江蘇省南通市2009屆高三第一次調研測試

數(shù)學試卷

A．必做題部分

 

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

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A．必做題部分

 

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，則集合=   ▲   ．

2． 已知函數(shù)，則的最小正周期是      ▲        ．

3． 經(jīng)過點（－2，3），且與直線平行的直線方程為      ▲        ．

4． 若復數(shù)滿足則       ▲       ．

5． 程序如下：

t←1

i←2

While  i≤4

t←t×i

i←i＋1

End  While

Print  t

以上程序輸出的結果是       ▲       ．

6． 若的方差為3，則的方差

為     ▲     ．

7． 正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為，則四面體的外接球的體積為    ▲    ．

8． 以橢圓的左焦點為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是      ▲        ．

9． 設a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若點P（x，y）∈A是點P（x，y）∈B的必要不充分條件，則a的取值范圍是       ▲       ．

10．在閉區(qū)間 [－1，1]上任取兩個實數(shù)，則它們的和不大于1的概率是       ▲       ．

11．數(shù)列中，，且（，），則這個數(shù)列的通項公式

     ▲         ．

 

12．根據(jù)下面一組等式：

…………

可得       ▲       ．

13．在△ABC中，，D是BC邊上任意一點（D與B、C不重合），且，則等于       ▲       ．

14．設函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是      ▲        ．

答案：1．{6，7}   2．   3．   4．  5．24   6．27   7．  8．

 　   9．0＜a≤  10．   11．    12．  　13．　　14．

 

二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．（本小題14分）

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點D在邊BC上，AD⊥C₁D．

（1）求證：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）設E是B₁C₁上的一點，當的值為多少時，

A₁E∥平面ADC₁？請給出證明．

 

解: （1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．………………………………………2分

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁內，

              ∴ AD⊥面BC C₁ B₁．   ……………………………………………………………5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中點．………………………7分

當，即E為B₁C₁的中點時，A₁E∥平面ADC₁．………………………………8分

事實上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四邊形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分別是BC、B₁C₁的中點，所以B₁B∥DE，B₁B= DE． …………………………………………………10分

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁．  ……………………………………………………………12分

所以四邊形ADE A₁為平行四邊形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁內，故A₁E∥平面AD C₁． ………………………………………14分

 

16．（本小題14分）

如圖，在四邊形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．

（1）求sin∠BAD的值；

（2）設△ABD的面積為S_△ABD，△BCD的面積為S_△BCD，求的值．

解  （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，

則AC=10，．………………2分

又∵，AB=13，

∴． …………………………4分

∵，∴． …………………………………………………5分

∴．……………………………………………………8分

（2），，， 11分

則，∴．……………………………………14分

17．（本小題15分）

某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日    期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差（°C）

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)（顆）

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

 （2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠?

解：（1）設抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件，因為從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種， ………………2分

所以  ．…………………………………………………………………4分

答：略． ……………………………………………………………………………………5分

（2）由數(shù)據(jù)，求得．………………………………………………………………7分

由公式，求得，． …………………………………………………9分

所以y關于x的線性回歸方程為． …………………………………………10分

（3）當x=10時，，|22－23|＜2；…………………………………………12分

同樣，當x=8時，，|17－16|＜2．……………………………………14分

所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的．  ……………………………………15分

18．（本小題15分）

拋物線的焦點為F，在拋物線上，且存在實數(shù)λ，使0，．

（1）求直線AB的方程；

（2）求△AOB的外接圓的方程．

解：（1）拋物線的準線方程為．

∵，∴A，B，F(xiàn)三點共線．由拋物線的定義，得||=． …1分

設直線AB：，而

由得． ……………………………………………3分

∴||== ．∴．……………6分

         從而，故直線AB的方程為，即．……………………8分

（2）由 求得A（4，4），B（，－1）．……………………………………10分

設△AOB的外接圓方程為，則

         解得 ………………………………………………14分

故△AOB的外接圓的方程為．…………………………………15分

19．（本小題16分）

已知函數(shù)在[1，＋∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），，m∈R．

（1）求θ的值；

（2）若在[1，＋∞）上為單調函數(shù)，求m的取值范圍；

（3）設，若在[1，e]上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

解：（1）由題意，≥0在上恒成立，即．………1分

         ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，…………………2分

         只須，即，只有．結合θ∈（0，π），得．……4分

（2）由（1），得．．…………5分

∵在其定義域內為單調函數(shù)，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．………………………6分

 等價于，即，

     而 ，（）_max=1，∴． …………………………………………8分

等價于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

綜上，m的取值范圍是． ………………………………………………10分

（3）構造，．

當時，，，，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立． ………………………………………………………12分

當時，．…………………………14分

因為，所以，，所以在恒成立．

故在上單調遞增，，只要，

解得．

故的取值范圍是．………………………………………………………16分

20．（本小題16分）

已知等差數(shù)列的首項為a，公差為b，等比數(shù)列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數(shù)，且．

（1）求a的值；

    （2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值；

    （3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．

解：（1）由已知，得．由，得．

因a，b都為大于1的正整數(shù)，故a≥2．又，故b≥3． …………………………2分

再由，得  ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．  ………………………………………………………4分

于是，根據(jù)，可得．…………………………………………………6分

（2）由，對于任意的，均存在，使得，則

．

又，由數(shù)的整除性，得b是5的約數(shù)．

故，b=5．

所以b=5時，存在正自然數(shù)滿足題意．…………………………………………9分

（3）設數(shù)列中，成等比數(shù)列，由，，得

．

化簡，得．     （※）  …………………………………………11分

當時，時，等式（※）成立，而，不成立． …………………………12分

當時，時，等式（※）成立．…………………………………………………13分

當時，，這與b≥3矛盾．

這時等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分

綜上所述，當時，不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列；當時，數(shù)列中的第二、三、四項成等比數(shù)列，這三項依次是18，30，50．…………………………………………16分

 

B．附加題部分

21．（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．選修4－1（幾何證明選講）

如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD

切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是

OB的中點，求BC的長．

解：連接OD，則OD⊥DC．

在Rt△OED中，OE=OB=OD，

∴∠ODE=30°．  ………………………………3分

在Rt△ODC中，∠DCO=30°， ………………5分

由DC=2，則OB=OD=DCtan30°=，……………………9分

所以BC=OC－OB=． …………………………………………………………………10分

B．選修4－2（矩陣與變換）

將曲線繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，求所得曲線的方程．

解：由題意，得旋轉變換矩陣，  ……………………3分

設上的任意點在變換矩陣M作用下為，，

∴  ………………………………………………………………………7分

得．

將曲線繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，所得曲線的方程為．……10分

C．選修4－4（坐標系與參數(shù)方程）

求直線（t為參數(shù)）被圓（α為參數(shù)）截得的弦長．

解：把直線方程化為普通方程為．…………………………………………3分

將圓化為普通方程為．……………………………………