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2009年全國名校高三模擬試題分類匯編

不等式

三、解答題

1、(福建省德化一中2009屆高三上學期第三次綜合測試)已知不等式對恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

解：由不等式得，…………………………1分

又∵∴，…………………………3分

對于,的最小值是0………………………5分

故要使得原不等式恒成立，只需…………………………7分

試題詳情

2、(江蘇省常州市2008－2009高三第一學期期中統(tǒng)一測試數(shù)學試題)設(shè)求的最大值.

解：

7′

當且僅當且

F有最小值 10′

3、(江蘇省南京師大附中2008―2009學年度第一學期高三期中考試)已知函數(shù) 滿足；

試題詳情

（1）求常數(shù)的值；

試題詳情

（2）解不等式．

試題詳情

解：（1）因為，所以；由，即，

試題詳情

（2）由（1）得

試題詳情

由得，當時，解得，

試題詳情

當時，解得，所以的解集為．

試題詳情

4、(黑龍江省雙鴨山一中2008－2009學年上學期期中考試)設(shè)函數(shù)

（1）解不等式；

（2）求函數(shù)的最小值。

（1）

（2）當時取最小值

試題詳情

5、(黑龍江省雙鴨山一中2008－2009學年上學期期中考試)已知二次函數(shù)滿足，且關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間、內(nèi)

試題詳情

（1）求實數(shù)的取值范圍

試題詳情

（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍。

試題詳情

解：（1）由題意知

試題詳情

記則

得

（2）令在上是減函數(shù)

而函數(shù)的對稱軸為x＝－b

在區(qū)間(－1－c,1－c)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在區(qū)間(－1－c,1－c)上單調(diào)遞減，且在區(qū)間(－1－c,1－c)上恒有，只需

試題詳情

解得

試題詳情

6、已知|x－4|＋|3－x|＜a

（1）若不等式的解集為空集，求a的范圍

（2）若不等式有解，求a的范圍

解法一：（1）① x≥4 時（x－4）＋（x－3）＜ a

f（x）＝2x－7 在 x≥4上單調(diào)遞增 x＝4時取最小值1。

若要求不等式無解，則 a 小于或等于該最小值即可。即 a ≤ 1 ……2分

② 4＞x＞3時（4－x）＋（x－3）＜ a 1 ＜ a

若要求不等式無解，則 a ≤ 1。否則不等式的解集為全集。 ……………………4分

③x ≤ 3 時（4－x）＋（3－x）＜ a 7－2x ＜ a 在x ≤ 3區(qū)間，

不等式左端的函數(shù)單調(diào)遞減。在 x＝3 時取最小值 1。

若要求不等式無解，則 a ≤ 1

綜合以上 a ≤ 1 ………………………………6分

（2）若不等式有解，則 a的范圍為原范圍的補集。即 a ＞ 1 ………………10分

另解：＜1＞:x≥4時:|x－4|＋|3－x|＝x－4＋x－3＝2x－7,因為x≥4,所以2x－7≥1

＜2＞: 3≤x＜4時:|x－4|＋|3－x|＝4－x＋x－3＝1

＜3＞:x＜3時:|x－4|＋|3－x|＝4－x＋3－x＝7－2x,因為x＜3,所以－x＞－3,所以7－2x＞1

可見|x－4|＋|3－x|最小值為1,要使|x－4|＋|3－x|＜a是空集,

試題詳情

所以有解時是a＞1

解法二: 設(shè)y＝|x－4|＋|x－3|，（|x－3|＝|3－x|）

試題詳情

等價于:

其圖象為:

由圖象知: 當a≤1時,|x－4|＋|3－x|＜a無解

當1＜a時,|x－4|＋|3－x|＜a有解

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7、(福建省莆田第四中學2009屆第二次月考)△ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證：

試題詳情

證明：由三角形中的正弦定理得

試題詳情

，所以，同理，

試題詳情

于是左邊＝。

故原不等式獲證。

試題詳情

8、(湖北省百所重點中學2009屆高三聯(lián)考)某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自德車的費用是每日115元。

根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛。

為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得）。

試題詳情

（1）求函數(shù)的解析式及其定義域；

（2）試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

解：（1）當

………………2分

， ………………5分

故 ………………6分

定義域為 ………………7分

（2）對于，

顯然當（元）， ………………9分

∴當每輛自行車的日租金定在11元時，才能使一日的凈收入最多�！�12分

試題詳情

9、(湖北省黃岡中學2009屆高三10月月考)國際上鉆石的重量計量單位為克拉。已知某種鉆石的價值V（美元）與其重量(克拉)的平方成正比，且一顆為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元.

試題詳情

（1）寫出V關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；

（3）試用你所學的數(shù)學知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆時，按重量比為1∶1切割，價值損失的百分率最大.

試題詳情

（價值損失的百分率＝；切割中重量損耗不計）

試題詳情

解：（1）（2）37.5％

(3)若把一顆鉆石按重量比為m∶n切割，價值損失率為

試題詳情

＝，

當且僅當m＝n時取等號，即重量比為1∶1時，價值損失率最大.

試題詳情

10、(福建省福州三中高三年級第二次月考)已知函數(shù)有兩個實根為

試題詳情

。

試題詳情

（1）求函數(shù)的解析式；

試題詳情

（2）設(shè)，解關(guān)于的不等式。

解：（1）依題意………………2分

∴……………………4分

解得……………………5分

∴……………………6分

（2）由（1）得

∴

∴………………8分

①當k＞2時，或

②當k＝2時，

∴

③當1＜k＜2時，1＜x＜k或x＞2……………………11分

綜上所述，當k＞2時，不等式解集為

當k＝2時，不等式解集為

當不等式解集為………………12分

11、(湖南省長郡中學2009屆高三第二次月考)某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗知該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率p與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：P＝.已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，廠方希望定出適當?shù)娜债a(chǎn)量.

（1）試判斷：當日產(chǎn)量（件）超過94件時，生產(chǎn)這種儀器能否贏利？并說明理由；

（2）當日產(chǎn)量x件不超過94件時，試將生產(chǎn)這種儀器每天的贏利額T（元）表示成日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；

（3）為了獲得最大利潤，日產(chǎn)量x件應(yīng)為多少件？

試題詳情

解：（1）當x＞94時，p＝，故每日生產(chǎn)的合格品約為x件，次品約為x件，合格品共可贏利xA元，次品共虧損x?xA元.

因盈虧相抵，故當日產(chǎn)量超過94件時，不能贏利. 4分

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（2）當1≤x≤94時，p＝，

試題詳情

每日生產(chǎn)的合格品約為x（1－）件，次品約為件，∴T＝x（1－）A－?＝［x－］A（1≤x≤94）. 8分

（3）由（1）可知，日產(chǎn)量超過94件時，不能盈利.

試題詳情

當1≤x≤94時，.

∵x≤94，96－x＞0，

試題詳情

∴T≤

試題詳情

當且僅當（96－x）＝時，即x＝84時，等號成立.故要獲得最大利潤，日產(chǎn)量應(yīng)為84件. 13分

試題詳情

12、(江西省南昌二中2008～2009學年度第一輪第二次段考)設(shè)有關(guān)于的不等式（Ⅰ）當時，解這個不等式；（Ⅱ）當為何值時，這個不等式的解集為.

試題詳情

解：（1）當時，原不等式可化為

試題詳情

當時，由

試題詳情

當時，由原不等式的解集為

試題詳情

（2）對于任何都成立。

試題詳情

對于任何都成立。當且僅當時對于任何都成立，當時，的解集為

試題詳情

13、(江西省南昌二中2008～2009學年度第一輪第二次段考)已知，b為正數(shù)，求證＋1＞成立的充要條件是對于任何大于1的正數(shù)，

試題詳情

恒有＋＞b．

證明:⑴ax＋＝a（x－1）＋＋1＋a≥2＋1＋a＝（＋1）²＞b；

⑵因為ax＋＞b對于大于1的實數(shù)x恒成立，即x＞1，［ax＋］_min＞b．

而ax＋＝a（x－1）＋＋1＋a≥2＋1＋a＝（＋1）²，

當且僅當a（x－1）＝時，即x＝1＋＞1時等號成立．

試題詳情

14、(廣東省深圳中學2008―2009學年度高三第一學段考試)解不等式

解：（1）

即…………………………3分

得…………………………4分

所以原不等式的解集為……………………5分

15、(河北省衡水中學2008―2009學年度第一學期期中考試)建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段與兩腰長的和）要最小.

試題詳情

(1) 求外周長的最小值，此時防洪堤高h為多少？

試題詳情

(2) 如防洪堤的高限制在范圍內(nèi)，外周長最小為多少米？

解：（1）有題意，

所以

設(shè)外圍周長為，則

當，即時等號成立.

所以外圍的周長的最小值為米，此時堤高米.－－－－－－－－－－－－－－8分

試題詳情

（2）由（1），由導(dǎo)數(shù)或定義可證明在單調(diào)遞增，

試題詳情

所以的最小值為米（當）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分

試題詳情

16、(四川省成都市高2009屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測)已知函數(shù)f(x)＝(x≠0，a＞0，c＜0)，當x∈[1，3]時，函數(shù)f(x)的取值范圍恰為[－，]

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若向量＝(－，)，＝(k²＋k＋2，3k＋1)(k＞－1，且k≠0)，解關(guān)于x的不等式f(x)＜?

解：(1)f(x)＝)
∵a＞0，c＜0，∴f '(x)＝)＞0
∴函數(shù)f(x)在[1，3]上是增函數(shù)    ……3'
由 Þ a＝2，c＝－4
∴f(x)＝(x≠0) ……5'
(2)∵?＝－ ……6'
∴f(x)＜? ó ＜－
                ó ＜
                ó ＜0
                ó ＜0   ……8'
    ∵k＞－1，且k≠0，∴k＋1＞0
于是－1＜k＜0時，x∈(－∞，2k)∪(0，k＋1)
    0＜k＜1時，x∈(－∞，0)∪(2k，k＋1)
    k＝1時，x∈(－∞，0)
    k＞1時，x∈(－∞，0)∪(k＋1，2k)    ……12'

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17、(湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題)如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

試題詳情

（2）若|AN| （單位：米），則當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

試題詳情

解：設(shè)AN的長為x米（x ＞2）

試題詳情

∵，∴|AM|＝

試題詳情

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝

試題詳情

（1）由S_AMPN ＞ 32 得＞ 32 ，

試題詳情

∵x ＞2，∴，即（3x－8）（x－8）＞ 0

試題詳情

∴ 即AN長的取值范圍是

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（2）令y＝，則y′＝

試題詳情

∵當，y′＜ 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

試題詳情

∴當x＝3時y＝取得最大值，即（平方米）

試題詳情

此時|AN|＝3米，|AM|＝米

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18、(山東省平邑第一中學2009屆高三元旦競賽試題)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。

試題詳情

（I）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P＝；

試題詳情

寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝；

（II）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？

試題詳情

（注：市場售價和種植成本的單位：元/kg，時間單位：天）

本小題主要考查函數(shù)圖象建立的函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力。滿分12分。

解：（I）由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為

試題詳情

由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為

試題詳情

，

試題詳情

（II）設(shè)時刻的純收益為，則由題意得

，

即

當時，配方整理得

，

所以，當＝50時，取得區(qū)間上的最大值100；

試題詳情

當時，配方整理得

試題詳情

，

試題詳情

所以，當時，取得區(qū)間上的最大值87.5；

試題詳情

綜上，由100＞87.5可知，在區(qū)間上可以取最大值100，此時，，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大。

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19、(西南師大附中高2009級第三次月考)已知

試題詳情

（1）若p ＞ 1時，解關(guān)于x的不等式；

試題詳情

（2）若對時恒成立，求p的范圍．

試題詳情

解：(1) ???????????????????????? 1分

試題詳情

①??????????? 3分

試題詳情

② p ＝ 2時，解集為?????????????? 5分

試題詳情

③ p ＞ 2時，解集為??????????? 7分

試題詳情

(2)

試題詳情

????????????????????? 8分

試題詳情

∴ 恒成立

試題詳情

∴ 恒成立??????????? 9分

試題詳情

∵ 上遞減?????????????? 10分

試題詳情

∴ ??????????????????????? 11分

∴ p ＞ 2 ??????????????????????????? 12分

試題詳情

20、(天津市漢沽一中2008~2008學年度第五次月考)已知函數(shù),（ x＞0）．

（I）當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求證：ab＞1；

（II）是否存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y＝f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

（III）若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y＝f(x)的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb]

(m≠0),求m的取值范圍．

試題詳情

解：（I） ∵x＞0，∴

試題詳情

∴f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，

試題詳情

可得 0＜a1＜b和．

試題詳情

即．

試題詳情

∴2ab＝a＋b＞．……………………………………3分

試題詳情

故，即ab＞1．……………………………………4分

（II）不存在滿足條件的實數(shù)a，b．

試題詳情

若存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得函數(shù)y＝的定義域、值域都是

試題詳情

[a，b]，則a＞0．

試題詳情

① 當時，在（0，1）上為減函數(shù)．

試題詳情

故即

解得 a＝b．

故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．………………………………6分

試題詳情

② 當時，在上是增函數(shù)．

試題詳情

故即

試題詳情

此時a，b是方程的根，此方程無實根．

故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．………………………………8分

試題詳情

③ 當，時，

試題詳情

由于，而，

故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．

綜上可知，不存在適合條件的實數(shù)a，b．………………………………10分

（III）若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y＝f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．

試題詳情

則a＞0，m＞0．

試題詳情

① 當時，由于f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，故．此時刻得a,b異號，不符合題意，所以a，b不存在．

試題詳情

② 當或時，由（II）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

故只有．

∵在上是增函數(shù)，

∴ 即

a， b是方程的兩個根．

即關(guān)于x的方程有兩個大于1的實根．……………………12分

試題詳情

設(shè)這兩個根為，．

試題詳情

則＋＝，?＝．

試題詳情

∴ 即

解得 0＜m＜．

故m的取值范圍是0＜m＜．…………………………………………14分

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21、(山西省太原五中2008―2009學年度高三上學期10月月考)解關(guān)于的不等式

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解：原不等式等價于

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綜上：

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22、(四川省成都市2008―2009學年度上學期高三年級期末綜合測試)已知直線過點M(2,1),且分別與正半軸交于A,B兩點.O為原點.

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(1) 當面積最小時,求直線的方程;

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(2) 當值最小時, 求直線的方程.

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解：（1）直線如果通過第一、二、三或第一、三、四象限時，面積逐漸增大，

即這時的面積函數(shù)為增函數(shù)，不存在最值。因此只考慮與軸正向相交的

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情況，此時斜率。

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設(shè) 則

試題詳情

當且僅當，即時等號成立。

故，即。

（2）

當且僅當，即時等號成立。

或

23、(安徽省巢湖市2009屆高三第一次教學質(zhì)量檢測)設(shè)二次函數(shù)，函數(shù)的兩個零點為.

試題詳情

（Ⅰ）若求不等式的解集；

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（Ⅱ）若且，比較與的大�。�

試題詳情

解：（Ⅰ）由題意知，　　　　　…………………２分

試題詳情

當時，不等式即為.

試題詳情

當時，不等式的解集為或；

試題詳情

當時，不等式的解集為. ………………………6分

（Ⅱ）

且，

即． ………………………………12分

24、(江蘇省梁寨中學08－09學年高三年級調(diào)研考試)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

試題詳情

（注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝）

解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，則

試題詳情

令得

試題詳情

當時，；當時，

試題詳情

因此當時，f（x）取最小值；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層．

試題詳情

25、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)解關(guān)于的不等式：(1) x²－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．

試題詳情

解：(1)原不等式可化為：若a＞1時，解為1＜x＜a，若a＞1時，

解為a＜x＜1，若a＝1時，解為

(2)△＝．

①當，△＞0．

方程有二實數(shù)根：

∴原不等式的解集為

①當＝±4 時，△＝0，兩根為

若則其根為－1，∴原不等式的解集為．

若則其根為1，∴原不等式的解集為．

②當－4＜時，方程無實數(shù)根．∴原不等式的解集為R．

試題詳情

26、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)集合A＝{x|x²＋3k²≥2k(2x－1)}，B＝{x|x²－(2x－1)k＋k²≥0}，且AB，試求k的取值范圍．

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解：，比較

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因為

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(1)當k＞1時，3k－1＞k＋1，A＝{x|x≥3k－1或x}.

試題詳情

(2)當k＝1時，x.

試題詳情

(3)當k＜1時，3k－1＜k＋1，A＝.

B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式，

(1)當k＝0時，.

(2)當k＞0時，△＜0，x.

(3)當k＜0時，.

故：當時，由B＝R，顯然有A，

當k＜0時，為使A，需要k，于是k時，.

試題詳情

綜上所述，k的取值范圍是：

試題詳情

27、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集為R，求實數(shù)m的取值范圍．

解： (１)當m²－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1時，

①若m＝3，原不等式解集為R

②若m＝－1，原不等式化為4x－1＜0

試題詳情

∴原不等式解集為｛x｜x＜＝，不合題設(shè)條件.

(２)若m²－2m－3≠0，依題意有

試題詳情

即

試題詳情

∴－＜m＜3?

試題詳情

綜上，當－＜m≤3時，不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集為R.

試題詳情

28、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知二次函數(shù)y＝x²＋px＋q，當y＜0時，有－＜x＜，解關(guān)于x的不等式qx²＋px＋1＞0．

試題詳情

解：由已知得x₁＝－，x₂＝是方程x²＋px＋q＝0的根，

試題詳情

∴－p＝－＋ q＝－×

試題詳情

∴p＝，q＝－，∴不等式qx²＋px＋1＞0

試題詳情

即－x²＋x＋1＞0

試題詳情

∴x²－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx²＋px＋1＞0的解集為｛x｜－2＜x＜3｝.

試題詳情

29、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)若不等式的解集為，求實數(shù)p與q的值．

試題詳情

解：由不等式的解集為，得

試題詳情

2和4是方程的兩個實數(shù)根，且．(如圖)

試題詳情

解得

試題詳情

30、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)，若，，, 試證明：對于任意，有.

解：∵ ,

∴ ,

∴ .∴ 當時，

當時，

試題詳情

31、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當時，證明.

證明：由題意可知.

,∴ ,

∴ 當時，.

又,

∴ ,

綜上可知，所給問題獲證.

試題詳情

32、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知關(guān)于x的二次方程x²＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.

解：(1)條件說明拋物線f(x)＝x²＋2mx＋2m＋1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得

試題詳情

∴.

試題詳情

(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組

試題詳情

(這里0＜－m＜1是因為對稱軸x＝－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)

得－＜m≤1－

試題詳情

33、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c和一次函數(shù)g(x)＝－bx，其中a、b、c滿足a＞b＞c,a＋b＋c＝0,(a,b,c∈R).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍.

試題詳情

(1)證明：由消去y得ax²＋2bx＋c＝0

試題詳情

Δ＝4b²－4ac＝4(－a－c)²－4ac＝4(a²＋ac＋c²)＝4［(a＋c²］

∵a＋b＋c＝0,a＞b＞c,∴a＞0,c＜0

試題詳情

∴c²＞0,∴Δ＞0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點.

試題詳情

(2)解：設(shè)方程ax²＋bx＋c＝0的兩根為x₁和x₂,則x₁＋x₂＝－,x₁x₂＝.

|A₁B₁|²＝(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂

試題詳情

∵a＞b＞c,a＋b＋c＝0,a＞0,c＜0

∴a＞－a－c＞c,解得∈(－2,－)

∵的對稱軸方程是.

∈(－2,－)時，為減函數(shù)

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().

試題詳情

34、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知實數(shù)t滿足關(guān)系式 (a＞0且a≠1)

(1)令t＝a^x,求y＝f(x)的表達式；

試題詳情

(2)若x∈(0,2時，y有最小值8，求a和x的值.

試題詳情

解：(1）由log_a得log_at－3＝log_ty－3log_ta

試題詳情

由t＝a^x知x＝log_at，代入上式得x－3＝,?

試題詳情

∴l(xiāng)og_ay＝x²－3x＋3，即y＝a (x≠0).

試題詳情

(2)令u＝x²－3x＋3＝(x－)²＋ (x≠0),則y＝a^u

①若0＜a＜1,要使y＝a^u有最小值8，

試題詳情

則u＝(x－)²＋在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

試題詳情

②若a＞1,要使y＝a^u有最小值8，則u＝(x－)²＋,x∈(0,2應(yīng)有最小值

試題詳情

∴當x＝時，u_min＝,y_min＝

試題詳情

由＝8得a＝16.∴所求a＝16,x＝.

試題詳情

35、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)如果二次函數(shù)y＝mx²＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.

解：∵f(0)＝1＞0

(1)當m＜0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.

試題詳情

(2）當m＞0時，則解得0＜m≤1

綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.

試題詳情

36、二次函數(shù)f(x)＝px²＋qx＋r中實數(shù)p、q、r滿足＝0,其中m＞0,求證：

試題詳情

(1)pf()＜0;

(2)方程f(x)＝0在(0，1)內(nèi)恒有解.

試題詳情

證明：(1)

試題詳情

,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m＞0,所以，pf()＜0.

(2)由題意，得f(0)＝r,f(1)＝p＋q＋r

試題詳情

①當p＜0時，由(1）知f()＜0

試題詳情

若r＞0,則f(0)＞0,又f()＜0,所以f(x)＝0在(0，)內(nèi)有解;

試題詳情

若r≤0,則f(1)＝p＋q＋r＝p＋(m＋1)＝(－)＋r＝＞0,

試題詳情

又f()＜0,所以f(x)＝0在(,1)內(nèi)有解.

②當p＜0時同理可證.

試題詳情

37、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)一個小服裝廠生產(chǎn)某種風衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為P＝160－2x,生產(chǎn)x件的成本R＝500＋30x元.

(1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？

(2)當月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

解：(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得?

y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x²＋130x－500

由y≥1300知－2x²＋130x－500≥1300

∴x²－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴當月產(chǎn)量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元.

試題詳情

(2）由(1）知y＝－2x²＋130x－500＝－2(x－)²＋1612.5

∵x為正整數(shù)，∴x＝32或33時，y取得最大值為1612元，

∴當月產(chǎn)量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元.

試題詳情

38、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1．(1)證明：|c|≤1；

　　(2)證明：當－1≤x≤1時，|g(x)|≤2；

解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因為0∈[－1，1])．

試題詳情

　　所以當－1≤x≤1時，

試題詳情

39、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，證明：.

解：由題意 .

它的對稱軸方程為

由方程的兩個根滿足, 可得

且,

∴ ，

即，而

故 .

40、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練) 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和.

試題詳情

（1）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；

試題詳情

（2）如果，，求的取值范圍.

解：設(shè)，則的二根為和.

（1）由及，可得，

即，

即

兩式相加得，所以，;

（2）由, 可得 .

又，所以同號.

∴ ，等價于或,

即或

解之得或.

41、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè),f(0)＞0，f(1)＞0,求證：

試題詳情

(Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1；

試題詳情

(Ⅱ)方程在（0，1）內(nèi)有兩個實根.

證明：（I）因為，

所以.

由條件，消去，得

；

由條件，消去，得

，.

故.

（II）拋物線的頂點坐標為，

在的兩邊乘以，得.

又因為

而

所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根。

試題詳情

故方程在內(nèi)有兩個實根.

試題詳情

42、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示：

試題詳情

（1）試判斷及的符號；

試題詳情

（2）若|OA|＝|OB|，試證明。

試題詳情

解析：解本題主要是應(yīng)用拋物線的幾何特性（張口方向，對稱軸，截距，與軸交點個數(shù)）及函數(shù)零點（方程）的有關(guān)知識，即

試題詳情

（1）由拋物線張口方向、對稱軸位置、截距及與軸交點個數(shù)，立即可得：，。

試題詳情

（2）由方程結(jié)論

試題詳情

43、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)m為何值時，關(guān)于的方程的兩根：

（1）為正數(shù)根；（2）為異號根且負根絕對值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）兩根在0，2之間。

試題詳情

解析：關(guān)于方程根的討論，結(jié)合二次函數(shù)圖象與軸的交點位置的充要條件即可求：即設(shè)方程兩根為則

1）；

（2）；

（3）；

4）；

（5）

44、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)證明關(guān)于的不等式與，當為任意實數(shù)時，至少有一個桓成立。

試題詳情

解析：證明不等式恒成立，實質(zhì)是證明對應(yīng)拋物線恒在軸的上方或下方的問題，故只要求拋物線恒在軸上方或下方的充要條件即可。

試題詳情

即由恒成立對應(yīng)拋物線恒在軸下方

；

由恒成立對應(yīng)拋物線恒在軸上方

。

因此,當為任意實教時，上述兩充要條件至少有一個成立，命題得證。

試題詳情

45、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知關(guān)于的方程兩根為，試求的極值。

試題詳情

解析：求的極值，即應(yīng)用方程根與系數(shù)的關(guān)系和判別式，求二次函數(shù)的條件極值的問題。即為方程的兩根，

試題詳情

，又

試題詳情

46、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)若不等式對一切x恒成立，求實數(shù)m的范圍.

解析：∵x²－8x＋20＝(x－4)²＋4＞0, ∴ 只須mx²－mx－1＜0恒成立，即可：

試題詳情

①當m＝0時，－1＜0,不等式成立；②當m≠0時，則須

試題詳情

解之：－4＜m＜0.由（1）、（2）得：－4＜m≤0.

試題詳情

47、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練) 設(shè)不等式ax²＋bx＋c＞0的解集是{x|a＜x＜β}(0＜a＜β),求不等式cx²＋bx＋a＜0的解集.

試題詳情

分析：由題∴cx²＋bx＋a＜0的解集是

試題詳情

{x|x＜或x＞}．

試題詳情

48、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若m、n∈［－1，1］，m＋n≠0時＞0

(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)；

試題詳情

(2)解不等式 f(x＋)＜f()；

試題詳情

(3)若f(x)≤t²－2at＋1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數(shù)t的取值范圍

試題詳情

(1)證明任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈［－1，1］，則f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁)＋f(－x₂)＝?(x₁－x₂)

∵－1≤x₁＜x₂≤1，

試題詳情

∴x₁＋(－x₂)≠0，由已知＞0，又 x₁－x₂＜0，

試題詳情

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)

試題詳情

(2)解 ∵f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，

試題詳情

∴ 解得 {x|－≤x＜－1，x∈R}

試題詳情

(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，且f(1)＝1，

故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，

所以要f(x)≤t²－2at＋1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t²－2at＋1≥1成立，

故t²－2at≥0，記g(a)＝t²－2at，對a∈［－1，1］，g(a)≥0，

只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，

試題詳情

解得，t≤－2或t＝0或t≥2

試題詳情

∴t的取值范圍是 {t|t≤－2或t＝0或t≥2}

試題詳情

49、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)不等式x²－2ax＋a＋2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數(shù)a的取值范圍

試題詳情

解 M［1，4］有兩種情況其一是M＝，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ＝0或Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍

設(shè)f(x)＝x² －2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)²－(4a＋2)＝4(a²－a－2)

試題詳情

(1)當Δ＜0時，－1＜a＜2，M＝［1，4］

試題詳情

(2)當Δ＝0時，a＝－1或2

試題詳情

當a＝－1時M＝{－1}［1，4］；當a＝2時，m＝{2}［1，4］

試題詳情

(3)當Δ＞0時，a＜－1或a＞2

設(shè)方程f(x)＝0的兩根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

試題詳情

那么M＝［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4

試題詳情

即，解得 2＜a＜，

試題詳情

∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，)

試題詳情

50、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1)

試題詳情

解原不等式可化為＞0，

試題詳情

①當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解

試題詳情

由于

試題詳情

∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，＋∞)

試題詳情

②當a＜1時，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解

由于,

若a＜0，,解集為(，2)；

若a＝0時，，解集為；

若0＜a＜1，,解集為(2，)

綜上所述當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，＋∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a＝0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2）

試題詳情

51、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)函數(shù)f(x)＝a^x滿足條件當x∈(－∞，0)時，f(x)＞1；當x∈(0，1時，不等式f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍

試題詳情

解由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)，x∈(0，1恒成立

在x∈(0，1恒成立

整理，當x∈(0，1)時，恒成立，

即當x∈(0，1時，恒成立，

且x＝1時，恒成立，

∵在x∈(0，1上為減函數(shù)，∴＜－1，

試題詳情

∴m＜恒成立m＜0

試題詳情

又∵，在x∈(0，1上是減函數(shù)，∴＜－1

試題詳情

∴m＞恒成立m＞－1

試題詳情

當x∈(0，1)時，恒成立m∈(－1，0) ①

試題詳情

當x＝1時，，即是∴m＜0 ②

試題詳情

∴①、②兩式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1時，

f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)恒成立，m的取值范圍是(－1，0)

試題詳情

52、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)，求關(guān)于不等式的解集。

試題詳情

解集為

試題詳情

53、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)解關(guān)于。

①若；

②若；

③若。

54、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知

求證：（1）；（2）。

證明：（1），

，

（2）首先易證

55、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)某種商品原來定價每件p元，每月將賣出n件。假若定價上漲，每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的z倍。

試題詳情

（1）若時的值；

試題詳情

（2），求使售貨金額比原來有所增加的的取值范圍。

試題詳情

解：該商品定價上漲成時，上漲后的定價、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是

試題詳情

因而有：

試題詳情

（2）

試題詳情

56、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，。

試題詳情

（1）求證：如果；

（2）判斷（1）中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論；

（3）解不等式。

（1）證明：當

（2）（1）中命題的逆命題為： ①

①的逆否命題是： ②

仿（1）的證明可證②成立，又①與②互為逆否命題，故①成立，即（1）中命題的逆命題成立。

（2）根據(jù)（2），所解不等式等價于

試題詳情

。

試題詳情

57、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)奇函數(shù)上是增函數(shù)，當時，是否存在實數(shù)m，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實數(shù)m；若不存在，說明理由。

試題詳情

解：易知，

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因此，滿足條件的實數(shù)m存在，它可取內(nèi)的一切值。

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58、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)數(shù)列滿足

試題詳情

（Ⅰ）證明：對一切正整數(shù)成立；

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（Ⅱ）令判斷與的大小，并說明理由.

解析：（Ⅰ）證法一：

①當時，不等式成立，

②假設(shè)時，成立

當時，

時，成立

試題詳情

由①②可知，對一切正整數(shù)成立.

證法二：由遞推公式可得

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…

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上述各式相加并化簡得

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又時，成立，故

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（Ⅱ）解法一：

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故

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解法二：

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故.因此

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59、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)使,，求證：

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(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.

解析：(Ⅰ)因為,所以

又,消去,得,

由消去,得

所以

(Ⅱ)拋物線的頂點坐標為

又兩邊乘以得

,又

而

所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根,即方程在有兩個實根

試題詳情

60、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:

試題詳情

證明:（Ⅰ）;(Ⅱ).

試題詳情

解析：（Ⅰ）先用數(shù)學歸納法證明

試題詳情

①當時,由以知,結(jié)論成立.

試題詳情

②假設(shè)當時,結(jié)論成立,即.

因為時.所以在上是增函數(shù).

又在上連續(xù),從而

即

故當時,結(jié)論成立.

由①②可知對一切正整數(shù)都成立.

又因為時,

所以.

綜上所述.

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)

由（Ⅰ）知當時,

從而.

所以在上是增函數(shù),又在上連續(xù),且.

試題詳情

所以當時,成立,所以

試題詳情

即,故

試題詳情

61、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知函數(shù),數(shù)列滿足:,

試題詳情

(1)證明:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.

試題詳情

（2）證明：

解析：本題以函數(shù)、數(shù)列為載體，考查不等式證明的基本方法，在證明的過程中，要對所證的不等式適當變形、合理放縮.

試題詳情

(1)證明:由題意得

試題詳情

所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列

（2）證明：由(1)的證明過程可知，

試題詳情

所以

試題詳情

故

試題詳情

62、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)若關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集

試題詳情

解：由不等式的解集是得

試題詳情

是方程的兩個根，故

試題詳情

又所以

試題詳情

不等式即

試題詳情

或

試題詳情

所以不等式的解集是.

試題詳情

63、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)都是正實數(shù),求證:

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證明：因為都是正實數(shù)，

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上述各式相加，得：

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64、、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)，解關(guān)于的不等式

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解：設(shè)則原不等式化為

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①當時，所以

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②當時，所以

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③當時，所以

綜上所述：

即

⑴當時，由得

（2）當時，由得

所以，當時，原不等式的解集是

當時，原不等式的解集是

65、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)過點作直線交正半軸于兩點.

(1)若取到最小值,求直線的方程

(2)若的面積取到最小值,求直線的方程

解：設(shè)直線的方程為：則，

（1）

當且僅當且時，即時取等號.

此時，直線的方程是：

（2）

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當且僅當且時，即時取等號.

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此時，直線的方程是：.

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66、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)設(shè)函數(shù)正實數(shù)滿足，且

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（1）求證：; （2）求證：

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證明：（1）由得

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，，得

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，所以

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（2）由得

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，得，

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所以，又

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67、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知函數(shù),數(shù)列滿足:,

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(1)設(shè)證明: （2）證明：

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證明：（1）因為,數(shù)列滿足:,

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所以

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＝（

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所以：

（2）由（1）得

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所以

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即

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68、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)（1）設(shè)a＞0，b＞0且，試比較a^ab^b與a^bb^a的大小。

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（2）已知函數(shù)，，試比較與的大小．

解：(1)根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則，可考慮用比值比較法。

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當a＞b＞0時，,則，于是a^ab^b＞a^bb^a

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當b＞a＞0時，,則，于是a^ab^b＞a^bb^a

綜上所述，對于不相等的正數(shù)a,b，都有a^ab^b＞a^bb^a

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解(2)作差―＝

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當時，得＝。

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（2）當時，①當時，得＝。②當時，得

＞。③當時，得

＜。

綜上所述：當或時＝。當且時＞。當且時＜。

69、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知實數(shù)a,b,c滿足條件：，其中m是正數(shù)，對于f(x)＝ax²＋bx＋c

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(1)如果，證明：

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(2)如果，證明：方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有解。

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解：（1）

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所以

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（2）由于f(0)＝c,f(1)＝a＋b＋c,當a＞0時, 因為,所以

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若c＞0,f(0)＝c＞0,所以方程f(x)＝0在內(nèi)有解,若c≤0,

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所以方程在內(nèi)有解

當a＜0時,同理可證

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故時,方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有解

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70、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)已知函數(shù)滿足下列條件：對任意的實數(shù)x₁，x₂都有和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實數(shù)a₀，a，b滿足和

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(Ⅰ)證明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)證明；

(Ⅲ)證明.

證法一：（I）任取

和 ②

可知，

從而 . 假設(shè)有①式知

∴不存在

（II）由 ③

可知 ④

由①式，得 ⑤

由和②式知， ⑥

由⑤、⑥代入④式，得

（III）由③式可知

（用②式）

（用①式）

證法二：題目中涉及了八個不同的字母參數(shù)以及它們的抽象函數(shù)值。參數(shù)量太多，讓考生們在短時間內(nèi)難以理清頭緒。因而解決問題的關(guān)鍵就在于“消元”――把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾個特定變量來表示，然而再進行運算證明。“消元”的模式并不難唯一，這里提供一個與標準解答不同的“消元”設(shè)想，供參考。

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題設(shè)中兩個主要條件是關(guān)于與的齊次式。而點、是函數(shù)圖象上的兩個點，是連接這兩點的弦的斜率。若欲證的不等式關(guān)系也能轉(zhuǎn)化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進行“整體消元”。

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設(shè)為不相等的兩實數(shù)，則由題設(shè)條件可得：

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和。

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令，

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則對任意相異實數(shù)，有及，即。

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由此即得；又對任意有，得函數(shù)在R上單調(diào)增，所以函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)。

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如果，則，因為，所以。即不存在，使得。于是，（Ⅰ）的結(jié)論成立。

考慮結(jié)論（Ⅱ）：

因為，故原不等式為

；

當時，左右兩邊相等；

當時，，且，則原不等式即為：

，

令，則原不等式化為，即為。

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因為，則，所以成立，即（Ⅱ）中結(jié)論成立。

再看結(jié)論（Ⅲ）：

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原不等式即，

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即，注意到，則，則原不等式即為

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即，令，則原不等式即化為

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，即，因為，則，所以

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成立，即（Ⅲ）的結(jié)論成立。

在一般的“消元”方法中，本題三個小題中不等關(guān)系的證明過程差異較大。尤其是（Ⅱ）與（Ⅲ），許多尖子學生證明了（Ⅱ）的結(jié)論而不能解決（Ⅲ）。

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借助斜率k“整體消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等關(guān)系都轉(zhuǎn)化為相同的不等關(guān)系，然后由條件推證，有獨到之處。

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71、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)己知，

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（1）

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（2），證明：對任意，的充要條件是；

（3）討論：對任意，的充要條件。

證明：（1）依題意，對任意，都有

（2）充分性：

必要性：對任意

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（3）

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即

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而當

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72、(2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練)某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

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解：設(shè)2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。

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由題意得

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73、（溫州十校2008學年度第一學期期中考試高三數(shù)學試題）上海某玩具廠生產(chǎn)套2008年奧運會吉祥物“福娃”所需成本費用為元，且，而每套售出的價格為元，其中，

（1）問：該玩具廠生產(chǎn)多少套“福娃”時，使得每套“福娃”所需成本費用最少？

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（2）若生產(chǎn)出的“福娃”能全部售出，且當產(chǎn)量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，求的值．（利潤＝銷售收入 ― 成本）

[解]（1）每套“福娃”所需成本費用為

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_{…………………………4分}

_{…………………………5分}

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當，即x＝100時，每套“福娃”所需成本費用最少為25元. ……7分

（2）利潤為

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＝（_{……－－－11分}

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_{由題意，
……………………14分}

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_{解得 a＝ 25， b＝ 30. ……………………15分}

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74、(安徽省六安中學2009屆高三第六次月考)已知函數(shù)f(x)＝,g(x)＝x²－3ax＋2a²(a＜0)，若不存在實數(shù)x使得f(x)＞1和g(x)＜0同時成立，試求a的范圍.

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解:由f(x)＞1，得＞1,化簡整理得＜0.

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解得－2＜x＜－1或2＜x＜3.

即f(x)＞1的解集為A＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}.

由g(x)＜0得x²－3ax＋2a²＜0,即(x－a)(x－2a)＜0(a＜0).

則g(x)＜0的解集為B＝{x|2a＜x＜a,a＜0}.

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根據(jù)題意，有A∩B＝.因此，a≤－2或－1≤2a＜0.

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故a的范圍是{a|a≤－2或－≤a＜0}.

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75、(江蘇省南通通州市高三年級第二次統(tǒng)一測試)證明不等式：

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證明：

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＜ 6′

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=2－

＜2 10′

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