1．設(shè)0＜θ＜π，a∈R, ，則θ的值為（       ）

A．                       B．                    C．                      D．

2．若f(x)=lgx+1,則它的反函數(shù)的圖象是（     ）

3． 函數(shù)的定義域?yàn)椋?nbsp;      ）

   A．(－1, 2)                      B．(－1,0)∪(0, 2)    C．(－1,0)            D．(0, 2)    

4．設(shè)函數(shù)f(x)=tan (ωx+φ)，(ω＞0),條件P：“f(0)=0”；條件Q：“ f(x)為奇函數(shù)”，則P是Q的（         )

A.充要條件                                      B.充分不必要條件               

C.必要不充分條件                               D.既不充分也不必要條件

5． 非零向量=(sinθ,2), =(cosθ,1), 若與共線，則tan(θ－)=

A．3         B －3          C．         D．－

6．過(guò)直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于對(duì)稱時(shí)，則直線之間的夾角為（     ）

 A．                 B.                      C.               D.

7．下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是(      )

①過(guò)空間任意一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直;

②過(guò)空間任意一條直線有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直;

③過(guò)空間任意一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知的兩條異面直線平行;

④過(guò)空間任意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直;

A. 1                            B. 2                         C. 3                    D. 4

8．如果關(guān)于x的一元二次方程中，a、b分別是兩次投擲骰子所得的點(diǎn)數(shù)，則該二次方程有兩個(gè)正根的概率P= （       ）

A．                          B．                      C．                     D．

9．將正方體的六個(gè)面染色，有4種不同的顏色可供選擇，要求相鄰的兩個(gè)面不能染同一顏色，則不同的染色方法有（         ）

   A．256種           B．144種               C．120種             D．96種

10． 已知雙曲線的方程為：，直線的的方程為：，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于，以為直徑的圓與直線相交于，記劣弧    的長(zhǎng)度為，則的值為（     ）

A．                                                        B．                          C．                  D．與直線的位置有關(guān)

11．若的展開(kāi)式中第三項(xiàng)為，則          .

12．已知矩形中，沿將矩形折成一個(gè)二面角則四面體的外接球的表面積為          .

13．已知點(diǎn)滿足，且點(diǎn)，則（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值等于         .

14．設(shè)三個(gè)正態(tài)分布、

和N()（＞0）的密度函數(shù)圖象如圖所示，則

μ₁，μ₂，μ₃按從小到大的順序排列是                  ；

σ₁，σ₂，σ₃按從小到大的順序排列是                  .

15．如圖，以、為頂點(diǎn)作正，

再以和的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作正，

再以和的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作正，…，

如此繼續(xù)下去．有如下結(jié)論：

①所作的正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列；

②每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線（）上；

③第六個(gè)正三角形的不在第五個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)

的坐標(biāo)是；

④第n個(gè)正三角形的不在第n－1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則．

其中正確結(jié)論的序號(hào)是                （把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

16．(本小題滿分12分)

已知向量=(cos x, 0),=(0,sin x),記函數(shù)f(x)=(+)²+sin 2x,

(1)求函數(shù)f(x)的最小值及取最小值時(shí)的集合；

(2) 若將函數(shù)的圖象按向量平移后，得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱且在[0,]上單調(diào)遞減，求長(zhǎng)度最小的.

17．(本小題滿分12分)

一個(gè)口袋中裝有大小相同的個(gè)紅球（≥5且）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球的顏色不同則為中獎(jiǎng).

(1)記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為.試問(wèn)當(dāng)n等于多少時(shí)，的值最大？

(2)在(1)的條件下，將5個(gè)白球全部取出后，對(duì)剩下的n個(gè)紅球全部作如下標(biāo)記：記上i號(hào)的有i個(gè)（i=1,2,3,4），其余的紅球記上0號(hào)，現(xiàn)從袋中任取一球.ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)，求ξ的分布列，期望和方差.

18．(本小題滿分12分)

如圖：D、E分別是正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中點(diǎn)，且棱AA₁=8，AB=4，

(1)求證：A₁E∥平面BDC₁

(2)在棱AA₁上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°，若存在，求AM的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.

19．(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=xln x

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若為正常數(shù)，設(shè)g(x)= f(x)+ f(k－x)，求函數(shù)g(x)的最小值；

(3)若a＞0,b＞0證明：f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)－f(b)

20．(本小題滿分13分)

設(shè)分別為橢圓 的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上不同于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓右準(zhǔn)線相交于兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓必過(guò)橢圓外的一個(gè)定點(diǎn)

21．(本小題滿分14分)

已知函數(shù)f(x)=x²－x+2, 數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：a_n+1=f(a_n)，，且.

(1)求a₂,a₃,a₄的值；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＜2－；

(3)證明：當(dāng)時(shí)，有.

參   考   答   案

1.    2. A     3. C   4 . B     5.     6. C   7. A    8. A     9. D  10. B

11. －2   12. 100π   13.    14. μ₂＜μ₁＜μ₃ ； σ₁＜σ₃＜σ₂（第一空3分，第二空2分）

15. ①②③④

16.(1) ∵f(x)=(+)²+sin 2x=3cos²x+sin²x+sin2x=2cos(2x－)+2       …3分

     ∴f(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)2x－=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z時(shí)取到等號(hào).

    ∴ 函數(shù)f(x)的最小值是0，此時(shí)x的集合是{x | x=kπ+，k∈Z}         …6分

  (2) 設(shè)=(m,n)，函數(shù)f(x) 的圖象平移后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)，則g(x)= 2cos[2(x－m)－]+2+n

  由題意函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱，得

cos[2(0－m)－]=0，且2+n=0，解得m=kπ+，k∈Z，且n=－2             …8分

①當(dāng)m= kπ+， k∈Z時(shí)，g(x)= 2cos(2x－)=2sin 2x，在[0,]上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；

②當(dāng)m= kπ+，k∈Z時(shí)，g(x)= 2cos(2x+)=－2sin 2x，在[0,]上單調(diào)遞減，符合題意. …10分

∴=( kπ+,－2)，k∈Z          【若求出的結(jié)果是（kπ+，－2），給10分】

∴長(zhǎng)度最小的=( －,－2)                                            …12分

17．(1)一次摸獎(jiǎng)從個(gè)球中任取兩個(gè)，有種方法。它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有種，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率        ……2分                       

設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，三次摸獎(jiǎng)中（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率是，因而在上為增函數(shù),在上為減函數(shù)， ……4分

（用重要不等式確定p值的參照給分）

∴當(dāng)時(shí)取得最大值，即，解得或（舍去），則當(dāng)時(shí)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大.         …6分

(2)由(1)可知：記上0號(hào)的有10個(gè)紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的故ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

4

P

…8分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=                                      …10分

Dξ=(0－)²×+(1－)²×+(2－)²×+(3－)²×+(4－)²× =       …12分

18．【方法一】(1)證明：在線段BC₁上取中點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF

則由題意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，

∴四邊形EFDA₁是平行四邊形

∴A₁E∥FD，又A₁E平面BDC₁，F(xiàn)D平面BDC₁

∴A₁E∥平面BDC₁                              …6分

(2)由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，過(guò)點(diǎn)E作

EH⊥BC₁于H，連結(jié)A₁H，則∠A₁HE為二面角A₁－BC₁－B₁的平面角        …8分

在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁邊上的高為，∴EH=，

又A₁E=2,∴tan∠A₁HE==＞∴∠A₁HE＞60°，                    …11分

∴M在棱AA₁上時(shí)，二面角M－BC₁－B₁總大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°的點(diǎn)M.                                                    …12分

【方法二】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，題意知B(－2,0,0),

D(2,40),A₁(2,8,0), C₁(0,8,2)，B₁(－2,8,0), E(－1,8,),

=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),

=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),

=(2,8, 2).                                                   

(1)證明：∵=2(+)∴A₁E∥平面BDC₁                                         …6分

(2)設(shè)=（x,y,1）為平面A₁BC₁的一個(gè)法向量，則，且，即解得∴=（,,1），同理，設(shè)=（x,y,1）為平面B₁BC₁的一個(gè)法向量，則，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－

∴二面角A₁－BC₁－B₁為arccos. 即arctan,又∵＞

∴二面角A₁－BC₁－B₁大于60°， ∴M在棱AA₁上時(shí)，二面角M－BC₁－B₁總大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°的點(diǎn)M.                           …12分

19. (1)解：∵= ln x+1，解＞0，得x＞；解＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0, ).                 …3分

(2) ∵g(x)= f(x)+ f(k－x)=x ln x+(k－x)ln(k－x),定義域是(0, k)

∴= ln x+1－[ln (k－x)+1]= ln                               …5分

由＞0，得＜x＜k，由＜0，得0＜x＜，

∴函數(shù)g(x)在(0, ) 上單調(diào)遞減；在(, k)上單調(diào)遞增，                …7分

故函數(shù)g(x)的最小值是：y_min=g()=kln.                             …8分

(3)∵a＞0,b＞0∴在(2)中取x=，k=2,可得f()+ f(2－)≥2ln1 f()+ f()≥0

ln+ln≥0alna+blnb+(a+b)ln2－(a+b)ln(a+b)≥0

 f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)－f(b)                                   …12分

20．(1)由題意，知a=2c，=4，解得a=2,c=1,∴b=，故橢圓方程為 …5分

(2)設(shè)P(2cosθ, sinθ),M(4,m),N(4,n),則A(－2,0),B(2,0),

由A、P、M三點(diǎn)共線，得m=                                                                   …7分

由B、P、N三點(diǎn)共線，得n=,                                            …9分

以MN為直徑的圓的方程為(x－4)(x－4)+(y－)(y－)=0,

整理得：(x－4)²+y²－(+)y－9=0      …12分

解得(舍去)或

∴以為直徑的圓必過(guò)橢圓外的一個(gè)定點(diǎn)(7,0),命題成立.                   …13分

【由對(duì)稱性先猜出在x軸上存在符合要求的定點(diǎn)，再求出該點(diǎn)，結(jié)果正確的，給13分.】

21．(1)根據(jù)及計(jì)算易得       …3分

(2)證明：①，

而＞，故＜2－，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.    …5分

②假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即.

因?yàn)?sub>≥，而函數(shù)在時(shí)為增函數(shù)，所以

，

即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.

綜合①、②可知，不等式對(duì)一切都成立.                  …9分

(3) 由可得，而，于是         …11分

于是當(dāng)時(shí)，，故，所以.…14分

命題人：趙文耀  馮志勇      審題人：陳根成