海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)

數(shù)  學(xué)（文科）                     2008.11

學(xué)校          班級(jí)          姓名

題號(hào)

一

二

三

總分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

分?jǐn)?shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

(2)函數(shù)f (x)=x2－1(x＞0)的反函數(shù)是                                                                        (    )
(A)f －1(x)=(x＞－1)                                  (B)f －1(x)=(x＞0)
(C)f －1 (x)=－(x＞－1)                              (D)f －1 (x)=－(x＞0)

(3)已知a∈R，則“|a|＞2”是“a2＞4”的                                                               (    )
(A)充分而不必要條件                                     (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件                                            (D)既不充分也不必要條件

(4)從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有         (    )
(A)30種                         (B)36種                       (C)42種                       (D)60種

試題詳情

(5)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在[－1，1]上是增函數(shù)的是                                      (    )
(A)y=2x                                (B)y=－                    (C)y=－sinx                  (D)y=x3+2x

試題詳情

(6)函數(shù)f (x)=2|x-1|的圖象是                                                                                       (    )

         (A)           (B)                           (C)                             (D)

(7)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=an－1(a是不為0的實(shí)數(shù))，那么{an}                      (    )
(A)一定是等差數(shù)列
(B)一定是等比數(shù)列
(C)或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列
(D)既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列

(8)定義在R上的函數(shù)f (x)，如果存在函數(shù)g (x)=kx+b(k，b為常數(shù))，使得f (x)≥g (x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱g (x)為函數(shù)f (x)的一個(gè)承托函數(shù).現(xiàn)有如下命題：
①對(duì)給定的函數(shù)f (x)，其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；
②g(x)=2x為函數(shù)f (x)=2x的一個(gè)承托函數(shù)；
③定義域和值域都是R的函數(shù)f (x)不存在承托函數(shù).
其中正確命題的序號(hào)是    (    )
(A)①                             (B)②                           (C)①③                       (D)②③

(9)已知1，x，9成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)x等于           .

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二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上.

(10)(x2+)5的展開式中x4的系數(shù)是         . (用數(shù)字作答)

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(11)函數(shù)f (x)=+log2(2x－1)的定義域是       　　　　  .

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(12)已知等差數(shù)列{an}中，Sn表示其前n項(xiàng)和，且S1=1，S19=95，則a19=              ，
S10=         .

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(13)為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育    情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為    17.5歲至18歲的男生的體重情況，并    將統(tǒng)計(jì)結(jié)果畫成頻率分布直方圖(如    圖)，則此100名男生中體重在 [58.5，64.5)kg的共有  　　　人.

 

 

(14)已知關(guān)于x的不等式x2－ax+2＞0，若此不等式對(duì)于任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是  　　　；若此不等式對(duì)于任意的x∈(2，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
  　　   　.

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三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(15)(本小題共12分)
    已知全集U=R，不等式＜0的解集為A，不等式|x－2|＜l的解集為B.
(Ⅰ)求A，B；
(Ⅱ)求(UA)∩B.

 

 

 

(16)(本小題共13分)
    已知函數(shù)f (x)=x3+ax2+2，且f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′ (x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù)f ′ (x)及實(shí)數(shù)a的值；
(Ⅱ)求函數(shù)y=f (x)在[－1，2]上的最大值和最小值.

 

 

 

(17)(本小題共14分)
    現(xiàn)有24名學(xué)生(學(xué)號(hào)依次為1號(hào)到24號(hào))，參加一次扎染藝術(shù)活動(dòng)，每人染一件形狀大小都相同的布藝作品.要求：學(xué)號(hào)是6的倍數(shù)的同學(xué)領(lǐng)藍(lán)色染料，學(xué)號(hào)為8的倍數(shù)的    同學(xué)領(lǐng)黃色染料，其余同學(xué)只能領(lǐng)紅色染料，其中能同時(shí)領(lǐng)到藍(lán)色和黃色染料的同學(xué)，必須把這兩種染料混合成綠色染料進(jìn)行扎染.
(Ⅰ)求任取一件作品顏色為綠色的概率；
(Ⅱ)求任取一件作品顏色為紅色的概率；
(Ⅲ)任取一件作品記下顏色后放回，求連續(xù)取三次至少有兩次取出的作品顏色為紅色的

    概率.

 

 

 

 

 

(18)(本小題共13分)
    數(shù)列{an}[滿足a1=－1，且an=3an－１－2n+3(n=2，3，…).
(Ⅰ)求a2，a3，并證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；
(Ⅱ)求a1+a2+a3+…+an的值.

 

 

 

 

 

(19)(本小題共14分)
    已知函數(shù)f (x)=x3+bx2+cx+5，且曲線y=f (x)在點(diǎn)(0，f (0))處的切線與x軸平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)c的值；
(Ⅱ)判斷是否存在實(shí)數(shù)b，使得方程f (x)－b2x=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根.若存在，求b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

 

 

 

試題詳情

(20)(本小題共14分)
    設(shè)f (x)是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)D中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)，恒有
f (x1+x2)＜f (x1)+f (x2)，則稱f (x)為定義在D上的T函數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f (x)=x2是否為其定義域上的T函數(shù)，并說明理由；
(Ⅱ)若函數(shù)f (x)是R上的奇函數(shù)，試證明f (x)不是R上的T函數(shù)；
(Ⅲ)若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈(0,1)以及D中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，恒有
f (αx1+(1－α)x2)≤αf (x1)+(1－α)f (x2)，則f (x)為定義在Ｄ上的Ｃ函數(shù).已知f (x)是R上的Ｃ函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f(n)(n=0，1，2，…，m)，且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f (x)，試求Sf的最大值.

 

 

 

 

 

海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)

試題詳情

數(shù)  學(xué)（文科）                     2008.11

試題詳情

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

題號(hào)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

答案

B

A

C

B

D

B

C

A

 

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分)

(9)±3(丟一個(gè)不給分)    (10)10    (11)   

(12)9，30    (13)34    (14)(－2，2)，(－∞，3]

三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

(15)(本小題滿分12分)

   解：(Ⅰ)由＜0.

得－2＜x＜2.

    　 ∴A＝{x|－2＜x＜2}.……………………………………………………………3分

    由|x－2|＜1.

       得1＜x＜3.

       ∴B={x|l＜x＜3}.…………………………………………………………………6分

       (Ⅱ)∵A＝{x|－2＜x＜2}，U＝R，

          ∴UA＝{x|x≤－2或x≥2}.……………………………………………………9分

          ∴(U A)∩B＝{x|2≤x＜3}.……………………………………………………12分

(16)(本小題滿分13分)

   解：(Ⅰ)由f (x)＝x3+ax2+2得

   f ′ (x)=3x2+2ax.………………………………………………………………………………3分

   ∵f ′ (x)圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

   ∴－＝1.

   ∴a＝－3.……………………………………………………………………………………6分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x)＝x3－3x2+2，f ′ (x)＝3x2－6x.

      令f ′ (x)＝0得x1＝0，x2＝2.……………………………………………………………8分

   當(dāng)x在[－1，2]上變化時(shí)，f ′ (x)，f (x)的變化情況如下表

 

 

x

－1

(－1，0)

0

(０，2)

2

f ′ (x)

 

＋

0

－

0

f (x)

－2

ㄊ

2

ㄋ

－2

……………………………………………………………………………………………12分

   由上表可知，當(dāng)x＝－1或2時(shí)，函數(shù)有最小值－2，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最大值2.

   ……………………………………………………………………………………………13分

(17)(本小題滿分14分)

   解：(Ⅰ)設(shè)任取一件作品顏色為綠色的事件為A. ………………………………………1分

   P(A)＝.………………………………………………………………………………… 4分

   答：任取一件作品顏色為綠色的概率為.

   (Ⅱ)設(shè)任取一件作品顏色為紅色的事件為B ……………………………………………5分

   P(B)=1－………………………………………………………………………… 7分

   ＝l－＝.……………………………………………………………………………… 8分

   答：任取一件作品顏色為紅色的概率為.

   (Ⅲ)設(shè)任取一件作品記下顏色后放回，連續(xù)取三次至少有兩件作品為紅色的

   事件為C.……………………………………………………………………………………9分

   P(C)＝()2()+()3()0………………………………13分(其中兩個(gè)算式各2分)

       ＝.…………………………………………………………………………………14分

  答：任取一件作品記下顏色后放回，連續(xù)取三次至少有兩件作品為紅色的概率為.

(18)(本小題滿分13分)

   解：(Ⅰ)∵a1=－1，且an=3an－l－2n+3，(n=2，3，…)

   　　　 ∴a2=3al－4+3=－4，…………………………………………………………… 2分

          a3=3a2－6+3=－15…………………………………………………………………4分

  當(dāng)n≥2時(shí)，有

   an－n=3an－1－2n+3－n＝3(an－1－n＋1) …………………………………………6分

   且a1－1=－2≠0，…………………………………………………………………7分

   所以數(shù)列{an－n}(n＝1，2，…)是一個(gè)以－2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列……

          ……………………………………………………………………………………8分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)可得an－n＝－2?3n－１，

　 　 ∴an＝n－2?3n－1……………………………………………………………………9分

         ∴a1+a2+a3+…+an＝(1－2×1)＋(2－2×3)＋(3－2×32)＋…＋(n－2×3n－1)

         ＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2×1+2×3+2×32+…+2×3n－1) ………………………11分

         ＝.……………………………………………13分

(19)(本小題滿分14分)

   解：(Ⅰ)∵曲線y=f (x)在點(diǎn)(0，f (0))處的切線與x軸平行，

      ∴f (0)＝0. ………………………………………………………………………………2分

      又f ′ (x)=3x2+2bx+c，則f ′ (0)＝c＝0.…………………………………………………4分

   (Ⅱ)由c＝0，方程f (x)－b2x＝0可化為x3+bx2－b2x+5＝0，

      假設(shè)存在實(shí)數(shù)b使得此方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

      令g (x)＝x3+bx2－b2x＋5，則g (x)極大值＜0或g (x)極小值＞0.

      ∴g′ (x)=3x2+2bx－b2＝(3x－b)(x＋b).

      令g′ (x)＝0，得x1＝，x2＝－b.……………………………………………………5分

  ①若b＝0，則方程f (x)－b2x＝0可化為x3＋5＝0，此方程恰有一個(gè)實(shí)根

      x＝－.………………………………………………………………………………6分

   ②若b＞0，則＞－b，列表：

x

(?∞，?b)

－b

(－b，)

(，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

 

    ∴g (x)極大值＝g(－b)＝b3+5＞0，g (x)極小值＝g ()＝－＋5.

    ∴－＋5＞0，解之得0＜b＜3. ……………………………………………………9分

　　③若b＜0，則＜－b，列表：

x

(?∞，)

(，－b)

－b

(－b，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

 

   ∴g (x)極大值＝g ()＝－＋5＞0，g (x)極小值＝g(－b)＝b3+5.

   ∴b3+5＞0，解之得b＞－.

   ∴－＜b＜0. …………………………………………………………………………12分

   綜合①②③可得，實(shí)數(shù)b的取疽范圍是(－，3).…………………………………14分

(20)(本小題滿分14分)

   解：(Ⅰ)f (x)＝x2是其定義域上的T函數(shù)，………………………………………………2分

       證明如下：

       對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)，

       有f (x1＋x2)－f (x1)－f(x2)

   ＝(x1＋x2)2－－

       ＝－(x1－x2)2＜0.

  即f (x1＋x2)＜f (x1)＋f (x2).

   ∴f(x)＝x2是其定義域上的T函數(shù).……………………………………………………4分

   (Ⅱ)假設(shè)f (x)是R上的T函數(shù)，取x1＝1，x2＝－1，

       則有f (×1+×(－1))＜f (1)＋f (－1).

   ∵f (x)是奇函數(shù)，

   ∴f (－1)＝－f (1)，f (?)＝－f().

       ∴f()＞f (1).(#)

   同理，取x1＝－1，x2＝1，可證f ()＜f (1).

   與(#)式矛盾.

   ∴f (x)不是R上的T函數(shù).……………………………………………………………9分

   (Ⅲ)對(duì)任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α＝∈[0，1].

       ∵f (x)是R上的C函數(shù)，an＝f (n)，且a0=0，am=2m，

   ∴an=f (n)=f (αx1+(1－α)x2)≤αf (x1)+(1－α)f (x2)=×2m=2n.

   那么Sf=a1+a2+…+am≤(2×(1+2+…+m)=m2+m.

   可證f (x)＝2x是C函數(shù)，且使得an＝2n (n＝0，l，2，…，m)都成立，

   此時(shí)Sf=m2+m.

   綜上所述，Sf的最大值為m2+m.………………………………………………………14分

說明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.

 

 


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