湖南省長沙市一中2009年高三第二次模擬試卷

理科數(shù)學(xué)

命題:長沙市一中高三理科備課組

時量:120分鐘 滿分:150分

一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)

1.設(shè)a + bi=(a,b∈R),則P(a,b)在(    )

A.第一象限               B.第二象限                C.第三象限               D.第四象限

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2.在某項測量中,測量結(jié)果~N(2,)(>0),若在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4,則 在(0,4)內(nèi)的概率為(   )

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A.0.8                        B.0.4                         C.0.3                        D.0.2

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3.已知函數(shù)在R上可導(dǎo),且=           (    )

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    A.                       B.                          C.-3                       D.3

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4.等差數(shù)列{an}中,Sn是其前n項和,,則的值為(    )

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A.2                           B.1                            C.                          D.3

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5.能夠使圓恰有兩個點到直線距離等于1的c的

一個值為                                                        (    )

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A.                            B.                 C.2                       D.3

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6.函數(shù)y = f (x)是圓心在原點的單位圓的兩段圓弧(如圖),則不等式f(x)>f (?x) + x的解集為(    )

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A.{x|}                

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B.{x|}

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C.{x|}                    

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D.{x|且x≠0}

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7.在直角坐標(biāo)平面上,=(1,4),=(?3,1)且在直線l上的射影長度相等,直線l的傾斜角為銳角,則l的斜率為(    )

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A.                          B.                          C.                          D.

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8.f(x)是偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù);不等式f (ax + 1)≤f (x ?2)對x∈[,1]恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(    )

A.[?2,0]                 B.[?5,0]                  C.[?5,1]               D.[?2,1]

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二、填空題(本大題共7小題,每小題5分,共35分.把答案填寫在答題卷中對應(yīng)題號的橫線上)

9.展開式中x3的系數(shù)為           

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10.為配制某種染色劑,需要加入三種有機(jī)染料,兩種無機(jī)染料和兩種添加劑,其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰,現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊,總共要進(jìn)行的試驗次數(shù)為           (用數(shù)字作答)

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11.當(dāng)x、y滿足約束條件(k為常數(shù))時,能使z = x + 3y的最大值為12的k值為        

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12.已知拋物線y2 = 16x,橢圓,則兩曲線有公共點時a的最小值為        

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13.如圖,正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G,已知△A′ED是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,現(xiàn)給出下列四個命題:

①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上;

②恒有平面A′GF⊥平面BCED;

③三棱錐A′―FED的體積有最大值;

④異面直線A′E與BD不可能垂直.

其中正確命題的序號是              

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14.對于實數(shù)x,符號[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如[]= 3,[?1.08] = ?2,定義函數(shù)f(x) = x ?[x].

(i)f(x) 的值域是      ;

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(ii)的最小正周期為      

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15.如圖所示,一個粒子在第一象限及坐標(biāo)軸上運動,在第一秒內(nèi)它從原點運動到點(0,1),然后它接著按圖所示在x軸、y軸的平行方向來回運動(即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…)且每秒移動一個單位長度.(i)粒子運動到(4,4)點時經(jīng)過了      秒;(ii)第2009秒時,粒子所處的位置為            

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三、解答題(本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16.某人隨機(jī)地將編號為1,2,3,4的四個大小相同的小球放入編號為1,2,3,4的四個型號相同的盒子中,每個盒子放一個球,當(dāng)球的編號與盒子的編號相同時叫做“放法恰當(dāng)”,否則叫做“放法不恰當(dāng)”.設(shè)放法恰當(dāng)?shù)那闆r數(shù)為隨即變量

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(Ⅰ)求的分布列;

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(Ⅱ)求的期望與方差.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.已知向量,向量,

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(Ⅰ)若,且,求實數(shù)的最小值及相應(yīng)的值;

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(Ⅱ)若,且, 求  的值.

 

 

 

 

 

 

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18.如圖,在邊長為12的正方形A1 AA′A1′中,點B、C在線段AA′上,且AB = 3,BC = 4,作BB1∥AA1,分別交A1A1′、AA1′于點B1、P;作CC1∥AA1,分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q;將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A1′ 與AA1重合,構(gòu)成如圖所示的三棱柱ABC―A1B1C1,在三棱柱ABC―A1B1C1中,

(Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1;

(Ⅱ)求面PQA與面ABC所成的銳二面角的大。

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(Ⅲ)求面APQ將三棱柱ABC―A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比.

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19.據(jù)中新網(wǎng)2009年4月9日電,日本鹿兒島縣櫻島昭和火山口當(dāng)?shù)貢r間9日下午3點31分發(fā)生中等規(guī)模爆發(fā)性噴火,鹿兒島市及周邊飛揚了大量火山灰.火山噴發(fā)停止后,為測量的需要距離噴口中心50米內(nèi)的圓環(huán)面為第1區(qū)、50米至100米的圓環(huán)面為第2區(qū)、100米至150米的圓環(huán)面為第3區(qū)、……、第50(n-1)米至50n米的圓環(huán)面為第n區(qū),……,現(xiàn)測得第1區(qū)火山灰平均每平方米為1噸、第2區(qū)每平方米的平均重量較第1區(qū)減少2%、第3區(qū)較第2區(qū)又減少2%,……,以此類推.

(Ⅰ)若第n區(qū)每平方米的重量為an千克,請寫出an的表達(dá)式;

(Ⅱ)第幾區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大?

(Ⅲ)該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量為多少萬噸(p 取3,結(jié)果精確到萬噸)?

 

 

 

 

 

 

 

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20.如圖所示,F(xiàn)1、F2是雙曲線x2 ? y2 = 1的兩個焦點,O為坐標(biāo)原點,圓O是以F­1F2為直徑的圓,直線l:y = kx + b與圓O相切,并與雙曲線交于A、B兩點.

(Ⅰ)根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式;

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(Ⅱ)當(dāng),且滿足2≤m≤4時,求△AOB面積的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

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21.設(shè)函數(shù)f (x) =(b,c∈N*),若方程f(x) = x的解為0,2,且f (?2)<?

(Ⅰ)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

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(Ⅱ)已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn?f () = 1,其中Sn為{an}的前n項和.

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求證:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

C

B

D

C

C

A

4.【解析】{an}為等差數(shù)列,則{}也為等差數(shù)列且其公差d = 1,

,∴=

5.【解析】圓方程可化為,則圓心到直線的距離,當(dāng)1<d<3時,則圓上恰有兩個點到直線的距離等于1,<|c|<,故選D.

6.【解析】y = f(x)是奇函數(shù),由f(x)>f (?x) + x得f(x)>,數(shù)形結(jié)合.

7.【解析】設(shè)l過原點,取線段AB的中點M(?1,),則OM⊥l,∴kl =

8.【解析】∵f(x)是偶函數(shù)且f(x)在[0,+∞)是增函數(shù)

∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立,x∈[,1].

∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x

 

二、填空題

9.【解析】,令有r = 2,∴

10.【解析】= 1440.

11.       【解析】求出交點代入求出k并驗證得k = ?9.

12.【解析】易求:拋物線焦點F(4,0),準(zhǔn)線L:x = ? 4.橢圓焦點F(4,0)、 F′(4,4),如圖所示.

所以F為兩曲線之公共焦點.

設(shè)兩曲線交于點A,則

所以當(dāng)H、A、F′共線時,2a有最小值,從而a也達(dá)到最小,此時,yA = yF = 4,代入y2 = 16x 得xA = 1,再以A(1,4)代入橢圓得:a2 = 16,從而a = 4.

13.【解析】①在平面A′FA內(nèi)過點A′作A′H⊥AF,垂足為H,由DE⊥AF,DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA.故DE⊥A′H,∴A′H⊥平面ABC,即A′在平面ABC上的射影在線段AF上.

②由①得;

③由①知:當(dāng)A′H與A′G重合時,三棱錐A′―FED的體積有最大值;

④用反證法:假設(shè)A′E與BD垂直,由①知A′H⊥BD,∴BD⊥面A′HE,EH⊥BD.

∴當(dāng)EH⊥BD時,可證A′E⊥BD.

故①②③正確.

14.【解析】當(dāng)n≤x<n + 1(n∈Z)時,y = f(x) = x ? n,

顯然有0≤x ? n<1,即0≤y<1,

也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x).如圖.

    答案為:[0,1);1

15.【解析】(i)20;

(ii)將粒子的運動軌跡定義為數(shù)對(i,j)

則它的運動整點可排成數(shù)表

(0,0)

(0,1) (1,1) (1,0)

(0,0) (2,1) (2,2) (1,2) (0,2)

(0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (3,2) (3,1) (3,0)

(4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4)(0,4)

通過推并可知:經(jīng)過2 = 1×2s,運動到(1,1)

經(jīng)過6 =2×3s,運動到(2,2)

經(jīng)過12 =3×4s,運動到(3,3)

∴經(jīng)過44×45 = 1980s,運動到(44,44)

       再繼續(xù)運動29s,到達(dá)點(15,44).

三、解答題

16.【解析】(1)= 0,1,2,4.                                            (1分)

P(= 4) =

P(= 2) =

P(= 1) =

P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) =                              (7分)

的分布列為

0

1

2

4

P

                                                                    (9分)

∴E=,

D= (0 ? 1)2×+ (1 ? 1)2×+(2 ? 1)2×+(4 ? 1)2×= 1               (12分)

17.【解析】(Ⅰ)∵,∴= 0,               (2分)

,                                    (4分)

又∵∈R,∴時,mmin = ?2.

,所以                                             (6分)

(Ⅱ)∵,且,∴                           (8分)

                          (10分)

                                              (12分)

18.【解析】(Ⅰ)∵AB = 3,BC = 4,∴AC = 5

∵AC2 = AB2 + BC2

∴AB⊥BC

又AB⊥BB1

且BC∩BB1 = B

∴AB⊥面BCC1B1                                                     (4分)

(Ⅱ)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系

則A(3,0,0),P(0,0,3),Q(0,4,4)

設(shè)面APQ的法向量為= (x,y,z)

= (1,?1,1)

而面ABC的法向量可以取= (0,0,1)

∴面PQA與面ABC所成的銳二面角為arccos.                        (8分)

(Ⅲ)∵BP = AB = 3,CQ = AC = 7.

∴S四邊形BCQP =

∴VA―BCQP =×20×3 = 20

又∵V=

.                                             (12分)

19.【解析】(Ⅰ)).    (2分)

(Ⅱ)設(shè)第n區(qū)內(nèi)的面積為bn平方米,

.             。4分)

則第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為

(噸)(萬噸)   (6分)

設(shè)第n區(qū)火山灰總重量最大,則

解得   ∴n =50.

即得第50區(qū)火山灰的總重量最大.                                           (9分)

(Ⅲ)設(shè)火山噴發(fā)的火山區(qū)灰總重量為S萬噸,

設(shè)

   ①

①-②得

                               (12分)

∵0<q<1,∴(萬噸)

因此該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量約為3712萬噸.                     (13分)

20.【解析】(Ⅰ)因為圓O的方程為x2 + y2 = 2,所以d =,

可得b2 = 2(k2 + 1)(k≠±1).                                           (4分)

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

,

所以,                                                 (7分)

所以=

=,

因為|AB| =×=,

O到AB的距離,                                         (11分)

  所以

=.                                    (13分)

21.(Ⅰ)【解析】

.                   。2分)

由f (?2) =

又∵b,c∈N*    ∴c = 2,b = 2

∴f (x) =.                                                (4分)

令f′(x)>0得:x<0或x>2

令f′(x)<0得:0<x<2

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,0),(2,+∞)

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(1,2).                                 (6分)

(Ⅱ)證明:由已知可得:2Sn = an ?

兩式相減得:(an + an ? 1) (an ? an ? 1+1) = 0 (n≥2)

∴an = ?an ?1或an ?an?1 = ?1                                             (7分)

當(dāng)n =1 時,2a1 = a1 ?

若an = ?an?1,則a2 = ?a1 = 1與an≠1矛盾.

(定義域要求an≠1)

∴an ? an?1 = 1,∴an = ?n.                                             (8分)

要證的不等式轉(zhuǎn)化為

先證不等式

令g (x) = x ?ln(1 + x),h(x) = ln(x +1) ?                                (10分)

則g′(x) =,h′(x) =

∵x>0   ∴g′(x)>0,h′(x)>0

∴g (x), h(x)在(0,+∞)上

∴g (x)>g (0) = 0,h(x)>h(0) = 0                                        (12分)

,即.                         (13分)

 

 


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