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2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練――圓錐曲線

1. 已知常數(shù)m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經(jīng)過點(diǎn)A(m, 0)，以λa+b為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(- m, 0)，以λb- 4a為方向向量的直線交于點(diǎn)P，其中λ∈R．

(1) 求點(diǎn)P的軌跡E；　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2) 若，F(xiàn)(4, 0)，問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點(diǎn)，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，試說明理由．

2 雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸長的積為，它的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，直線過F₂且與直線F₁F₂的夾角為，且，與線段F₁F₂的垂直平分線的交點(diǎn)為P，線段PF₂與雙曲線的交點(diǎn)為Q，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線的方程.

3. 在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動點(diǎn)，. 過點(diǎn)M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點(diǎn)N₁，. 記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間）.

（1）求曲線C的方程；

（2）證明不存在直線l，使得|BP|=|BQ|；

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明

4. 已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F₁、F₂在軸上，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A使且的面積為1。

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與雙曲線C相交于E、F兩點(diǎn)（E、F不是左右頂點(diǎn)），且以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點(diǎn)D。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

5.求與雙曲線有公共漸進(jìn)線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的方程。

6、已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且=120，求的面積

7、證明：雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸進(jìn)線的距離的乘積是一個(gè)定值

8、已知半圓的直徑為，點(diǎn)在半圓上，雙曲線以為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)。若，求雙曲線的方程。

9. 已知圓：x²+y²=c²(c＞0),把圓上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的倍得一橢圓。

⑴求橢圓方程,并證明橢圓離心率是與c無關(guān)的常數(shù)；

⑵設(shè)圓與x軸交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P的直線l與圓的另一交點(diǎn)為Q，直線l與橢圓的兩交點(diǎn)為M、N，且滿足，求直線l的傾斜角。

10. 已知點(diǎn)（x,y）在橢圓C：（a＞b＞0）上運(yùn)動

⑴求點(diǎn)的軌跡C^′方程；

⑵若把軌跡C^′的方程表達(dá)式記為：y=f(x)，且在內(nèi)y=f(x)有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍。

11. 已知過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)；又函數(shù)的圖像的一條對稱軸的方程是。

（1）求橢圓的離心率與;

（2）對于任意一點(diǎn),試證:總存在角使等式: 成立.

12. 已知圓k過定點(diǎn)A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C：y²=2ax上運(yùn)動，MN為圓k在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心k的運(yùn)動而變化？

(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，拋物線C的準(zhǔn)線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？

13. 如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)?i>A、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

14. 已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F₂的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn).

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若在l的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動時(shí)，求a的取值范圍.

15. 設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)。

（Ⅰ）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，

求點(diǎn)的坐標(biāo)。

（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。

16. 拋物線C的方程為，作斜率為的兩條直線，分別交拋物線C于A兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同），且滿足

（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿足證明：線段PM的中點(diǎn)在y軸上；

（3）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，―1），求∠PAB為鈍角時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取

值范圍.

17. 如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線為平面上的動點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，若

（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)M（－1，0）作直線m交軌跡C于A，B兩點(diǎn)。

（Ⅰ）記直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k₁,k₂，求k₁+k₂

的值；

（Ⅱ）若線段AB上點(diǎn)R滿足求證：

RF⊥MF。

18. 已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為它的左、右焦點(diǎn)，直

線x=4為它的一條準(zhǔn)線，又知橢圓C上存在點(diǎn)M使

（1）求橢圓C的方程；

（2）若PQ為過橢圓焦點(diǎn)F₂的弦，且內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

19. 已知橢圓，通徑長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)Q（－1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線x=－4于點(diǎn)E，點(diǎn)Q分所成比為λ，點(diǎn)E分所成比為μ，求證λ+μ為定值，并計(jì)算出該定值.

20. 已知⊙M：軸上的動點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程；

（2）求動弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.

答案：

1. 解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直線AP方程為；…………………………①

又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直線NP方程為；…………………………②

由①、②消去λ得，即．

故當(dāng)m = 2時(shí)，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：x² + y²= 4；

當(dāng)m > 2時(shí)，軌跡E是以原點(diǎn)為中心，以為焦點(diǎn)的橢圓：

當(dāng)0 < m <2時(shí)，軌跡E是以中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的橢圓．

(2)　假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足要求，此時(shí)有圓Q：(x- k)² + y²= (4- k)²;

橢圓E：；其右焦點(diǎn)為F(4 , 0 )，且．

由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得2y²- 5kx + 20k- 30 = 0,

設(shè)M(x₁, y₁), N(x₂, y₂), 則有， ………………………………………………③

△=25k²- 4×2(20k- 30)，

又 |MF| =, |NF| =, 而；

∴ +,

由此可得　，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此時(shí)△＞0．故存在實(shí)數(shù)k = 1滿足要求．

2. 解以F₁F₂的中點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程為（a>0，b>0），設(shè)F₂（c，0），不妨設(shè)的方程為，它與y軸交點(diǎn)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)Q在雙曲線上可得，又，