………………………( )
() ()
8、(2004江蘇卷,10)函數(shù)在區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是………………………………………………………………………………( )
(A)1,-1 (B)1,-17 (C)3,-17 (D)9,-19
9、、分別是定義上的奇函數(shù)和偶函數(shù)。當時,,且,則不等式的解集是( )
()(-3,0)(3,)
()
10、三次函數(shù)=在[1,2]內(nèi)恒為正值的充要條件為………… ( )
() ;
二、填空題:
11、曲線與在交點處的切線夾角是 (以弧度數(shù)作答);
12、,則 ;
13、已知是的一個三次多項式,若==1,
則=
14、如圖,是一塊半徑為1的半圓形紙板,在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得圖形,然后剪去更小的半圓(其直徑為前一被剪掉半圓的半徑)得圖形,,……,,……,記紙板的面積為,則=
三、解答題:
15、已知函數(shù)在定義域上可導(dǎo),設(shè)點是函數(shù)的圖象上距離原點0最近的點。
(Ⅰ)若點的坐標為,求證:=0;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象不經(jīng)過坐標原點0,證明直線與函數(shù)的圖象上過點的切線互相垂直。
16、證明:(1)當時,;
(2)當,時,。
17、已知函數(shù)在處取得極值。
(Ⅰ)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值;
(Ⅱ)過點作曲線的切線,求此切線方程。
18、已知函數(shù),將滿足的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列{}
(Ⅰ)證明:數(shù)列{}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)記是數(shù)列{}的前項和,求
19、是定義在[0,1]上的增函數(shù),且在每個區(qū)間上,的圖象都是斜率為同一常數(shù)的直線的一部分。
(Ⅰ)求及的值,并歸納出的表達式。
(Ⅱ)設(shè)直線、、軸及的圖象圍成的梯形的面積為
20、已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的反函數(shù)及的導(dǎo)數(shù);
(Ⅱ)假設(shè)對任意,不等式||+成立,求實數(shù)的取值范圍。
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