2009屆高考數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí)精編模擬五
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨(dú)立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是
，那么
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生
次的概率
其中表示球的半徑
第一部分 選擇題（共50分）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1、設(shè)
為全集，
是的三個(gè)非空子集，且
，則下面論斷正確的是 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A）
； （B）
；
（C）
；（D）
.
2、已知
、
是非零向量且滿足(－2) ⊥，(－2) ⊥，則與的夾角是 （ ）
(A).
(B) 
(C).
(D).
3、已知
，則
等于 （ ）
A、
B、
C、
D、
4、已知
，
為常數(shù)，且
，則函數(shù)
必有一周期為： �。� ）
A、2 B、 C、4 D、5
5、
交于A、B兩點(diǎn)，且
，則直線AB的方程為： （ �。�
A、
B、
C、
D、
6、我國(guó)儲(chǔ)蓄存款采取實(shí)名制并征收利息稅，利息稅由各銀行儲(chǔ)蓄點(diǎn)代扣代收。某人在2001年9月存入人民幣1萬(wàn)元，存期一年，年利率為2.25%，到期時(shí)凈得本金和利息共計(jì)10180元，則利息稅的稅率是： （ ）
A、8% B、20% C、32% D、80%
7、不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6}
8、七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數(shù)是（ ）
（A） 1440 （B） 3600 （C） 4320 （D） 4800
9、若關(guān)于
的方程
只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則
的取值范圍為（ ）
A、=0
B、=0或>1
C、>1或<-1 D、=0或>1或<-1
10、一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為
，四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）
（A）3
（B）4 （C）3
（D）6
第二部分 非選擇題（共100分）
二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11、已知函數(shù)
在區(qū)間
上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。
12、有些計(jì)算機(jī)對(duì)表達(dá)式的運(yùn)算處理過(guò)程實(shí)行“后綴表達(dá)式”：運(yùn)算符號(hào)緊跟在運(yùn)算對(duì)象的后面，按照從左到右的順序運(yùn)算，如表達(dá)式
，其運(yùn)算為：
，若計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算：
，那么使此表達(dá)式有意義的的范圍為 _____________ ．
13、若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是 （只需寫出一個(gè)可能的值）．
14、(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P
到直線：
的距離是 ．
15．(幾何證明選講選做題) 如圖，圓 O 的割線 PBA 過(guò)圓心 O，弦 CD 交 PA 于點(diǎn)F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，則PF = 。
三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知命題
：方程
有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根；
：方程
無(wú)實(shí)根．若“或”為真，“且”為假，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，已知
．
(1) 求AB邊的長(zhǎng)度；
(2)
證明：
；
（3）若
,求
．
18．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
圖像上一點(diǎn)
處的切線方程為
，其中
為常數(shù).
（Ⅰ）函數(shù)是否存在單調(diào)減區(qū)間？若存在，則求出單調(diào)減區(qū)間（用表示）；
（Ⅱ）若
不是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱.
19．（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐S―ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
SD垂直于底面ABCD，SB=
.
（I）求證BC
SC；
（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（III）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.
20．（本小題滿分14分）
設(shè)圓
過(guò)點(diǎn)P(0,2), 且在軸上截得的弦RG的長(zhǎng)為4.
(１)求圓心的軌跡E的方程；
(２)過(guò)點(diǎn)
(０，１)，作軌跡
的兩條互相垂直的弦
、
，設(shè)、 的中點(diǎn)分別為、
，試判斷直線
是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由．
21．（本小題滿分14分）
在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組
（
）
所表示的平面區(qū)域?yàn)?sub>
，記內(nèi)的整點(diǎn)（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均
為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為
.
（Ⅰ）求
并猜想
的表達(dá)式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，數(shù)列
的前項(xiàng)和
,
是否存在自然數(shù)m？使得對(duì)一切，
恒成立。若存在，
求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
一．選擇題：CBDCC BDBDA
解析：1: 由文氏圖可得結(jié)論（C）.
2：由已知得：(
－2
)
=0，(－2) =0；即得：
=
=2，∴cos<，>=
，∴選(B)
3：由于受條件sin2θ+cos2θ=1的制約，故m為一確定的值，于是sinθ,cosθ的值應(yīng)與m的值無(wú)關(guān)，進(jìn)而推知tan
的值與m無(wú)關(guān)，又
<θ<π，
<<,∴tan>1，故選D。
4：由于
，從而函數(shù)
的一個(gè)背景為正切函數(shù)tanx，取
，可得必有一周期為4
。故選C。
5：解此題具有很大的迷惑性，注意題目隱含直線AB的方程就是
，它過(guò)定點(diǎn)（0，2），只有C項(xiàng)滿足。故選C。
6：生活常識(shí)告訴我們利息稅的稅率是20%。故選B。
7：四個(gè)選項(xiàng)中只有答案D含有分?jǐn)?shù)，這是何故？宜引起高度警覺(jué)，事實(shí)上，將x值取4.5代入驗(yàn)證，不等式成立，這說(shuō)明正確選項(xiàng)正是D，而無(wú)需繁瑣地解不等式。
8：（用排除法）七人并排站成一行，總的排法有
種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2×
種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數(shù)有：－2×＝3600，對(duì)照后應(yīng)選B；
9:作直線
的圖象和半圓
,從圖中可以看出: 的取值范圍應(yīng)選(D).
注:求與方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題常用圖解法.
10：如圖，將正四面體ABCD補(bǔ)形成正方體，則正四面體、正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為
，所以正方體棱長(zhǎng)為1，從而外接球半徑R＝
.故S球＝3
.
二．填空題：11、
； 12、
； 13、
或
或
；
14、＋1； 15、3；
解析：11：
，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，
在
上為增函數(shù)，∴
，∴。
12：計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算：
時(shí)，它表示的表達(dá)式是
，當(dāng)其有意義時(shí)，得
，解得．
13： 本題是一道很好的開放題，解題的開竅點(diǎn)是：每個(gè)面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定｛1，1，2｝，從而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設(shè)條件的四面體，最后計(jì)算出這三個(gè)四面體的體積分別為：
, ,，故應(yīng)填.、 、 中的一個(gè)即可.
14.解：直線：
化為一般方程：
，點(diǎn)P
化為點(diǎn)
，則點(diǎn)到直線的距離為
15解：由△COF∽△PDF得
，即
=
=
=
，即
=
，
解得
，故
=3
三．解答題：
16.解：當(dāng)P為真時(shí)，有
……4分
當(dāng)Q為真時(shí)，有
……5分
……6分
由題意:“P或Q”真，“P且Q”為假 等價(jià)于
（1）P真Q假：
……8分
（2）Q真P假：
……11分
綜合（1）（2）
的取值范圍是
……12分
17.解：（1）∵
∴
∵
∴
, 
即AB邊的長(zhǎng)度為
……………………3分
(2) 由
得
-------------①
即
-------------②
由①②得
, 由正弦定理得
∴
∴
-- ……………………8分
(3) ∵
，由（2）中①得
由余弦定理得
=
∴
=
- ……………………12分
18．解：（Ⅰ）
，
， ……………1分
由題意，知
，
，
即
……………………2分
…………………3分
①
當(dāng)
時(shí)，
，函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)增加，
不存在單調(diào)減區(qū)間； ……………………5分
②
當(dāng)
時(shí)，
，有
+
-
+
當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，為
……………7分
③
當(dāng)
時(shí)， 
，有
+
-
+
當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，為
…………9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：若
不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，
…………………10分
設(shè)點(diǎn)
是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，則
，
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)
的對(duì)稱點(diǎn)為
，
（或 
）
點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.
由點(diǎn)
的任意性知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱.
…………………14分
19． [方法一]：（幾何法）
（I）證法一：如圖1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，
由三垂線定理得BC⊥SC. …………3分
證法二：如圖1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D， 圖1
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. …………3分
（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，
∴可把四棱錐S―ABCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體A1B1C1S―ABCD，
如圖2，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面BCSA1所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A1S， ∴SC⊥A1S，
又SD⊥A1S，∴∠CSD為所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………8分
解法二：如圖3，過(guò)點(diǎn)S作直線
在面ASD上，
∵底面ABCD為正方形，
在面BSC上，
為面ASD與面BSC的交線.
∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角
為 45°�！�8分
（III）解法一：如圖3， ∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜邊SA的中點(diǎn)， ∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂線定理得DM⊥SB. ∴異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………14分
解法二：如圖4，取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP.
在△ABS中，由中位線定理得 MP//SB，
是異面直線DM與SB所成的角.
，
又
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2， 
即異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………14分
[方法二]：（向量法）
解析：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
M（，0，），
∵ SB=
，DB=，SD=1，∴ S（0，0，1），……………2分
（I）證明：∵ 
，
=0 ∴ 
，即BC
SC．……………5分
（II）設(shè)二面角的平面角為θ，由題意可知平面ASD的一個(gè)法向量為
，設(shè)平面BSC的法向量為
，由
，
得
，
∴ 面ASD與面BSC所成的二面角為45°．……………10分
（III）設(shè)異面直線DM與SB所成角為α，
∵ 
，SB=(-1,-1,1),得
∴ 異面直線DM與SB所成角為90°．……………14分
20.解：(1)設(shè)圓心
的坐標(biāo)為
，如圖過(guò)圓心作
軸于H,
則H為RG的中點(diǎn)，在
中，
…3分
∵
∴
即
…………………6分
(2) 設(shè)
，
直線AB的方程為
（
）則
-----①
---②
由①－②得
，∴
，………………9分
∵點(diǎn)
在直線上， ∴
．
∴點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為
． ………………10分
同理可得：
, 
,
∴點(diǎn)
的坐標(biāo)為
． ………………11分
直線
的斜率為
，其方程為
，整理得
，………………13分
顯然，不論為何值，點(diǎn)
均滿足方程，
∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．……………………14分
21.解：（Ⅰ）當(dāng)n＝1時(shí)，D1為Rt△OAB1的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)
，
當(dāng)n＝2時(shí)，D2為Rt△OAB2的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)
，
當(dāng)n＝3時(shí)，D3為Rt△OAB3的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)
，……， ---3分
由此可猜想
＝3n。
--------------------------------------------------4分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1) 當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立。
(2) 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即
，（
） ----5分
如圖，平面區(qū)域
為Rt
內(nèi)部包括斜邊、平面區(qū)域
為
Rt△
內(nèi)部包括斜邊，∵平面區(qū)域比平面區(qū)域多3
個(gè)整點(diǎn)， ------- 7分
即當(dāng)n＝k+1時(shí)，
，這就是說(shuō)當(dāng)n＝k+1時(shí)，
猜想也成立，
由（1）、（2）知＝3n對(duì)一切
都成立。 ---------------------8分
（Ⅱ）∵＝3n, ∴數(shù)列
是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列,
∴
.
-------------------------10分
=
=
-------------------------------11分
∵對(duì)一切，
恒成立, ∴
∵
在
上為增函數(shù) ∴
---13分
，滿足
的自然數(shù)為0，
∴滿足題設(shè)的自然數(shù)m存在，其值為0。 -------------------------14分
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