專題17 記憶能力與運(yùn)算能力

一 記憶能力

記憶是系統(tǒng)化知識(shí),形成方法,思想的先決條件,因而我們對(duì)記憶能力應(yīng)引起足夠的重視.

下面來(lái)試試你的記憶能力:

1．求一個(gè)函數(shù)的解析式和一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，你標(biāo)注了該函數(shù)的定義域了嗎？

2．函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個(gè)有用的結(jié)論：

3．原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增；但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)．

4． 判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性時(shí)，你注意到函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這個(gè)必要非充分條件了嗎？

5. 你知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減）這可是一個(gè)應(yīng)用廣泛的函數(shù)！

6.  解對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論呀.

7.  你知道判斷對(duì)數(shù)符號(hào)的快捷方法嗎？

8.  “實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；當(dāng)a=0時(shí)，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為．若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？

9. 在解三角問(wèn)題時(shí)，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？

10. 在三角中，你知道1等于什么嗎？（ 這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．

11.  你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）

12. 你還記得在弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？()

13. 在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？

  ①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是.

  ②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．

  ③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．

14. 分式不等式的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分）

15. 解指對(duì)不等式應(yīng)該注意什么問(wèn)題？（指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零.）

16. 利用重要不等式 以及變式等求函數(shù)的最值時(shí)，你是否注意到a，b（或a ，b非負(fù)），且“等號(hào)成立”時(shí)的條件，積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值？

17.  在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，怎樣進(jìn)行討論？（特別是指數(shù)和對(duì)數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是……．

18. 等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：若，則；

   等比數(shù)列中的重要性質(zhì)：若，則．

19. 你是否注意到在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項(xiàng)和時(shí)，需要分類討論．（時(shí)，；時(shí)，）

20. 等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)：設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，為等差數(shù)列的充要條件是                    

 （a, b為常數(shù)）其公差是2a.

21. 你知道怎樣的數(shù)列求和時(shí)要用“錯(cuò)位相減”法嗎？（若，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)的和）

22. 用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到了嗎？

23. 你還記得裂項(xiàng)求和嗎？（如 .）

24. 解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合．

25. 解排列組合問(wèn)題的規(guī)律是：相鄰問(wèn)題捆綁法；不鄰問(wèn)題插空法；多排問(wèn)題單排法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；定序問(wèn)題倍縮法；多元問(wèn)題分類法；有序分配問(wèn)題法；選取問(wèn)題先排后排法；至多至少問(wèn)題間接法．

26. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見(jiàn).

27. 求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）

28. 求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）

29. 你知道三垂線定理的關(guān)鍵是什么嗎？（一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關(guān)鍵）一面四直線，立柱是關(guān)鍵，垂直三處見(jiàn)

30. 設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時(shí)，斜率k不存在的情況？（例如：一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）

31. 定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式是什么？（起點(diǎn)，中點(diǎn)，分點(diǎn)以及值可要搞清）

32.   對(duì)不重合的兩條直線，，有

；  ．

33. 直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0.

34. 處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式.　一般來(lái)說(shuō)，前者更簡(jiǎn)捷．

35. 處理圓與圓的位置關(guān)系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系.

36. 在圓中，注意利用半徑、半弦長(zhǎng)、及弦心距組成的直角三角形.

37.還記得圓錐曲線的兩種定義嗎？解有關(guān)題是否會(huì)聯(lián)想到這兩個(gè)定義？

38.還記得圓錐曲線方程中的a,b,c,p,的意義嗎？

39. 在利用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時(shí)，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？

40．離心率的大小與曲線的形狀有何關(guān)系？（圓扁程度，張口大�。┑容S雙曲線的離心率是多少？

41. 在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零？判別式的限制．（求交點(diǎn)，弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱，存在性問(wèn)題都在下進(jìn)行）.

42. 橢圓中，注意焦點(diǎn)、中心、短軸端點(diǎn)所組成的直角三角形．（a，b，c）

43. 通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短的弦.

44.只要的求導(dǎo)公式有哪些?

  (1),(2),(3),(4),(5),

(6),(7),(8),(9),

(10),(11),(12).

45.  解答選擇題的特殊方法是什么？(順推法，估算法，特例法，特征分析法，直觀選擇法，逆推驗(yàn)證法等等)

46. 解答開(kāi)放型問(wèn)題時(shí)，需要思維廣闊全面，知識(shí)縱橫聯(lián)系．

47. 解答信息型問(wèn)題時(shí)，透徹理解問(wèn)題中的新信息，這是準(zhǔn)確解題的前提．

48. 解答多參型問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)匾�出參變�?　想方設(shè)法擺脫參變量的困繞．這當(dāng)中，參變量的分離、集中、消去、代換以及反客為主等策略，似乎是解答這類問(wèn)題的通性通法．

二 運(yùn)算能力

  每年高考都說(shuō)要控制運(yùn)算量,但結(jié)果是每年都控制不了.理由很簡(jiǎn)單:有數(shù)學(xué),就有運(yùn)算.

不厭其繁的運(yùn)算,可以培養(yǎng)我們的耐性,和堅(jiān)忍不拔的性格.

問(wèn)題1任一分?jǐn)?shù)都可以寫成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式,你相信嗎?試幾個(gè)看看.

(1)=                 ;

(2)=                                       ;

(3)請(qǐng)你自己寫一個(gè)試試:                                               .

問(wèn)題2已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是,

求角平分線AM所在直線的方程.

問(wèn)題3(如圖)已知正四棱錐的各條棱長(zhǎng)均為1,

E,F分別為VB,VC的中點(diǎn).

(I)求平面PAB與平面PBC所成的角的大小;

(II)求點(diǎn)A到平面PBC的距離;

(III)求直線AE與平面PBC所成的角的大小;

(IV)求異面直線AE與BF所成的角的大小;

問(wèn)題4某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)

點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s. 已知各觀測(cè)點(diǎn)

到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為

340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)

問(wèn)題5設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，又與雙曲線x²?y²=1相交于C、

D兩點(diǎn),C、D三等分線段AB. 求直線的方程.

問(wèn)題解答:問(wèn)題1(略).問(wèn)題2

解(一):可得,,設(shè)直線AM的斜率為,則

,即,得,

有,解得,(舍去)

得角平分線AM的方程為:

即.

解(二):,它的單位向量

,它的單位向量

則AM與(+,)同向

得,(下同解一).

問(wèn)題3解:(I)(如圖)以正方形ABCD的中心為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則

得,,,

,,

設(shè)平面PBC的法向量為,則,

有,得,有,則

得,同理得平面PBC的法向量,則

,

而平面PAB與平面PBC所成的角為鈍角,所以它的大小為.

(II)由,設(shè)與所成的角為,則

則點(diǎn)A到平面PBC的距離.

(III)可得E,有,設(shè)與所成的角為,則

,

得AE與平面PBC所成的角為.

(IV)可得F,得,設(shè)與所成的角為,則

得AE與BF所成的角為.

問(wèn)題4 解：如圖，

以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，

依題意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北45⁰距中心處.

問(wèn)題5解：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的情況，設(shè)直線l的方程為

y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：

依題意有，由

若，則與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故

由

故l的方程為

(ii)當(dāng)b=0時(shí)，由(1)得

由

故l的方程為

再討論l與x軸垂直的情況.

設(shè)直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，

綜上所述，故l的方程為、和