解:取與取是同一種取法.分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)為兩加數(shù)的奇偶性,第一類(lèi),偶偶相加,由分步計(jì)數(shù)原理得(10×9)/2=45種取法,第二類(lèi),奇奇相加,也有(10×9)/2=45種取法.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有45+45=90種不同取法.

例2 在1～20共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其和大于20的不同取法共有多少種?

解:分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一,固定小加數(shù).小加數(shù)為1時(shí),大加數(shù)只有20這1種取法;小加數(shù)為2時(shí),大加數(shù)有19或20兩種取法;小加數(shù)為3時(shí),大加數(shù)為18,19或20共3種取法…小加數(shù)為10時(shí),大加數(shù)為11,12,…,20共10種取法;小加數(shù)為11時(shí),大加數(shù)有9種取法…小加數(shù)取19時(shí),大加數(shù)有1種取法.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100種.

分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)二:固定和的值.有和為21,22,…,39這幾類(lèi),依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1種.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100種.

例3 如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()

     A. 180    B. 160    C. 96    D. 60

若變?yōu)閳D二,圖三呢?(240種,5×4×4×4=320種)

例4 如下圖,共有多少個(gè)不同的三角形?

解:所有不同的三角形可分為三類(lèi)”

第一類(lèi):其中有兩條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5個(gè)

第二類(lèi):其中有且只有一條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5×4=20個(gè)

第三類(lèi):沒(méi)有一條邊是原五邊形的邊,即由五條對(duì)角線(xiàn)圍成的三角形,共有5+5=10個(gè)

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得,不同的三角形共有5+20+10=35個(gè).

例5 75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)?

解:75600的約數(shù)就是能整除75600的整數(shù),所以本題就是分別求能整除75600的整數(shù)和奇約數(shù)的個(gè)數(shù).  

由于 75600=2⁴×3³×5²×7

(1) 75600的每個(gè)約數(shù)都可以寫(xiě)成的形式,其中,,,

于是,要確定75600的一個(gè)約數(shù),可分四步完成,即分別在各自的范圍內(nèi)任取一個(gè)值,這樣有5種取法,有4種取法,有3種取法,有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得約數(shù)的個(gè)數(shù)為5×4×3×2=120個(gè).

(2)奇約數(shù)中步不含有2的因數(shù),因此75600的每個(gè)奇約數(shù)都可以寫(xiě)成的形式,同上奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為4×3×2=24個(gè).

1.用1,2,3,4,5可組成多少個(gè)三位數(shù)?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))

2.用數(shù)字1,2,3可寫(xiě)出多少個(gè)小于1000的正整數(shù)? (各位上的數(shù)字允許重復(fù))

3.集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,問(wèn)A到B的不同映射f共有多少個(gè)?B到A的映射g共有多少個(gè)?

4.將3封信投入4個(gè)不同的郵筒的投法共有多少種?

5. 4名學(xué)生從3個(gè)不同的樓梯下樓的方法數(shù).

6. 4名學(xué)生分配到3個(gè)車(chē)間去勞動(dòng),共有多少中不同的分配方案?

7. 求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的個(gè)數(shù)

答案：1. 5×5×5×5=625   2. 3+3²+3³=39   3. 3⁵,5³  4. 4³  5. 3⁴  6.  3⁴ 

 7. 在集合｛1,2,3,4,5｝的子集中,每個(gè)元素都只有出現(xiàn)和不出現(xiàn)這2種可能,所以這個(gè)集合的子集的個(gè)數(shù)為2×2×2×2×2=2⁵=32個(gè).

五、課后作業(yè)： 

1．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，
（1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？
（2）可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？
（3）可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位數(shù)的奇數(shù)？
（4）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？
（5）可以組成多少個(gè)大于3000，小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)？
 解（1）分三步：①先選百位數(shù)字．由于0不能作百位數(shù)，因此有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；
 ③個(gè)位數(shù)字有4種選法．由乘法原理知所求不同三位數(shù)共有5×5×4=100個(gè)．
（2）分三步：(1)百位數(shù)字有5種選法；(ii)十位數(shù)字有6位選法；(iii)個(gè)位數(shù)字有6種選法．
  所求三位數(shù)共有5×6×6=180個(gè)．
（3）分三步：①先選個(gè)位數(shù)字，有3種選法；②再選百位數(shù)字，有4種選法；③選十位數(shù)字也是4 
  種選法，所求三位奇數(shù)共有3×4×4=48個(gè)．
（4）分三類(lèi)：①一位數(shù)，共有6個(gè)；②兩位數(shù)，共有5×5=25個(gè)；③三位數(shù)共有5×5×4=100個(gè)．
 因此，比1000小的自然數(shù)共有6+25+100=131個(gè)．
（5）分4類(lèi)：①千位數(shù)字為3，4之一時(shí)，共有2×5×4×3=120個(gè)；②千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為 
 0，1，2，3之一時(shí)，共有4×4×3=48個(gè)；③千位數(shù)字是5，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字為0，1之一
 時(shí)，共有2×3=6個(gè)；④還有5420也是滿(mǎn)條件的1個(gè)．故所求自然數(shù)共120+48+6+1=175個(gè)．
說(shuō)明：⑴排數(shù)字問(wèn)題是最常見(jiàn)的一種類(lèi)型，要特別注意首位不能排0．

⑵第（5）題改成：可以組成多少個(gè)大于3000，小于5421的四位數(shù)？

答案：2*6*6*6+4*6*6+2*6+1=589個(gè)

2．求下列集合的元素個(gè)數(shù)．
（1）；
（2）．
解：(1)分7類(lèi)：①，有7種取法；②，有6種取法； ③，有5種取法； ④，有4種取法； ⑤，有3種取法； ⑥，有2種取法；⑦，只有1種取法因此共有個(gè)元素
(2)分兩步：①先選，有4種可能；②再選有5種可能．由乘法原理，共有個(gè)元素

3．有四位同學(xué)參加三項(xiàng)不同的比賽，

（1）每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，有多少種不同的結(jié)果？

（2）每項(xiàng)競(jìng)賽只許一位學(xué)生參加，有多少種不同的結(jié)果？

解：（1）每位學(xué)生有三種選擇，四位學(xué)生共有參賽方法：種；

（2）每項(xiàng)競(jìng)賽被選擇的方法有四種，三項(xiàng)競(jìng)賽共有參賽方法：種.

4．①設(shè)，，從到共有多少個(gè)不同映射？
②6個(gè)人分到3個(gè)車(chē)間，共有多少種分法？
解：（1)分6步：先選的象，有3種可能，再選的象也是3種可能，…，選象也有3種可能， 由乘法原理知，共有種不同映射；
(2)把6個(gè)人構(gòu)成的集合，看成上面(1)中之，3個(gè)車(chē)間構(gòu)成的集合，看成上面的， 因此，所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為映射問(wèn)題，如上題所述，共有種方案
5.甲、乙、丙、丁四個(gè)人各寫(xiě)一張賀卡,放在一起,再各取一張不是自己所寫(xiě)的賀卡,共有多少種不同的取法?
解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9種,或種．

六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

七、課后記：