1、合情推理除完全歸納法外，結(jié)論未必正確，正確得能證明，不正確得能舉出反例，既不能證明又不能舉出反例者只能算是種猜想；演繹推理只要前提和推理形式正確，結(jié)論就正確。

2、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)思路常常是：計(jì)算猜想證明

3、綜合法是由因?qū)Ч�，分析法是�?zhí)果索因，注意書寫方式上的不同；數(shù)學(xué)歸納法基于此點(diǎn)考慮歸入演繹推理，更嚴(yán)格地說是合歸納與演繹為一體的一種推理。

例1：三角形的三邊a、b、c分別為整數(shù)，且a≤b≤c,如果b=m(m∈N^*)，這樣的三角形有多少個(gè)？解：由已知a+b=a+m>c≥m,

a值

c可取的值

三角形的個(gè)數(shù)

1

m

1

2

m,m+1

2

3

m,m+1,m+2

3

…………

m

m,m+1,m+2,……,2m-1

m

這樣，三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+……+m=個(gè)

例2、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹^*,f(1)=1,f(m+n)=f(m)+f(n)+mn,求f(n)

解：f(m+1)=f(m)+1+m,f(m+1)-f(m)=1+m,f(n)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+…+[f(n)-f(n-1)]

=1+2+3+……+n=

   例3、已知2cos=,計(jì)算2cos,2cos的值，并猜測(cè)2cos的值

   解：2cos=,2cos=猜測(cè)2cos=

  例4、在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n,滿足S_n=

(1)求a₁,a₂,a₃     (2)猜想a_n通項(xiàng)公式，并證明

解：(1)S₁=a₁=a₁²=1   ∵a₁>0∴a₁=1

S₂=a₁+a₂=1+a₂=a₂²+2a₂-1=0,a₂>0a₂=-1;同理，a₃=-

   (2)猜想：a_n=-

   證明：①n=1時(shí)，命題成立

②假設(shè)n=k時(shí)，猜想也成立，即a_k=,則當(dāng)n=k+1時(shí)，

a_k+1=S_k+1-S_k=-=-(+)=-a_k+1²+2a_k+1-1=0,a_k+1>0a_k+1=,

由①、②知a_n=-