的分布列為

　　…………………………（12分）

15、(黑龍江哈爾濱三中2008年12月高三月考)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球和若干個(gè)黑球（球的大小均相同），從中任取2個(gè)球，設(shè)每取得一個(gè)黑球得0分，每取得一個(gè)白球得1分，每取得一個(gè)紅球得2分，已知得0分的概率為．

（1）求袋中黑球的個(gè)數(shù)及得2分的概率；

（2）設(shè)所得分?jǐn)?shù)為．

解：（1）設(shè)黑球x個(gè)，則，解得x=4……………………………………4分

………………………………………………………………6分

（2）可取0,1,2,3,4

                      ……………………12分

16、(湖北黃陂一中2009屆高三數(shù)學(xué)綜合檢測(cè)試題)甲，乙兩人進(jìn)行乒兵球比賽，在每一局比賽中，甲獲勝的概率為。

 (1)如果甲，乙兩人共比賽局，甲恰好負(fù)局的概率不大于其恰好勝局的概率，試求的取值范圍；

 (2)若，當(dāng)采用局勝制的比賽規(guī)則時(shí)，求甲獲勝的概率；

 (3)如果甲，乙兩人比賽局，那么甲恰好勝局的概率可能是嗎？

解：設(shè)每一局比賽甲獲勝的概率為事件A，則

   (1)由題意知…………………………………………2分

    即解得P＝0或…………………………………4分

   (2)甲獲勝，則有比賽2局，甲全勝，或比賽3局，前2局甲勝1局，第3局甲勝，故

    ……………………………………………………8分

   (3)設(shè)“比賽6局，甲恰好勝3局”為事件C  則P(C)＝………9分

    當(dāng)P＝0或P＝1時(shí)，顯然有…………………………………………………10分

    又當(dāng)0＜P＜1時(shí)，

    …………………………11分

故甲恰好勝3局的概率不可能是.……………………………………………………12分

17、(甘肅省蘭州一中2008―2009高三上學(xué)期第三次月考)一袋中裝有6張同樣的卡片，上面分別標(biāo)出1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3張卡片，以ξ表示取出的卡片中的最大標(biāo)號(hào)。

   （I）求ξ的分布列；

   （II）求Eξ。

解：（I）ξ的可能取值為3，4，5，6，                    …………1分

       …………9分

所以ξ的分布列為

ξ

3

4

5

6

P

0.05

0.15

0.3

0.5

                                                        …………10分

   （II）Eξ=0.05×3+0.15×4+0.3×5+0.5×6=5.25             …………12分

18、(廣東省廣州市2008-2009學(xué)年高三第一學(xué)期中段學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè))某商場(chǎng)準(zhǔn)備在國(guó)慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,該商場(chǎng)決定從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng).

(Ⅰ)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率;

(Ⅱ)商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售,即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元,同時(shí),若顧客購(gòu)買該商品,則允許有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì),若中獎(jiǎng),則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為的獎(jiǎng)金.假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是,請(qǐng)問:商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元,才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利?

解: (Ⅰ)從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品一共有種選法,.選出的3種商品中沒有日用商品的選法有種, 所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為.……4分

(Ⅱ)顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量,設(shè)為X,其所有可能值為0, ,2,3.……6分

X=0時(shí)表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒有獲獎(jiǎng),所以……7分

同理可得……8分

……9分

……10分

于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是.……12分

要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利,應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額,因此應(yīng)有,所以, …… 13分

故商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為100元,才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利. …… 14分

19、(四川省成都市高2009屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè))某果園要將一批水果用汽車從所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運(yùn)費(fèi)由果園承擔(dān).

如果果園恰能在約定日期(×月×日)將水果送到，則銷售商一次性支付給果園20萬(wàn)元，若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給果園1萬(wàn)元；若在約定日期后送到，每遲到一天，銷售商將少支付給果園1萬(wàn)元.

為保證水果新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中一條公路運(yùn)送水果，已知下表內(nèi)的信息

          統(tǒng)計(jì)信息

汽車行駛路線

不堵車的情況下到達(dá)

城市乙所需時(shí)間(天)

堵車的情況下到達(dá)

城市乙所需時(shí)間(天)

堵車的

概率

運(yùn)費(fèi)

(萬(wàn)元)

公路1

2

3

1.6

公路2

1

4

0.8

(1)記汽車走公路1是果園獲得的毛利潤(rùn)為ξ(萬(wàn)元)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
(2)假設(shè)你是果園的決策者，你選擇哪條公路運(yùn)送水果有可能讓果園獲得的毛利潤(rùn)更多？
(注：毛利潤(rùn)＝銷售商支付給果園的費(fèi)用－運(yùn)費(fèi)).
解：(1)汽車走公路1時(shí)，不堵車時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)ξ＝20－1.6＝18.4萬(wàn)元
堵車時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)ξ＝20－1.6－1＝17.4萬(wàn)元
∴汽車走公路1是果園獲得的毛利潤(rùn)ξ的分布列為

ξ

18.4

17.4

P

                                                                ……3'
∴Eξ＝18.4×＋17.4×＝18.3萬(wàn)元                             ……5'
(2)設(shè)汽車走公路2時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)為η
不堵車時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)η＝20－0.8＋1＝20.2萬(wàn)元
堵車時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)η＝20－0.8－2＝17.2萬(wàn)元
∴汽車走公路1時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)ξ的分布列為

η

20.2

17.2

P

                                                                ……8'
∴Eη＝20.2×＋17.2×＝18.7萬(wàn)元                              ……10'
∵Eξ＜Eη
∴應(yīng)選擇公路2運(yùn)送水果有可能使得果園獲得的毛利潤(rùn)更多.           ……12'

20、(湖南省衡陽(yáng)市八中2009屆高三第三次月考試題)2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮�，F(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數(shù)量

1

2

3

1

1

    從中隨機(jī)地選取5只。

   （1）求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率；

   （2）若完整地選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推。設(shè)ξ表示所得的分?jǐn)?shù)，求ξ的分布列和期望值。

解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率

   （2）

       ξ的分布列為：

ξ

100

80

60

40

P

21、(廣東省高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；

（2）取到的2只中正品、次品各一只；

（3）取到的2只中至少有一只正品。

解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有6²=36種不同取法……………　2分

   （1）取到的2只都是次品情況為2²=4種，因而所求概率為…………4分

（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率為　…………8分

�。�3）由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對(duì)立事件，因而所求概率為　　　　…………12分

22、(2009年廣東省廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收．

抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查（取出的產(chǎn)品不放回箱子），若前三次沒有抽查到次品，

則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品.

（1）求這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率；

（2）記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解：（1）設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，.             ……3分

即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為．                                  ……4分

（2）的可能取值為1，2，3．                                            ……5分

=，                                                

=，                                            

=，                                            ……8分

∴的概率分布列為：

1

2

3

                 ……10分

∴=．                             ……12分

23、(廣西桂林十八中06級(jí)高三第二次月考)甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽: 第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求：

（1）打滿3局比賽還未停止的概率；

（2）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E.

解：令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.

　　　�。á瘢┯瑟�(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為

…………………………4分

　　　�。á颍�的所有可能值為2，3，4，5，6，且……………………………5分

　　　　　　　……9分

          　　　故有分布列

2

3

4

5

6

P

..............10分

 從而（局）……..12分

24、(河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008-2009學(xué)年高三第一次月考)某汽車駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前，對(duì)學(xué)員的駕駛技術(shù)進(jìn)行4次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核。若學(xué)員小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格的概率不超過，且他直到參加第二次考核才合格的概率為。

（1）求小李第一次參加考核就合格的概率；

（2）求小李參加考核的次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解：（1）根據(jù)題意，得 ，解得或．

∵，∴，即小李第一次參加考核就合格的概率為………（5分）

（2）由（1）的結(jié)論知，小李四次考核每次合格的概率依次為，

∴，，……（8分）

    ………………………………（10分）

∴小李參加測(cè)試的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

………（12分）

25、(廣東省湛江師范學(xué)院附中2009年高考模擬試題)某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件.這種零件有A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響.若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為．按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品.

（Ⅰ）求一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率是多少？

（Ⅱ）任意依次抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求其中至多3個(gè)零件是合格品的概率是多少？

（Ⅲ）任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求.

解：（Ⅰ）設(shè)、兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為、            …………2分

由題意得：                                     …………5分

解得：或，∴.  

即，一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率為.                            …………7分

（Ⅱ）任意抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢查，其中至多3個(gè)零件是合格品的概率為

                                     …………10分

（Ⅲ）依題意知～B(4,)，.                         …………13分

26、(廣東省湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽。

   （Ⅰ）所選3人中至少有1名女生的概率；

   （Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中的女生人數(shù)。寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望。

（Ⅰ）解：設(shè)所選三人中至少有1名女生的事件為A …………1分

P(A)= …………4分

（Ⅱ）ξ可能取的值為0，1，2，  …………5分

P（ξ=k）=   k=0，1，2  …………8分

ξ的分布列為

ξ   0    1    2

P              …………10分

∴Eξ=   ……………………12分

27、(福建省莆田第四中學(xué)2009屆第二次月考)甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，

  （I）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；

  （II）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；

  （III）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．

解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，

ξ的概率分布如下表：

ξ

0

1

2

3

P

Eξ＝, （或Eξ=3?=1.5）；

  （II）乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1－=；

  （III）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B₁，甲恰擊中目標(biāo) 3次且乙恰擊中目標(biāo) 1次為事件B₂，則A＝B₁＋B₂，B₁，B₂為互斥事件．

  所以，甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為.

28、(湖北省百所重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮�，F(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數(shù)量

1

2

3

1

1

    從中隨機(jī)地選取5只。

   （1）求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率；

   （2）若完整地選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推。設(shè)ξ表示所得的分?jǐn)?shù)，求ξ的分布列和期望值。

解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率

                                ………………4分

   （2）                           ………………5分

                             ………………9分

ξ的分布列為

ξ

100

80

60

40

P

                                                      ………………11分

                          ………………13分

29、(江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)2009屆高三上期段考)連續(xù)投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，10次中出現(xiàn)正面的次數(shù)記為.

(1)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；

(2)求10次投擲中出現(xiàn)正面次數(shù)多于出現(xiàn)背面次數(shù)的概率.

解：（1）由題意可知，故；

（2）,     答：略.

30、(四川省萬(wàn)源市第三中學(xué)高2009級(jí)測(cè)試)2008年5月12日四川省汶川發(fā)生8．0級(jí)地震，通往災(zāi)區(qū)的道路全部中斷。5月12日晚，抗震救災(zāi)指揮部決定從水路（一支隊(duì)伍）．陸路（東南西北四個(gè)方向各一支隊(duì)伍）．空中（一支隊(duì)伍）同時(shí)向?yàn)?zāi)區(qū)挺進(jìn)。已知在5月13日，從水路抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率是，從空中抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率是，從陸路每個(gè)方向抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率都是．（Ⅰ）求在5月13日從水路或空中有隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)（即從水路和空中至少有一支隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)）的概率；（Ⅱ）求在5月13日至少有4支隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)的期望。

解（Ⅰ）設(shè)“隊(duì)伍從水路抵達(dá)災(zāi)區(qū)”為事件A，“隊(duì)伍從空中抵達(dá)災(zāi)區(qū)”為事件B，

∴5月13日從水路或空中抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率為

      ――――――――――5分

答：5月13日從水路或空中有隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率為。    ――――――――――6分

（Ⅱ）設(shè)5月13日抵達(dá)災(zāi)區(qū)的隊(duì)伍數(shù)為，則

,          ――――――――――7分

,                 ――――――――――8分

,                                  ――――――――――9分

∴．             ――――――――――11分

答：5月13日至少有4支隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)的期望為。 ――――――――――12分

31、(天津市漢沽一中2008~2008學(xué)年度第五次月考)學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且．

(I) 求文娛隊(duì)的人數(shù)；

(II) 寫出的概率分布列并計(jì)算．

解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是

（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．           ……………………………………5分

故文娛隊(duì)共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列為

0

1

2

P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴ =1．   …………………………13分

32、(湖北省武漢市第四十九中學(xué)2009屆高三年級(jí)十月月考)盒中有大小相同的10個(gè)球，其中標(biāo)號(hào)為1的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球4個(gè)，標(biāo)號(hào)為 5的球3個(gè)，第一次從盒中任取一個(gè)球，放回后第二次再任取一球（假設(shè)取到每球的可能性都相等），記第一次與第二次取到球的標(biāo)號(hào)之和為。

（1）求隨機(jī)變量的分布列；

（2）求E

解：（1）

ξ

2

3

4

6

7

10

P

……9分

（2） ………12分

33、(山西省太原五中2008―2009學(xué)年度高三上學(xué)期10月月考)某項(xiàng)選拔共有兩輪考核.第一輪筆試，設(shè)有五道選擇題，每題答對(duì)得20分，答錯(cuò)或不答得0分，總分達(dá)到60分者進(jìn)入第二輪考核，否則即被淘汰；第二輪面試，面試成績(jī)服從正態(tài)分布，兩輪總分達(dá)到150分及以上者即被錄用.已知某選手能正確回答第一輪的每一道題的概率都是，且兩輪中的各題能否正確回答互不影響，求該選手：

（I）筆試成績(jī)?chǔ)蔚姆植剂信c數(shù)學(xué)期望；

（II）被錄用的概率（參考數(shù)據(jù)：在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中）

18．解（I）（k=0，1，2，3，4，5）

分布列：（算對(duì)一個(gè)概率給1分）

0

20

40

60

80

100

P

數(shù)學(xué)期望為………………………6分

（II）∵面試成績(jī)?chǔ)欠�從正態(tài)分布，兩輪總分達(dá)到150分者即被錄用.

∴被錄用的概率為

P(ξ=60)?P(η≥90) + P(ξ=80)?P(η≥70)+P(ξ=100)?P(η≥50) …………………9分

=[1-φ(3)]+ [1-φ(1)]+ [1-φ(-1)] …………………11分

=

 被錄用的概率為…………………12分

34、(四川省成都七中2009屆高三零診模擬考試)某人上樓梯,每步上一階的概率為,每步上二階的概率,設(shè)該人從臺(tái)階下的平臺(tái)開始出發(fā),到達(dá)第n階的概率為P_n.

                       (I)         求P₂;

                   (II)         該人共走了5,求該人這5步共上的階數(shù)x的數(shù)學(xué)期望.

解:(Ⅰ)P₂=´+=                                         6分

(Ⅱ)該人共走五步,共上的階數(shù)x取值為5,6,7,8,9,10,的分布列為:

x

5

6

7

8

9

10

p

()⁵

()()⁴

()²()³

()³()²

()⁴()

()⁵

Ex=                                      6分

35、(四川省成都市新都一中高2009級(jí)數(shù)學(xué)理科12月考試題)高三（1）班的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知，某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為，該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，

（Ⅰ）第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），求他們的實(shí)驗(yàn)至少有3次成功的概率；

（Ⅱ）第二小組做了若干次發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），如果在一次實(shí)驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則將繼續(xù)進(jìn)行下次實(shí)驗(yàn)，直到種子發(fā)芽成功為止，但發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5次，求第二小組所做種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的概率分布列和期望

解：（I）該事件為5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生3次或4次或5次

    ∴P=P₅(3)+P₅(4)+P₅(5)  =  …6分          

（II）的可能取值分別為1，2，3，4，5   ………7分

分布列如下：

1

2

3

4

5

P

……10分

E=      …………12分

36、(四川省綿陽(yáng)市高中2009級(jí)第二次診斷性考試)在2008年北京奧運(yùn)會(huì)羽毛球女單決賽中，中國(guó)運(yùn)動(dòng)員張寧以2∶1力克隊(duì)友謝杏芳，蟬聯(lián)奧運(yùn)會(huì)女單冠軍.羽毛球比賽按“三局兩勝制”的規(guī)則進(jìn)行(即先勝兩局的選手獲勝，比三結(jié)束)，且各局之間互不影響.根據(jù)兩人以往的交戰(zhàn)成績(jī)分析，謝杏芳在前兩局的比賽中每局獲勝的概率是0.6，但張寧在前兩局戰(zhàn)成1∶1的情況下，在第三局中憑借過硬的心理素質(zhì)，獲勝的概率為0.6，若張寧與謝杏芳在下次比賽中相遇.
(1)求張寧以2∶1獲勝的概率；
(2)設(shè)張寧的凈勝局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列及Eξ.
解：(1)張寧以2∶1獲勝，意味著前兩局戰(zhàn)成1∶1，第三局張寧勝.
P(1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288
(2)ξ的所有可能值為－2，－1，1，2，
P(ξ＝－2)＝0.6×0.6＝0.36，
P(ξ＝－1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.192，
P(ξ＝1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288，
P(ξ＝2)＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16，
∴ξ的分布列為

ξ

－2

－1

1

2

P

0.36

0.192

0.288

0.16

    ∴Eξ＝－2×0.36＋(－1)×0.192＋1×0.288＋2×0.16＝－0.304           12'

37、(蒼山誠(chéng)信中學(xué)?理科)已知10件產(chǎn)品中有3件是次品.

    （I）任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，求其中至少有1件是次品的概率；

    （II）為了保證使3件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過0.6，最少應(yīng)抽取幾件產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

(解)（1）任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，全部是正品的概率為…………3分

至少有一件是次品的概率為……………………6分

（2）設(shè)抽取n件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則3件次品全部檢驗(yàn)出的概率為………8分

由

整理得：，……………………10分

   ∴當(dāng)n=9或n=10時(shí)上式成立.…………11分

答：任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，其中至少有1件是次品的概率為為了保證使3件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過0.6，最少應(yīng)抽取9件產(chǎn)品作檢驗(yàn).………………12分

38、(臨沂一中?理科)在2006年多哈亞運(yùn)會(huì)中，中國(guó)女排與日本女排以“五局三勝”制進(jìn)行決賽，根據(jù)以往戰(zhàn)況，中國(guó)女排每一局贏的概率為.已知比賽中，第一局日本女排先勝一局，在這個(gè)條件下，

   （Ⅰ）求中國(guó)女排取勝的概率；

（Ⅱ）設(shè)決賽中比賽總的局?jǐn)?shù)為，求的分布列及.（兩問均用分?jǐn)?shù)作答）

(解)（Ⅰ）解：中國(guó)女排取勝的情況有兩種：

     ①中國(guó)女排連勝三局;

②中國(guó)女排在第2局到第4局中贏兩局，且第5局贏.……………………2分

         故中國(guó)女排取勝的概率為

          …………………………………………………4分                                                                                                  

故所求概率為………………………………………………………………5分                                                     

（Ⅱ）比賽局?jǐn)?shù)

      則

       ………………8分

       的分布列為:

3

4

5

P

……………………10分

    .……………………………………………12分 

39、(臨沂高新區(qū)?理科)甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的．

    （1）如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是4小時(shí)，求它們中的任何一條船 不需要等等碼頭空出的概率；

    （2）如果甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間是2小時(shí)，求它們中的任何一條船 不需要等待碼頭空出的概率．

(解)（1）設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為x、y，則O≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4

作出區(qū)域      4分

設(shè)“兩船無(wú)需等待碼頭空出”為事件A，則

P（A）＝        6分

（2）當(dāng)甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2．                 8分

設(shè)在上述條件時(shí)“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域．

          10分

P（B）＝12分

40、(重慶市萬(wàn)州區(qū)2009級(jí)高三第一次診斷性試題)2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數(shù)量

1

1

1

2

3

 從中隨機(jī)地選取5只.

（I）求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率；

（II）若完整地選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記10分；若選出的5只中僅差一種記8分；差兩種記6分；以此類推. 設(shè)ξ表示所得的分?jǐn)?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率

                         ………………5分

（Ⅱ）                      …………………6分           

                                   …………10分

ξ的分布列為：

ξ

10

8

6

4

P

                       …………13分

41、(廣東省汕頭市潮南區(qū)08－09學(xué)年度第一學(xué)期期末高三級(jí)質(zhì)檢)把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，給定方程組

（1）       試求方程組只有一解的概率；

（2）       求方程組只有正數(shù)解（x>0,y>0）的概率。

解：（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解.因的可能情況為三種情況………………………………3分

        而先后兩次投擲骰子的總事件數(shù)是36種，所以方程組有唯一解的概率

          ……………………………………………………………………6分

（2）因?yàn)榉匠探M只有正數(shù)解，所以兩直線的交點(diǎn)在第一象限，由它們的圖像可知

          ………………………………………………………………9分

解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程組只有正數(shù)解的概率………………………………………………………………………13分

42、(重慶奉節(jié)長(zhǎng)龍中學(xué)2009年高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷二)兩個(gè)人射擊，甲射擊一次中靶概率是p₁，乙射擊一次中靶概率是p₂，已知 , 是方程x²－5x + 6 = 0

的根，若兩人各射擊5次，甲的方差是 ．

(1) 求 p₁、p₂的值；

(2) 兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目的，則完成目的的概率是多少？

(3) 兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的，則完成目的的概率是多少？

解析：(1) 由題意可知 x_甲 ~ B(5, p₁)，

∴    Dx_甲 = 5p₁ (1－p₁) = Þ p₁²－p₁ + = 0 Þ p₁ = ．2分；又 ?= 6，∴ p₂ = ．  3分

(2) 兩類情況：共擊中3次概率

C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ¹ ( ) ¹ + C ( ) ¹ ( ) ¹×C ( ) ² ( ) ⁰ = ；

共擊中4次概率C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ² ( ) ⁰ = ． 6分

所求概率為 + = ．  8分

(3) 設(shè)事件A, B分別表示甲、乙能擊中．∵ A, B互相獨(dú)立（9分），∴ P(`A?`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1－P(A) )(1－P(B) ) = (1－p₁)(1－p₂) = ×= （11分），∴ 1－P(`A?`B ) = 為所求概率． 12分

評(píng)析：這一類型的試題在連續(xù)幾年的新課程卷都出現(xiàn)了，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了《考試說明》所要求的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．該題仍然是常規(guī)題，要求考生耐心細(xì)致，審題能力較強(qiáng)，并善于利用材料進(jìn)行分析說明．

43、（浙江省杭州市2009）19．（本題14分）設(shè)集合，，．用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)），若．

（1）求方程有實(shí)根的概率；

（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解：（1）∵

當(dāng)時(shí)，；                      　　      --- 2分

當(dāng)時(shí)，．基本事件總數(shù)為14．  　    --- 3分

記“方程有實(shí)根”為事件A，

若使方程有實(shí)根，則，即，共6種．　  --- 2分

∴．                           　　     --- 2分

（2）的分布列

0

1

2

P

--- 3分

.                      　　　　          　 --- 2分

44、（溫州市部分省重點(diǎn)中學(xué)2009理）

     在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中,武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是.

（Ⅰ）求油罐被引爆的概率;

（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為.

求的分布列及.( 結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)

解:

ξ

2

3

4

5

P

45、（溫州市部分省重點(diǎn)中學(xué)2009）

現(xiàn)有8名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者，其中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，物理成績(jī)優(yōu)秀，化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽．

（Ⅰ）求被選中的概率；

（Ⅱ）求和不全被選中的概率．

解：（Ⅰ）從8人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，

其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間

{，，

，，，

，，，

}

由18個(gè)基本事件組成．由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等，

因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．

用表示“恰被選中”這一事件，則

{，，， ，，，，，}

事件由9個(gè)基本事件組成，因而．………………7分

（Ⅱ）用表示“不全被選中”這一事件，

則其對(duì)立事件表示“全被選中”這一事件，

由于{}，事件有2個(gè)基本事件組成，

所以，

由對(duì)立事件的概率公式得．………………14分

46、（浙江省嘉興市理）

    一袋中有m(m∈N^*)個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)自球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球．

   （Ⅰ）當(dāng)m=4時(shí)，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率；

   （Ⅱ）當(dāng)m=3時(shí)，設(shè)ξ表示取出的2個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

   （Ⅲ）如果取出的2個(gè)球顏色不相同的概率小于，求m的最小值．

解：(1)設(shè)“取出的2個(gè)球顏色相同”為事件A

       P(A)=                            4(分)

(2)

ξ

0

1

2

P

    7(分)

Eξ=0×+1×+2×=                           9分

(3)設(shè)“取出的2個(gè)球中顏色不相同”為事件B，則

P(B)=                     11分

     ∴x²-6x+2>0

    ∴x>3+或x<3-，x的最小值為6．                14分

47、（寧波市理）（本題14分）在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為，，的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為、，記．

（1）求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（2）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（Ⅰ）、可能的取值為、、，

，，

，且當(dāng)或時(shí)，．   …………4分

因此，隨機(jī)變量的最大值為．

有放回抽兩張卡片的所有情況有種，

．        …………………………………………7分

（Ⅱ）的所有取值為．…………………………………8分

時(shí)，只有這一種情況，

 時(shí)，有或或或四種情況，

時(shí)，有或兩種情況．

，，．      …………11分

則隨機(jī)變量的分布列為：

………………………………………………………………12分

因此，數(shù)學(xué)期望．…………14分

48、（臺(tái)州市2008學(xué)年第一學(xué)期理）（本題滿分14分）某商場(chǎng)在七月初七舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，要求一男一女參加抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回. 若1人摸出一個(gè)紅球得獎(jiǎng)金10元，1人摸出2個(gè)紅球得獎(jiǎng)金50元. 規(guī)定:一對(duì)男女中男的摸一次，女的摸二次.令表示兩人所得獎(jiǎng)金總額.

（1）求=20時(shí)的概率;

（2）求的數(shù)學(xué)期望.

對(duì)應(yīng)的事件為：男的摸到紅球且女的一次摸到紅球，

               ………………5分

0

10

20

50

60

P

=16.8

49、（浙江省09年高考省教研室第一次抽樣測(cè)試數(shù)學(xué)試題（理））甲從裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一張，乙從裝有編號(hào)為2，4的卡片的箱子中任意取一張，用，分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字.（1）求概率）；（2）記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

解析：（1）記“”為事件A， （）的取值共有10種情況，滿足的（）的取值有以下4種情況：（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），所以；

（2）隨機(jī)變量的取值為2，3，4，5，的分布列是

2

3

4

5

P

所以的期望為

   （Ⅰ）求選出的4 人均為選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的概率；

   （Ⅱ）設(shè)為選出的4個(gè)人中選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的人數(shù)，求的分布列和

    數(shù)學(xué)期望．

解：（Ⅰ）設(shè)“從第一小組選出的2人均考《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》”為事件  

    A，“從第二小組選出的2人均考《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》”為事件B.由于事

     件A、B相互獨(dú)立， 且,    .……4分

 所以選出的4人均考《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的概率為

 …………………………… 7分

 （Ⅱ）設(shè)可能的取值為0,1,2,3.得

   ,,

  …………… 11分

    的分布列為

0

1

2

3

P