“直線與平面”錯(cuò)解點(diǎn)擊

四川省樂(lè)至縣吳仲良中學(xué)   毛仕理   641500  (0832)3358610

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      在“直線與平面”內(nèi)容中，為了研究直線與直線之間，直線與平面之間，平面與平面之間的各種關(guān)系，引進(jìn)了一些基本概念和數(shù)學(xué)方法，例如“異面直線”，“直線與平面所成的角”、“二面角”等概念，反證法、同一法等方法，對(duì)于這類特定的概念理解不準(zhǔn)確，對(duì)這些方法的掌握存在某些缺陷，解題時(shí)就容易出錯(cuò)．

     下面通過(guò)幾例，對(duì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的解法進(jìn)行分析，研究糾正錯(cuò)誤的方法，從中吸取有益的教訓(xùn)，以加深對(duì)知識(shí)的理解，提高解題能力．

     例1  證明；斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線的射影上．

     錯(cuò)解  如圖,   對(duì)于平面，直線AB是垂線，垂足B是點(diǎn)A的射影；直線AC是斜線，C是斜足，直線BC是斜線AC的射影．

     在AC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作PO⊥交BC于O，

     ∴點(diǎn)P在平面上的射影在BC上．

     點(diǎn)擊   這樣的證明似乎有點(diǎn)道理，事實(shí)上這些點(diǎn)也是在這條斜線在該平面的射影上，但仔細(xì)分析，這些點(diǎn)在這條斜線在該平面的射影上的理論根據(jù)不足，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥交BC于O，恰恰是本題要證明的．是一種易犯的邏輯錯(cuò)誤，許多同學(xué)在解題中往往錯(cuò)而不覺，對(duì)此應(yīng)引起警覺．

     正解   AC是平面的斜線，點(diǎn)C是斜足，AB⊥，點(diǎn)B是垂足．

     則BC是AC在平面上的射影．

     在AC上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥,垂足為O．

      ∴AB⊥，  ∴PO ∥AB，

      ∵點(diǎn)P在A、B、C三點(diǎn)確定的平面上，因此，PO平面ABC，

      ∴ O∈BC．

     例2  已知、是兩個(gè)不重合的平面，

     ①若平面⊥平面，平面⊥平面，則平面∥平面；

     ②若平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則平面∥平面；

     ③a、b是平面內(nèi)的兩條直線，且a∥，b∥，則平面∥平面；

     以上正確命題的個(gè)數(shù)為(    )．

     (A)O個(gè)          (B)1個(gè)          (C)2個(gè)        (D)3個(gè)

     錯(cuò)解  三個(gè)命題都正確，選(D)．

     點(diǎn)擊   產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)問(wèn)題不能全面的分析，缺乏把握空間元素位置關(guān)系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般統(tǒng)蓋“特殊”．如判斷①、②是真命題，只是考慮了圖1與圖2的情況，而忽略了圖3與圖4的情況．

(1)             (2)                 (3)             (4)

     而判斷③是真命題，則是對(duì)平面與平面平行的判定定理：“如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”沒(méi)有真正理解，用任意兩條直線代替了定理中的特指條件“兩條相交直線”．

     正解    因?yàn)槿齻�(gè)命題都不正確，所以選(A)．

     例3  如圖   E₁、E₂、F₁、F₂、G₁、G₂、H₁、H₂分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的三等分點(diǎn)，求證：E₁H₁，與F₁G₂是異面直線．

    錯(cuò)證1  (直接法)            

    ①連BD，由題設(shè)=，=，

     ∴ E₁H₁與BD不平行，設(shè)其交點(diǎn)為P，

則P∈BD．

     ∵ ==,      則  F₁G₂∥BD，∴  PF₁G₂．

     ②又E₁P平面BCD，且E₁∈E₁P，

      ∴ E₁平面BCD．

    故平面BCD內(nèi)一點(diǎn)P與平面BCD外一點(diǎn)E₁的連線E₁P(即E₁H₁)與平面BCD內(nèi)不過(guò)P點(diǎn)的直線F₁G₁是異面直線．

      錯(cuò)證2   (反證法)

      設(shè)E₁H₁與F₁G₂不是異面直線，則E₁H與F₁G相交或E₁H₁∥F₁G₂．

      ①設(shè)E₁H₁ ∩F₁G₂=P，

       ∵E₁H 平面ABD，F(xiàn)₁G 平面CBD，

      則E₁H₁與F₁G₂的公共點(diǎn)P應(yīng)在平面ABD與平面CBD的交線BD上，

      則F₁G₂∩ BD=P，這與F₁G₂∥BD    (∵△CBD中，==)矛盾，

      ∴ E₁H₁與F₁G₂不相交．

      ②設(shè)E₁H₁∥F₁G₂，

       ∵ F₁G₂∥BD，由公理4知

      E₁H₁∥BD，這與E₁H₁ BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E₁H₁與BD不平行，必相交于一點(diǎn)P)矛盾，

      ∴ E₁H₁與F₁G₂不平行．

      綜合(1)、(2)知E₁H₁與F₁G₂是異面直線．

      點(diǎn)擊    采用證法1時(shí)，有些同學(xué)往往忽略強(qiáng)調(diào)點(diǎn)P在平面CBD上但不在直線F₁G₂上，且點(diǎn)E₁在直線E₁P上但不在平面CBD上，只證E₁H₁與F₁G₂無(wú)公共點(diǎn)的一面，而忽視它們不在同一平面上，便得出E₁H₁與F₁G₂是異面直線的結(jié)論，這是對(duì)其判定定理的片面理解，因而是錯(cuò)誤的．

      在采用證法2時(shí)，易犯的錯(cuò)誤也是不全面，只排除了E₁H₁與F₁G₂不可能相交而忽略了還應(yīng)排除它們平行的可能．因此，一定要深刻理解異面直線的定義，克服證題中的片面性．

      例4  在正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，求它的對(duì)角線BD₁與平面A₁B₁CD所成的角．

錯(cuò)解   連結(jié)A₁C交BD₁于E，則∠D₁EA為BD₁與平面A₁B₁CD所成角．設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a.

則A₁E=D₁E=a．又  A₁D₁=a，

在△A₁ED₁中，由余弦定理得

cos∠A₁ED₁=

===     

∴∠A₁ED₁=arccos,即BD₁與平面A₁B₁CD所成角為arccos.

     點(diǎn)擊   以上證法的錯(cuò)誤在于，∠A₁ED₁不是直線BD₁與平面A₁B₁CD所成的角.平面的一條斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角，本題中D₁A₁不垂直于平面A₁B₁CD，所以A₁E不是D₁E在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影．正是對(duì)“直線在平面內(nèi)的射影”這個(gè)概念理解不清，導(dǎo)致了以上錯(cuò)誤，所以在解此類題時(shí)，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足與斜足連線才得射影.

正解    ∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁,   又A₁B₁平面A₁B₁CD

∴平面A₁ADD₁⊥平面A₁B₁CD.

連結(jié)AD₁交A₁D于O,則D₁O⊥A₁D,

∴D₁O⊥平面A₁B₁CD.

連A₁C交BD₁于E，連OE，則OE為D₁E在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影,

∴∠D₁EO為BD₁與平面A₁B₁CD所成的角.

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a, 則D₁O=a, OE=AB=a,

在RtD₁OE中,    tan∠D₁EO==,

      ∴ ∠D₁E0=aretan，即BD₁與平面A₁B₁CD所成的角為arctan.

     例5  已知，AB是半徑為R的⊙O的直徑，0C⊥AB，P、Q是圓上兩點(diǎn)，且∠AOP=30⁰，∠COQ=45⁰,沿OC折疊使半圓面成一直二面角(如圖)，求P、Q兩點(diǎn)間的距離.

錯(cuò)解   在平面AOC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC于D， ∵ 平面AOC⊥平面BOC，則PD⊥平面BOC，連結(jié)DQ，

      ∴DQ 平面BOC，∠PDQ是直二面角A―O―CB的平面角，

       ∴∠PDQ=90⁰．

       ∵∠AOP=30⁰， ∴∠POD=60⁰．

    在Rt△POD中， PD=Rsin60⁰=R,

    在Rt△DOQ中， DQ=Rsin45⁰=R,

     ∴在Rt△PDQ中，PQ===,

      即P、Q兩點(diǎn)間的距離是．

    點(diǎn)擊   此證法的錯(cuò)誤在于對(duì)二面角的平面角理解有誤．判定一個(gè)角是否是二面角的平面角，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③這兩條射線都必須垂直于棱．誤解中忽視了條件③中的“都”字，事實(shí)上，DQ與OC不垂直，這再次提醒我們必須搞清空間每個(gè)元素的確切含義，概念一定要清楚，解題過(guò)程中要嚴(yán)格按定義要求落實(shí)，不能隨心所欲．

    正解   同錯(cuò)解，得PD=R.

又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得

    DQ²=0D²+0Q²一20D?OQcos45⁰

      ==R²

    在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ=

                        ==.

故P、Q兩點(diǎn)之間的距離為.