專題二 集合 函數(shù) 不等式 導(dǎo)數(shù)

一 能力培養(yǎng)

 1,函數(shù)與方程思想;         2,數(shù)形結(jié)合思想;          3,分類討論思想;

4,運(yùn)算能力;               5,轉(zhuǎn)化能力.

二 問題探討

[問題1] 已知,,分別就下面條件求的

取值范圍:

  (I);(II).

[問題2]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并給予證明.

[問題3]已知.

  (I)若在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;

  (II)若在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,求的值;

  (III)設(shè)在(II)的條件下,求證的圖象恒在圖象的下方.

[問題4]設(shè).

  (I)試判斷的單調(diào)性;

  (II)若的反函數(shù)為,證明只有一個(gè)解;

  (III)解關(guān)于的不等式.

三 習(xí)題探討

選擇題

1已知函數(shù),則的單調(diào)減區(qū)間是

A,      B,      C,      D,

2已知集合M={,N={,下列法則不能構(gòu)成M到N的映射的是

A,       B,     C,   D,

3已知函數(shù)，奇函數(shù)在處有定義，且時(shí),

，則方程?的解的個(gè)數(shù)有

A,4個(gè)            B,2個(gè)          C,1個(gè)          D,0個(gè)

4如果偶函數(shù)在上的圖象如右圖,則在

上,=

A,      B,     C,      D,

5設(shè)函數(shù),已知,則的取值范圍為

A,      B,      C,     D,

6對(duì)于函數(shù),有下列命題:①是增函數(shù),無極值;②是減函數(shù),

無極值;③的增區(qū)間是,,的減區(qū)間是(0,2);④是極

大值,是極小值.其中正確的命題有

 A,一個(gè)              B,二個(gè)             C,三個(gè)             D,四個(gè)

填空題

7函數(shù)的定義域是                    .

8已知,則                 .

9函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是                       .

10若不等式對(duì)滿足的恒成立,則實(shí)數(shù)

的取值范圍是                      .

11在點(diǎn)M(1,0)處的切線方程是                      .

解答題

12函數(shù)的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)的定義域

 集合B,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

13已知定點(diǎn)A(0,1),B(2,3),若拋物線與線段AB有兩個(gè)不同的

 交點(diǎn),求的取值范圍.

14已知定義在R上的函數(shù),滿足:,且時(shí),,

 .

 (I)求證:是奇函數(shù);  (II)求在上的最大值和最小值.

15通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和

描述問題所用的時(shí)間,講座開始時(shí),學(xué)生的興趣激增;中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間,學(xué)生的

興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明,用表

示學(xué)生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越強(qiáng)),表示提出和講授

概念的時(shí)間(單位:分),可有以下公式:

  (I)開講后多少分鐘,學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?能維持多少時(shí)間?

  (II)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較,學(xué)生的接受接受能力何時(shí)強(qiáng)一些?

  (III)一個(gè)數(shù)學(xué)難題,需要55的接受能力以及13分鐘時(shí)間,老師能否及時(shí)在學(xué)生一直

  達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題?

16已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;(II)求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值.

問題1:

,.

由有

 得  與,矛盾!

故當(dāng)時(shí),的取值范圍是;

(II)解:,

,

由必有,得

或

得 (舍去)或

得

故當(dāng)時(shí), 的取值范圍是.

溫馨提示:在處理集合的問題中,別忘了我們的好朋友      空集.

問題2:解:(1)當(dāng)時(shí),,     令,得

它的定義域是,                得的單調(diào)增區(qū)間是,

   它分別在,上為增函數(shù). 的單調(diào)減區(qū)間是.

(2)當(dāng)時(shí),的定義域是,    (3)當(dāng)時(shí),的定義域是,

 令,得或      得的單調(diào)增區(qū)間是.

溫馨提示:①對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,是處理含參數(shù)問題的常用方法,

         ②()為增(減)函數(shù),反之不行;

         ③以上單調(diào)區(qū)的書寫格式,符合國(guó)際標(biāo)準(zhǔn),請(qǐng)放心使用.

問題3:解:(I),得.

 在R上單調(diào)遞增,恒成立,即,恒成立

又時(shí),,得.

(II),

而在上單調(diào)遞減,得在上恒成立,有,

 又當(dāng)時(shí), ,得          ①

又在上單調(diào)遞增,得在上恒成立,有,

 又當(dāng)時(shí),,得         ②

由①,②知.

(III)由(II)可知是的最小值,有,

而,

故,即的圖象恒在圖象的下方.

溫馨提示:恒成立時(shí),轉(zhuǎn)化為進(jìn)行考慮,合情合理.

問題4:(I)解:的定義域是,得

 所以在上是減函數(shù).

(II)證明:假設(shè)存在且,使,,則有

 ,,于是得,與矛盾!

所以只有一個(gè)實(shí)根.

(III)解:由(II)得,即,

又=

而在上是減函數(shù),得,有或.

即的解集是.

溫馨提示:為增(減)函數(shù)(),反之不行.

習(xí)題1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.

1,,有,2,我們由映射的概念:每一個(gè),有唯一的

由,得                    一個(gè)與它對(duì)應(yīng).知,A,B,D.都滿足.

函數(shù)為上的增函數(shù),          而在C中,M中的1與對(duì)應(yīng),

求的單調(diào)減區(qū)間,                  但,在N中找不到了.選C.

即求的單調(diào)減區(qū)間,于是選C.

3,設(shè),則,得=,有,

(1)當(dāng)時(shí),由,得

,解得,.

(2)當(dāng)時(shí),由,得,無解.

(3)當(dāng)時(shí),由,得,無解.選B.

4,由,,知只有C正確.

5,當(dāng)與時(shí),均合題意,而時(shí),,不合題意,選B.6,③④正確.選B.

7,令,得,,得.

8,令,有,,得,[0,2].

9,令,得.而它在上遞增,在上遞減,

而當(dāng)時(shí),,ㄊ,ㄊ,ㄋ;當(dāng)時(shí),ㄊ,ㄊ,ㄊ;

當(dāng)時(shí),ㄊ,ㄋ,ㄋ.于是得遞增區(qū)間是.

10,設(shè),,由題意,當(dāng)時(shí),的圖象總在的圖象的

下方.當(dāng)時(shí),顯然不合題意;當(dāng)時(shí),必有,,

得,又,于是.   11, =

=,得,有x+2y-1=0.

12,解:,而,

,

又由題意知,且,,

解得,故的取值范圍是.

溫馨提示:函數(shù)的定義域,值域,均為非空集.你留意到了沒有?

13,解:過A,B兩點(diǎn)的直線方程為,令,則這方程有兩相異實(shí)根

,且.設(shè),則問題等價(jià)于

,解得.所以的取值范圍是.

14,解:(I)由,令,得,

又令,有,得,于是,.

所以是奇函數(shù).

(II)又時(shí),

設(shè),則=

而,得,有,即

得在R上是減函數(shù),于是它在上有最大值,最小值

而,=6.

所以在R上有最大值6,最小值.

15,解:(I)當(dāng)時(shí),

,得遞增, 最大值為59.

當(dāng)時(shí),遞減,

因此,開講后10分鐘,學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力(值為59),并維持6分鐘.

(II),

因此開講后5分鐘,學(xué)生的接受能力比開講后20分鐘強(qiáng)一些.

16,解:(I).

①當(dāng)時(shí),令,得.

若,則,從而在上單調(diào)遞增;

若,則,從而在上單調(diào)遞減;

②當(dāng)時(shí),令,得=0,有.

若或,則,從而在,上單調(diào)遞減;

若,則,從而在上單調(diào)遞增;

(II)①當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最大值是;

②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最大值是;

③當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最大值是.