姜堰市婁莊中學(xué)2008～2009學(xué)年度第二學(xué)期周周練

高三數(shù)學(xué)試題

一、填空題(每小題5分,14小題，共70分，把答案填在答題紙指定的橫線上)

1．集合　　 ▲      ．

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2．“”是“”的　　▲   　條件．

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3．在△ABC中，若（a＋b＋c）(b＋c－a)＝3bc，則A等于_____▲_______．

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4．已知>0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，-），B（2，），C（3，）共線，則=___▲____.

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5．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若，則=_____▲_______.

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6．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為　　　▲　　　．

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7．已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=____▲____.

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8．已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________▲______.

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9．如圖，已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，

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ABBC，DA=AB=BC=，則球O點(diǎn)體積等于_____▲______.

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10．定義：區(qū)間的長度為.已知函數(shù)定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，則區(qū)間的長度的最大值為     ▲      .

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11．在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn)．若，，則_____▲_____.

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12．設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足：,則數(shù)列的通項(xiàng)公式=     ▲    .

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13．若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、，則三角形面積之比為：. 若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、和、，則類似的結(jié)論為：__  ▲  

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14．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為__________▲___________.

                                                                                                                      

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二、解答題（本大題6小題，共90分）

15．（本小題滿分14分）已知向量,,。（1）若,求；（2）求的最大值.

 

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16．(本小題滿分14分）某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤．⑴求這條拋物線的解析式；⑵在某次試跳中，測得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（Ⅰ）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過計(jì)算說明理由．

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17．（本小題滿分15分）如圖所示,在直四棱柱中,DB=BC,,點(diǎn)是棱上一點(diǎn)。（1）求證：面；（2）求證：；（3）試確定點(diǎn)的位置,使得平面平面.

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18．（本小題滿分15分）已知圓O:x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn),曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連結(jié)PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）,求證:直線PQ與圓相切；（3）試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合）,直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由.

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19．(本小題滿分16分)已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)。⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值。（1）寫出g(a)的表達(dá)式；（2）求的取值范圍，使得.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20． (本小題滿分16分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為設(shè)集合,(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)是否都在同一條直線上? 并說明理由;

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(3) “至多只有一個(gè)元素”是否正確? 若正確, 請證明; 若不正確, 請舉例說明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅱ卷（附加題 共40分）

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1． (本小題滿分10分) 從極點(diǎn)作直線與另一直線相交于點(diǎn),在上取一點(diǎn),使。（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)為上的任意一點(diǎn),試求的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2．(本小題滿分10分) 試求曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M =，N =．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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3．(本小題滿分10分)已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且,是的中點(diǎn)．（1）求與所成的角余弦值；（2）求二面角的余弦值．

 

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4.(本小題滿分10分)一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

試題詳情

第Ⅰ卷

一、填空題:

1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.; 4.;  5. 8;  6. (歷史) 5049; (物理) ; 7. 1; 8.

9.;10.; 11.; 12.;13.;14. 4.

二、解答題：

15. 解：（1）因?yàn)?sub>,所以…………（3分）

     得 （用輔助角得到同樣給分）              ………（5分）

     又,所以=           ……………………………………（7分）

（2）因?yàn)?sub>    ………………………（9分）

=                     …………………………………………（11分）

所以當(dāng)=時(shí), 的最大值為5＋4=9               …………………（13分）

故的最大值為3                     ………………………………………（14分）

16. (選歷史方向) 解: （1）表格為:

 

高  個(gè)

非高個(gè)

合  計(jì)

大  腳

5

2

7

非大腳

1

 

13

合  計(jì)

6

14

 

…… （3分）

（說明:黑框內(nèi)的三個(gè)數(shù)據(jù)每個(gè)1分,黑框外合計(jì)數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤的暫不扣分）

（2）提出假設(shè)H0: 人的腳的大小與身高之間沒有關(guān)系. …………………………… （4分）

根據(jù)上述列聯(lián)表可以求得.…………………… （7分）

當(dāng)H0成立時(shí),的概率約為0.005,而這里8.802>7.879,

所以我們有99.5%的把握認(rèn)為: 人的腳的大小與身高之間有關(guān)系. ……………… （8分）

（3） ①抽到12號的概率為………………………………… （11分）

②抽到“無效序號（超過20號）”的概率為…………………… （14分）

(選物理方向) 解：（Ⅰ）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，

拋物線的解析式為． …………………………… 2′

由題意，知O（0，0），B（2，－10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為．……………   4′

或        …………………………… 8′

∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，∴,又∵拋物線開口向下，∴a＜0,

從而b＞0,故有       ……………………………9′           

∴拋物線的解析式為.   ……………………………10′

（Ⅱ）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為米時(shí)，

即時(shí)，， ……………………………12′

∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10－＝＜5，因此，此次跳水會(huì)失誤.………………14′

17. （1）證明：由直四棱柱,得,

所以是平行四邊形,所以         …………………（3分）

而,,所以面  ………（4分）

（2）證明：因?yàn)?sub>, 所以       ……（6分）

又因?yàn)?sub>,且，所以    ……… ……（8分）

而，所以               …………………………（9分）

（3）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí),平面平面…………………（10分）

取DC的中點(diǎn)N,,連結(jié)交于,連結(jié).

因?yàn)镹是DC中點(diǎn),BD=BC,所以；又因?yàn)镈C是面ABCD與面的交線,而面ABCD⊥面,

所以……………（12分）

又可證得,是的中點(diǎn),所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以O(shè)M平面,

因?yàn)镺M?面DMC1,所以平面平面………………………（14分）

18. 解：（1）因?yàn)?sub>,所以c=1……………………（2分）

 則b=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………………………（4分）

（2）因?yàn)?sub>（1,1）,所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x（6分）

又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=－2,所以點(diǎn)Q（－2,4） …………………………（7分）

所以,又,所以,即,

故直線與圓相切……………………………………………………（9分）

（3）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線與圓保持相切              ………（10分）

證明:設(shè)（）,則,所以,,

所以直線OQ的方程為                     ……………（12分）

所以點(diǎn)Q（－2,）                                    ……………… （13分）

所以,

又,所以,即,故直線始終與圓相切……（15分）

19.⑴解：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，（）…… （2分）

若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間． ……………… （3分）

若，令，得，      

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，．  ……………… （5分）

有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間．   ……………… （6分）

⑵解:(i)若，在上單調(diào)遞增，所以．     ……… （7分）

若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以．     ……………… （9分）

若，在上單調(diào)遞減，所以．………… （10分）

綜上所述，    ……………… （12分）

（ii）令．若，無解．      ……………… （13分）

若，解得． ……………… （14分）

若，解得．       ……………… （15分）

故的取值范圍為．    ……………… （16分）

20. (1)數(shù)表中第行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為，則由題意可得

… （2分）

 (其中為第行數(shù)所組成的數(shù)列的公差)         (4分)

(2)

第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由(1)知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個(gè))都依次成等差數(shù)列.     ……………… （5分）

設(shè)第行的數(shù)公差為,則，則…………… （6分）

所以

                                           (10 分)

(3)由，可得

所以=   ……………… （11分）

令,則,所以 ………… （13分）

要使得，即，只要=，

，，所以只要,

即只要,所以可以令

則當(dāng)時(shí)，都有.

所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為                   (16分)

第Ⅱ卷（附加題 共40分）

1. （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,M的坐標(biāo)為,

則即為所求的軌跡方程.  …………（6分）

（2）由（1）知P的軌跡是以（）為圓心，半徑為的圓，易得RP的最小值為1

.……（10分）

2. ，|x－a|＜l，

，       …………………………………………………5分

= ………………………10分

3. 證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為

．

（1）解：因

所以，與所成的角余弦值為     …………………………………5分

（2）解：在上取一點(diǎn)，則存在使

要使

為

所求二面角的平面角．

 

…………………………………10分

另解：可以計(jì)算兩個(gè)平面的法向量分別為：平面ＡＭＣ的法向量，平面ＢＭＣ的法向量為，=，　所求二面角的余弦值為－．

4. （1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知               ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．

，

 ；………………8分

 故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

                                                             

 

答：ξ的數(shù)學(xué)期望為                        ………………………………10分

 


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