專題12 函數(shù) 不等式 數(shù)列 極限 數(shù)學(xué)歸納法

一 能力培養(yǎng)

1,歸納猜想證明       2,轉(zhuǎn)化能力       3,運算能力        4,反思能力

二 問題探討

問題1數(shù)列{}滿足,,().

(I)求{}的通項公式;          (II)求的最小值;

(III)設(shè)函數(shù)是與的最大者,求的最小值.

問題2已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列{}滿足下列條件:

, (=2,3,4,),,

=(=2,3,4,),其中為常數(shù),為非零常數(shù).

(I)令(),證明數(shù)列是等比數(shù)列;

(II)求數(shù)列{}的通項公式;   (III)當(dāng)時,求.

問題3已知兩點M,N,且點P使,,成公差小

于零的等差數(shù)列.

(I)點P的軌跡是什么曲線? (II)若點P坐標(biāo)為,記為與的夾角,求.

三 習(xí)題探討

選擇題

1數(shù)列的通項公式,若此數(shù)列滿足(),則的取值范圍是

A,           B,           C,         D,

2等差數(shù)列,的前項和分別為,,若,則=

A,               B,            C,          D,

3已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為,則的取值范圍是

A,      B,       C,     D,

4在等差數(shù)列中,,第10項開始比1大,記,則的取值范圍是

A,         B,       C,        D,

5設(shè)A,B,C是橢圓)上三個點,F為焦點,

若成等差數(shù)列,則有

A,      B,      C,      D,

6在中,是以為第三項,4為第七項的等差數(shù)列的公差,是以為

第三項,9為第六項的等比數(shù)列的公比,則這個三角形是

A,鈍角三角形      B,銳角三角形      C,等腰直角三角形     D,以上都不對

填空

7等差數(shù)列前()項和,且前6項和為36,后6項和為180,則    .

8,則            .

9在等比數(shù)列中,,則的取值范圍是               .

10一個數(shù)列,當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,.則這個數(shù)列的前

項之和                     .

11等差數(shù)列中,是它的前項和且,,則①此數(shù)列的公差,

②,③是各項中最大的一項,④一定是中的最大項,其中正確的是      .

解答題

12已知,且組成等差數(shù)列(為正偶數(shù)).

又,,(I)求數(shù)列的通項;(II)試比較與3的大小,并說明理由.

13已知函數(shù)是偶函數(shù),是奇函數(shù),正數(shù)數(shù)列滿足

,.

(I)若前項的和為,求;

(II)若,求中的項的最大值和最小值.

14. 已知等比數(shù)列的各項不為1的正數(shù),數(shù)列滿足(且

),設(shè),.

(I)求數(shù)列的前多少項和最大,最大值是多少?

(II)設(shè),,求的值.

(III)試判斷,是否存在自然數(shù)M,使當(dāng)時恒成立,若存在求出相應(yīng)的M;若不存

在,請說明理由.

15設(shè)函數(shù)的定義域為全體實數(shù),對于任意不相等的實數(shù),,都有

,且存在,使得,數(shù)列中,,,

求證:對于任意的自然數(shù),有: (I); (II).

問題1解:(I),得=

當(dāng)時,=,有,即.

于是=.又,得=.

由于也適合該式,故=.

(II)==

所以當(dāng)或50時,有最小值.

(III)因是與的最大者,有,

有==1.

問題2(I)證明:由,得.

由數(shù)學(xué)歸納法可證().

而,當(dāng)時,

因此,數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列.

(II)解:由(I)知,

當(dāng)時,

當(dāng)時,()

而,有

當(dāng)時,= ;當(dāng)時,=.

以上兩式對時也成立,于是

當(dāng)時,=

當(dāng)時,=.

(III)解:當(dāng)時,.

問題3解:(I)設(shè)點P(),由M,N得

,,

有,,.

于是,,成公差小于零的等差數(shù)列等價于

,即

所以點P的軌跡是以原點為圓心,為半徑的右半圓C.

(II)設(shè)P(),則由點P在半圓C上知,

又==,

得,  又,,有,

,,由此得.

習(xí)題解答:

1由,恒成立,有,得,選D.

2,選B.

3設(shè)三邊長分別為,且

①當(dāng)時,由,得;

②當(dāng)時,由,得,于是得,選D.

4由,且,而,

又,于是,選D.

5由橢圓第2定義得,選A.

6由條件得,有,.

得,于是為銳角三角形,選B.

7由,有

,即=216,得=36,

又,解得.

8,得.

9由條件知,公比滿足,且,當(dāng)時,;

當(dāng)時,.于是的取值范圍是.

10當(dāng)為奇數(shù)時,相鄰兩項為與,由得

=10,且.所以中的奇數(shù)項構(gòu)成以為首項,公差的等差數(shù)列.

當(dāng)為偶數(shù)時,相鄰兩項為與,由= ,得,且

所以中的偶數(shù)項構(gòu)成以為首項,公比的等比數(shù)列.

由此得.

11由,得,有;;是中的最大值,選①②④.

12解:(I)由=,再依題意有=,即①

又,為正偶數(shù))得,代入①有.

(II),

得

于是.

13解: (I)可得,,由已知,得

,而,有,于是.

(II),

由知的最大值為,最小值為.

14解: (I),設(shè)

有,又成等差數(shù)列.

,得,.

當(dāng)時,即,得.

于是前12項和最大,其最大值為144.

(II),,得,

,于是

(III)由(I)知當(dāng)時,恒成立,由,得.

(i)當(dāng)且時,有,

(ii)當(dāng)且時,,

故當(dāng)時,在使時,恒成立;當(dāng)時不存在自然數(shù)M,使當(dāng)

時.由明

15證明:用數(shù)學(xué)歸納法

(I)當(dāng)時,命題成立.

假設(shè)當(dāng)()時,成立,那么當(dāng)時,由,

得,又,有,

而,得,

于是,即,又,

有,即,于是當(dāng)時,命題也成立.

綜上所述,對任意的,.

(II)由,得,

又,得,

又,得,即,

有,而,得,

故.由明