專題十:數(shù)列的極限與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

瓶窯中學     童國才

【考點審視】

極限與導(dǎo)數(shù)作為初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接點,新課程卷每年必考,主要考查極限與導(dǎo)數(shù)的求法及簡單應(yīng)用�?v觀近年來的全國卷與各省市的試卷,試題呈“一小一大”的布局,“小題”在選擇、填空題中出現(xiàn)時,都屬容易題;“大題”在解答題中出現(xiàn)時,極限通常與其它數(shù)學內(nèi)容聯(lián)系而構(gòu)成組合題,主要考查極限思想與方法的靈活應(yīng)用能力;導(dǎo)數(shù)的考查常給出一個含參的函數(shù)或應(yīng)用建模,通過求導(dǎo)、分析函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學思想方法的綜合運用能力。從2004年各地的高考試卷看,考生在備考時,應(yīng)從下列考點夯實基礎(chǔ),做到以不變應(yīng)萬變:

(1)從數(shù)列或函數(shù)的變化趨勢了解極限概念,理解三個基本極限:

1)是常數(shù)),2),3).

(2)明確極限四則運算法則的適用條件與范圍,會求某些數(shù)列和函數(shù)的極限。

(3)了解函數(shù)連續(xù)的意義,理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值。

(4)了解導(dǎo)數(shù)的概念,掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義,理解導(dǎo)函數(shù)的概念。

(5)熟記八個基本導(dǎo)數(shù)公式,掌握求導(dǎo)的四則運算法則,理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(6)掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,強化用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的能力。

【疑難點撥】:1,極限的四則運算法則,只有當兩數(shù)列或兩函數(shù)各自都有極限時才能適用。對、、型的函數(shù)或數(shù)列的極限,一般要先變形或化簡再運用法則求極限。例如(2004年遼寧,14)=      

【分析】這是型,需因式分解將分母中的零因子消去,故

==。

2,極限的運算法則僅可以推廣到有限個數(shù)列或函數(shù),對于無窮項的和或積必須先求和或積再求極限;商的極限法則,必須分母的極限不為零時才適用。例如:

(2004年廣東,4)…+ )的值為…(  )

)-1          ()0           (            ()1

【分析】這是求無窮項的和,應(yīng)先求前項的和再求極限=,∴原式==-1,故選。

 3,無窮等比數(shù)列的公比,當||1時,各項的和及重要應(yīng)用。例如(2004年上海,4)設(shè)等比數(shù)列)的公比,且=,則      

【分析】數(shù)列是首項為,公比是的等比數(shù)列,∴==,解得=2。

  4,當且僅當時, ,可有定義也可無定義。例如下列命題正確的是……………………………………………(   )

()若,則,,則,,則, (D)若,則。

【分析】()中無定義,()中無定義,而(D) ,故是正確的。

     5,函數(shù)處連續(xù)是指,注意:有極限是連續(xù)的必要條件,連續(xù)是有極限的充分條件。

     6,導(dǎo)數(shù)的概念要能緊扣定義,用模型解釋,記住典型反例。例如在(,)處的導(dǎo)數(shù)存在嗎?為什么?

【分析】,

在(,)處的導(dǎo)數(shù)不存在。

     7,導(dǎo)數(shù)的求法要熟練、準確,須明確(1)先化簡,再求導(dǎo),(2)復(fù)合函數(shù)靈活處理,(3)有時要回到定義中求導(dǎo)。

8,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率,物理意義是因變量對自變量的變化率。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)盡可能全面、深入,注重掌握以下幾方面的問題:曲線切線方程的求法、函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)作圖、函數(shù)極值與最值求法、有關(guān)方程與不等式問題、有關(guān)近似計算問題、實際應(yīng)用題。

【經(jīng)典題例】

【例1】求下列數(shù)列的極限:

(1);(2));

(3);

(4)已知,數(shù)列{}滿足,若{}的極限存在且大于零,求的值。

【例2】求下列函數(shù)的極限:

(1)              (2)

(3)            (4)

 

【例3】求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):

(1);   (2);

�。ǎ常�;    (4)已知,求。

【例4】設(shè)),+

)。(Ⅰ)用表示;(Ⅱ)當時,

的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的取值范圍。

 

【例5】過點(2,0),求與曲線相切的直線方程。

 

【例6】(2004全國卷二,22)已知函數(shù) ,。

(Ⅰ)求函數(shù)的最大值;

(Ⅱ)設(shè),證明

 

【例7】(2004廣東卷,21)設(shè)函數(shù)=,其中常數(shù)為整數(shù)。

(Ⅰ)當為何值時,;

(Ⅱ)定理:若函數(shù)在[]上連續(xù),且異號,則至少存在一點使。試用上述定理證明:當整數(shù)時,方程=0,在[]內(nèi)有兩個實根。

 

【例8】溶液自深18,頂直徑12的圓錐形漏斗中漏入一直徑為10的圓柱形容器中,開始時漏斗中盛滿水,已知當溶液在漏斗中之深為12時,其水平下落的速度為1,問此時圓柱形容器中水面上升的速度是多少?

 

 

【熱身沖刺】

一、選擇題:

1、下列數(shù)列極限為1的是…………………………………………………………(  );                   ;

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;               。

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2、已知,則常數(shù)的值為…………………………………(  )

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        (                 ;

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3、]的值是………………………………………………(  )

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                                     不存在;

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4、若在點處連續(xù),則(   )

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5、若為偶函數(shù),且存在,則……………………(   )

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 ()0                        1         -1;

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6、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,則的圖象最有可能的是…………………………………………………………………(   )

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                           (A)        (B)       (C)        (D)

 

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7、函數(shù)有極值的充要條件是……………………………(   )

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                            (

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8、(2004江蘇卷,10)函數(shù)在區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是………………………………………………………………………………(  )

(A)1,-1          (B)1,-17          (C)3,-17           (D)9,-19

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9、分別是定義上的奇函數(shù)和偶函數(shù)。當時,,且,則不等式的解集是(  )

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)(-3,0)(3,)            

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10、三次函數(shù)=在[1,2]內(nèi)恒為正值的充要條件為………… (  )

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                    ;

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二、填空題:

11、曲線在交點處的切線夾角是         (以弧度數(shù)作答);

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12、,則         ;

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13、已知的一個三次多項式,若==1,

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=         

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14、如圖,是一塊半徑為1的半圓形紙板,在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得圖形,然后剪去更小的半圓(其直徑為前一被剪掉半圓的半徑)得圖形,,……,,……,記紙板的面積為,則=        

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三、解答題:

15、已知函數(shù)在定義域上可導(dǎo),設(shè)點是函數(shù)的圖象上距離原點0最近的點。

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(Ⅰ)若點的坐標為,求證:=0;

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(Ⅱ)若函數(shù)的圖象不經(jīng)過坐標原點0,證明直線與函數(shù)的圖象上過點的切線互相垂直。

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16、證明:(1)當時,;

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(2)當,時,。

 

 

 

 

 

 

 

 

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17、已知函數(shù)處取得極值。

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(Ⅰ)討論是函數(shù)的極大值還是極小值;

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(Ⅱ)過點作曲線的切線,求此切線方程。

 

 

 

 

 

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18、已知函數(shù),將滿足的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列{}

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(Ⅰ)證明:數(shù)列{}為等比數(shù)列;

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(Ⅱ)記是數(shù)列{}的前項和,求

 

 

 

 

 

 

 

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19、是定義在[0,1]上的增函數(shù),且在每個區(qū)間上,的圖象都是斜率為同一常數(shù)的直線的一部分。

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(Ⅰ)求的值,并歸納出的表達式。

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(Ⅱ)設(shè)直線、、軸及的圖象圍成的梯形的面積為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20、已知函數(shù)

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(Ⅰ)求函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

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(Ⅱ)假設(shè)對任意,不等式||+成立,求實數(shù)的取值范圍。

 

 

 

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