2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座五

函數(shù)、方程、不等式問題

【知識縱橫】

    函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，例求兩個函數(shù)的交點坐標，一般通過函數(shù)解析式組成的方程組來解決。又如例4復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來解決。

【典型例題】

    【例1】（天津市）已知拋物線，

（1）若，，求該拋物線與軸公共點的坐標；

（2）若，且當時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍；

（3）若，且時，對應(yīng)的；時，對應(yīng)的，試判斷當時，拋物線與軸是否有公共點？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

【思路點撥】（Ⅰ）令y=0，求方程的兩根；（2）考慮判別式；（3）由不等式及結(jié)合圖像解之。

【例2】（黃石市）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標；

（2）設(shè)直線交軸于點．在線段的垂直平分線上是否存在點，使得點到直線的距離等于點到原點的距離？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）過點作軸的垂線，交直線于點，將拋物線沿

其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點．試探究：拋

物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個

單位長度？

【思路點撥】（2）設(shè),建立關(guān)于t的方程；

（3）考慮拋物線向上平移、向下平移兩種情況。

【例3】（吉林長春）已知兩個關(guān)于的二次函數(shù)與當時，；且二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的表達式；

（3）在同一直角坐標系內(nèi)，問函數(shù)的圖象與的圖象是否有交點？請說明理由．

【思路點撥】（1）＝（y 1 + y 2）―；（2）由對稱軸的方程，求出a的值；（3）考慮方程根的判別式。

【例4】（廣西南寧）隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）

（1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

【思路點撥】：（2）設(shè)獲得的利潤是萬元，則＝＋，注意x范圍內(nèi)最值求法。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、（廣州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點.

（1）根據(jù)圖象，分別寫出A、B的坐標；

（2）求出兩函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)圖象回答：當為何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.

2、（江西省卷）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）．

（1）請寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；

（2）當時，設(shè)與軸分別交于兩點（在的左邊），

與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；

（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于兩點，直線都垂直于軸，分別經(jīng)過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點，求線段的最大值．

3、（四川自貢）拋物線的頂點為M，與軸的交點為A、B（點B在點A的右側(cè)），△ABM的三個內(nèi)角∠M、∠A、∠B所對的邊分別為m、a、b.若關(guān)

于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.

（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由.

（2）當頂點M的坐標為（－2，－1）時，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大

致圖形.

（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，

求該圓的圓心坐標.

4、（青海省卷）王亮同學(xué)善于改進學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對解題過程進行回顧反思，效果會更好．某一天他利用30分鐘時間進行自主學(xué)習(xí)．假設(shè)他用于解題的時間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖甲所示，用于回顧反思的時間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．

（1）求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量與用于解題的時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量與用于回顧反思的時間之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？

（學(xué)習(xí)收益總量解題的學(xué)習(xí)收益量回顧反思的學(xué)習(xí)收益量）