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2009年高考數(shù)學難點突破之集合思想及應用

集合是高中數(shù)學的基本知識，為歷年必考內容之一，主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用.本節(jié)主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用.

●難點磁場

(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x²+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實數(shù)m的取值范圍.

●案例探究

［例1］設A={(x,y)|y²－x－1=0},B={(x,y)|4x²+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結論.

命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題.屬★★★★★級題目.

知識依托：解決此題的閃光點是將條件(A∪B)∩C=轉化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了.

錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質內涵，因而可能感覺無從下手.

技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進而可得值.

解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=

∵ ∴k²x²+(2bk－1)x+b²－1=0

∵A∩C=

∴Δ₁=(2bk－1)²－4k²(b²－1)<0

∴4k²－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b²－16>0,即b²>1 ①

∵

∴4x²+(2－2k)x+(5+2b)=0

∵B∩C=,∴Δ₂=(1－k)²－4(5－2b)<0

∴k²－2k+8b－19<0,從而8b<20,即b<2.5 ②

由①②及b∈N,得b=2代入由Δ₁<0和Δ₂<0組成的不等式組，得

∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.

［例2］向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？

命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握.本題主要強化學生的這種能力.屬★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.

錯解分析：本題難點在于所給的數(shù)量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索.

技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關系間的聯(lián)系.

解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B.

設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x.

依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.

所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人.

●錦囊妙計

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結合直觀地解決問題.

2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時應分類討論.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},則( )

試題詳情

A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=

試題詳情

2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，則( )

A.－3≤m≤4 B.－3<m<4

C.2<m<4 D.2<m≤4

試題詳情

二、填空題

3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax²－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是_________.

試題詳情

4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x²+y²=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},當A∩B只有一個元素時，a,b的關系式是_________.

試題詳情

三、解答題

5.(★★★★★)集合A={x|x²－ax+a²－19=0},B={x|log₂(x²－5x+8)=1}，C={x|x²+2x－8=0},求當a取什么實數(shù)時，A∩B 和A∩C=同時成立.

試題詳情

6.(★★★★★)已知{a_n}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數(shù)，它的前n項和記作S_n,設集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)| x²－y²=1,x,y∈R}.

試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明.

(1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；

(2)A∩B至多有一個元素；

試題詳情

(3)當a₁≠0時，一定有A∩B≠.

試題詳情

7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},當A∩B=B時，求b的值.

試題詳情

8.(★★★★)設f(x)=x²+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.

試題詳情

(1)求證：AB;

(2)如果A={－1，3}，求B.

試題詳情

難點磁場

解：由得x²+(m－1)x+1=0 ①

∵A∩B≠

∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個實數(shù)解.

首先，由Δ=(m－1)²－4≥0,得m≥3或m≤－1,當m≥3時，由x₁+x₂=－(m－1)＜0及x₁x₂=1>0知，方程①只有負根，不符合要求.

當m≤－1時，由x₁+x₂=－(m－1)>0及x₁x₂=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1］內，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［0，2］內.

故所求m的取值范圍是m≤－1.

殲滅難點訓練

一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=

nπ+,n∈Z},對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.

答案：C

2.解析：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,

∴即2＜m≤4.

答案：D

二、3.a=0或a≥

4.解析：由A∩B只有1個交點知，圓x²+y²=1與直線=1相切，則1=,即ab=.

答案：ab=

三、5.解：log₂(x²－5x+8)=1,由此得x²－5x+8=2，∴B={2,3}.由x²+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是關于x的方程x²－ax+a²－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠,

∴3是關于x的方程x²－ax+a²－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.

當a=5時，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；當a=－2時，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2.

6.解：(1)正確.在等差數(shù)列{a_n}中，S_n=,則(a₁+a_n),這表明點(a_n,）的坐標適合方程y(x+a₁),于是點(a_n, )均在直線y=x+a₁上.

(2)正確.設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，當a₁=0時，方程(^*)無解，此時A∩B=；當a₁≠0時，方程(^*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解.

∴A∩B至多有一個元素.

(3）不正確.取a₁=1,d=1,對一切的x∈N^*,有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a₁=1≠0.如果A∩B≠,那么據(jù)(2）的結論，A∩B中至多有一個元素(x₀,y₀）,而x₀=＜0,y₀=＜0,這樣的(x₀,y₀）A,產生矛盾，故a₁=1,d=1時A∩B=，所以a₁≠0時，一定有A∩B≠是不正確的.