分析：從每一個位置剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3m的繩子上的任意一點．雖然類似于古典概型的“等可能性”，但是基本事件有無限多個，不能用古典概型的方法求解．如右圖，記“剪得兩段的長都不小于1m”為事件A．把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的，

于是事件發(fā)生的概率P（A）=．　　　　　　　　　

情景２．射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)．從外向內(nèi)為白色，黑色，藍色，紅色，靶心是金色．金色靶心叫＂黃心＂．奧運會的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm．運動員在70m外射箭．假設射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的，射中黃心的概率為多少？

分析：射中靶面上每一點都是一個基本事件，這一點可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點．如圖，記“射中黃心”為事件B，由于中靶心隨機地落在面積為cm²的大圓內(nèi)，而當中靶點落在面積為cm²的黃心內(nèi)時，

事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率P（B）==0.01．

這兩個實驗中，總體含有的基本事件都是無限個，每個基本事件出現(xiàn)的概率是等可能的，將這種問題稱幾何概型。

二．建構數(shù)學

１．幾何概型的概念：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點．這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等．用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型．

２．幾何概型的基本特點：（１）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個；（２）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

３．幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)=．

說明：其中“測度”的意義依D確定，當D分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應的“測度”分別是長度，面積和體積．

例１．取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率．

分析：由于是隨機丟豆子，故可認為豆子落入正方形內(nèi)任一點的機會都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應等于圓面積與正方形面積的比．（“測度”為面積）

解：記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A，則

．

答：豆子落入圓內(nèi)的概率為．

說明：區(qū)域D內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關．

練習：在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶銹病的種子，從中隨機取出10mL，含有麥銹病種子的概率是多少？

分析：病種子在這1L種子中的分布可以看做是隨機的，取得的10mL種子可視作區(qū)域d，所有種子可視為區(qū)域D．（“測度”為體積）

（解：取出10mL麥種，其中“含有病種子”這一事件記為A，則

．答：含有麥銹病種子的概率為．）

例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率．

分析：點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D．當點M位于中線段AC’內(nèi)時，AM<AC，故線段AC’即為區(qū)域d．（“測度”為長度）

解：在AB上截取AC’=AC．于是

　　　　　　．

答：AM小于AC的概率為．　　　　　　　　　　　　

思考：如果將條件改為自點C引射線，交AB于點M,求AM<AC的概率，結果是否一樣？一樣說明理由，不一樣求其概率。

分析：該題變換后，是自C引射線，此射線出現(xiàn)的位置是等可能的，但并不意味著射線與AB的交點M在AB上出現(xiàn)的位置是等可能的，原因是：（如圖：

若∠BCM₂=∠M₂CM₁,線段BM₂未必和M₂M₁相等）。這樣，P(AM<AC)===  答：AM<AC的概率是

說明：用幾何概型時一定要注意，等可能出現(xiàn)的到底是什么測度。

練習：教材P103練習1~4

 [課外作業(yè)]教材P103---104習題1~5

補充習題：

1、有一圓盤，其盤面被均勻分成8份，其中相對的兩部分部分被涂上黑色，其余部分不涂顏色，游戲規(guī)則是投中黑色中獎，則中獎的概率為（     ）

（A）     （B）    （C）   （D）

2、懸在空中等體積的球和正方體，被槍擊中的概率(     )

（A）球大一些  （B）正方體大一些  （C）一樣大   （D）不能確定

3、一艘輪船�？吭谀骋桓劭�，只有在該港口漲潮時才能出港，已知該港口每天漲潮的時間是早晨5：00~7：00和下午5：00~6：00，則該船在一晝夜內(nèi)可以出港的概率為___

4、先后擲兩次骰子，第一次記下點數(shù)為x,第二次記下點數(shù)為y,構成數(shù)對（x,y）,則（x,y）落在x²+y²≤5內(nèi)的概率為______

5、如圖，在墻上掛著一塊邊長為１６ｃｍ的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為２ｃｍ，４ｃｍ，６ｃｍ，某人站在３ｍ之外向此板投鏢．設投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算，可重投，問：
（１）投中大圓內(nèi)的概率是多少？
（２）投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？
（３）投中大圓之外的概率是多少？

答案：1、B；

2、B（注意求的是最大截面面積）；

3、；

4、

5、解：（1）記“投中大圓內(nèi)”為事件A,P(A)=

    (2) 記“投中小圓與中圓形成的圓環(huán)”為事件B,P(B)=

    (3) 記“投中大圓之外”為事件C,P(C)=

§3.3   幾何概型(2)

[教學目標]

[教學重點]會進行簡單的幾何概率計算．

[教學難點]模型的建立與區(qū)別

[教學過程]

例1、已知矩形ABCD中，AB=5,BC=7.在正方形內(nèi)任取一點P,（1）求∠APB>90°的概率（2）求∠APB=90°的概率

解：（1）點P落在以AB為直徑的半圓內(nèi)時，∠APB>90°，故其概率P=半圓面積/矩形面積=

（2）當點P落在以AB為直徑的半圓周上時，∠APB=90°，其概率為0

該題更進一步說明：概率為0未必是不可能事件，但不可能事件概率一定為0；同理必然事件概率為1，概率為1的事件未必是必然事件。

練習：甲、乙二人相約在9：00~10：00這段時間內(nèi)在約定地點會面，先到的人如果等候的時間超過20分鐘便離去，問二人能會面的概率多少？二人同時到達的概率是多少？

解：在平面上建立直角坐標系，直線x=60,y=60,x軸和y軸圍成一個正方形的區(qū)域G，設甲9時x分到達會面地點，乙9時y分到達會面地點，這個結果與平面上的點（x,y）對應，于是試驗的所有可能結果與G中的點一一對應。由題意，每一個試驗結果是等可能的，因此試驗是幾何概型。甲、乙兩個能會面是指|x-y|20,P(A)=；同時到達的概率為0

例2：在長度為a的線段（不包括端點）上隨機選擇兩個點，這兩個點把線段分成三條線段，試求這三條線段能構成三角形的概率

解：設三條線段的長度分別為x,y,a-x-y,則 

   三條線段能夠成三角形，除了上面條件外，還有,  P（A）=

練習：任意三條長度不為0的線段，求其能構成三角形的概率

（設三條線段從小到大記為a,b,c,設=x,=y,則0<x≤y≤1，能構成三角形除了此條件外, 還有條件x+y>1,畫出平面區(qū)域，知：能構成三角形的概率為0.5；從直觀上也能感覺到任意三條線段要么能構成三角形，要么構不成三角形，各占1/2）

例3、如圖，設有一個正三角形網(wǎng)格，其中每個最小三角形的邊

長都等于a，現(xiàn)有一直徑等于a的硬幣投到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率

分析：因為圓的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格有公共點只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于或等于半徑.只要考慮一個三角形即可，將此三角形的各邊沿與其垂直的方向向三角形內(nèi)部平移，得到一個小三角形，圓心應落在此小三角形內(nèi)

解：P==0.82

例4．利用隨機模擬方法計算曲線y=，x=1,x=2和y=0所圍成的圖形的面積．

分析：在直角坐標系中畫出正方形（x=1，x=2，y=0，y=1所圍成的部分），用隨機模擬的方法可以得到它的面積的近似值．

解：（１）利用計算器或計算機產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間上的隨機數(shù)，a₁₌RAND，b=RAND；

（２）進行平移變換：a=a₁+1；（其中a,b分別為隨機點的橫坐標和縱坐標）

（３）數(shù)出落在陰影內(nèi)的點數(shù)N₁，用幾何概型公式計算陰影部分的面積．

例如，做1000次試驗，即N=1000，模擬得到N₁=689，所以=0.689，即S0.689．

Excll操作步驟：

S1:分別在單元格A1,B1,C1中鍵入a,b,b-1/(a+1)

S2:在A2單元格中插入函數(shù)/RAND/確定/確定/拖動單元格到A10001生成1000個隨機數(shù)

S3:同S2在單元格B列也生成一系列1000個隨機數(shù)

S4:在C列計算b-1/(a+1)的每個值

S5:在D列任意一個單元格，用countif函數(shù)統(tǒng)計C列小于0的數(shù)字個數(shù)

S6:S5中得到的數(shù)除以1000，得到該值的近似數(shù)就是面積

1、現(xiàn)有100mL的蒸餾水，假定里面有一個細菌，現(xiàn)從中抽取20mL的蒸餾水，則抽到細菌的概率為_______

2、如圖，某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中

正方形區(qū)域的概率為______　　　　　　　　　　　　　

3、如圖所示矩形取各邊三等分點，連接相對等分點組成新的圖形，給其中小矩形編號如圖，隨機向這個矩形撒豆，撒180粒豆，則可能落入5號區(qū)域___粒？

7

8

5

6

5

4

1

2

3

4、邊長為2的正方形ABCD,現(xiàn)隨機地向正方形內(nèi)投一點P(落到正方形ABCD外不算)，求點P到點A距離小于1的概率

5、如圖，，，，

在線段上任取一點，

試求：（１）為鈍角三角形的概率；

（２）為銳角三角形的概率．

6、用計算機隨機產(chǎn)生一個有序二元數(shù)組（x,y）,滿足-1x1,-1y1,記事件“|x|+|y|1”為A,求P（A）

7設有一個正方形網(wǎng)格，其中每個最小正方形的邊長都等于６ｃｍ．現(xiàn)用直徑等于２ｃｍ的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線有公共點的概率．

8、在半徑為R的圓內(nèi)畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點在該直徑上的位置是等可能的，那么所畫的弦的長度大于R的概率為______

答案：

1、

2、

3、40

4、

5、解：如圖，由平面幾何知識：

當時，；

當時，，．

（１）當且僅當點在線段或上時，為鈍角三角形

記＂為鈍角三角形＂為事件，則

即為鈍角三角形的概率為．

（２）當且僅當點在線段上時，為銳角三角，

記＂為銳角三角＂為事件，則

即為銳角三角形的概率為．

6、

7、

8、