等價(jià)于:

其圖象為:

由圖象知: 當(dāng)a≤1時(shí),|x－4|＋|3－x|＜a無解

當(dāng)1＜a時(shí),|x－4|＋|3－x|＜a有解

7、(福建省莆田第四中學(xué)2009屆第二次月考)△ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證：

證明：由三角形中的正弦定理得

，所以，同理，

于是左邊＝。

故原不等式獲證。

8、(湖北省百所重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自德車的費(fèi)用是每日115元。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛。

為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得）。

   （1）求函數(shù)的解析式及其定義域；

   （2）試問當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

解：（1）當(dāng)

                    ………………2分

，                                ………………5分

故          ………………6分

定義域?yàn)?sub>                        ………………7分

   （2）對(duì)于，             

顯然當(dāng)（元），                      ………………9分

∴當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多�！�………12分

9、(湖北省黃岡中學(xué)2009屆高三10月月考)國際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉。已知某種鉆石的價(jià)值V（美元）與其重量(克拉)的平方成正比，且一顆為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元.

（1）寫出V關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；

（3）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明：把一顆鉆石切割成兩顆時(shí)，按重量比為1∶1切割，價(jià)值損失的百分率最大.

（價(jià)值損失的百分率＝；切割中重量損耗不計(jì)）

解：（1）  （2）37.5％

(3)若把一顆鉆石按重量比為m∶n切割，價(jià)值損失率為

＝，

當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào)，即重量比為1∶1時(shí)，價(jià)值損失率最大.

10、(福建省福州三中高三年級(jí)第二次月考)已知函數(shù)有兩個(gè)實(shí)根為

。

   （1）求函數(shù)的解析式；    

   （2）設(shè)，解關(guān)于的不等式。

解：（1）依題意………………2分

∴……………………4分

解得……………………5分

∴……………………6分

（2）由（1）得

∴

∴………………8分

①當(dāng)k＞2時(shí)，或

②當(dāng)k＝2時(shí)，

∴

③當(dāng)1＜k＜2時(shí)，1＜x＜k或x＞2……………………11分

綜上所述，當(dāng)k＞2時(shí)，不等式解集為

當(dāng)k＝2時(shí)，不等式解集為

當(dāng)不等式解集為………………12分

11、(湖南省長郡中學(xué)2009屆高三第二次月考)某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率p與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：P＝.已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，廠方希望定出適當(dāng)?shù)娜债a(chǎn)量.

（1）試判斷：當(dāng)日產(chǎn)量（件）超過94件時(shí)，生產(chǎn)這種儀器能否贏利？并說明理由；

（2）當(dāng)日產(chǎn)量x件不超過94件時(shí)，試將生產(chǎn)這種儀器每天的贏利額T（元）表示成日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；

（3）為了獲得最大利潤，日產(chǎn)量x件應(yīng)為多少件？

解：（1）當(dāng)x＞94時(shí)，p＝，故每日生產(chǎn)的合格品約為x件，次品約為x件，合格品共可贏利xA元，次品共虧損x?xA元.

因盈虧相抵，故當(dāng)日產(chǎn)量超過94件時(shí)，不能贏利.        4分

（2）當(dāng)1≤x≤94時(shí)，p＝，

每日生產(chǎn)的合格品約為x（1－）件，次品約為件，∴T＝x（1－）A－?＝［x－］A（1≤x≤94）.     8分

（3）由（1）可知，日產(chǎn)量超過94件時(shí)，不能盈利.

當(dāng)1≤x≤94時(shí)，.

∵x≤94，96－x＞0，

∴T≤

當(dāng)且僅當(dāng)（96－x）＝時(shí)，即x＝84時(shí)，等號(hào)成立.故要獲得最大利潤，日產(chǎn)量應(yīng)為84件.    13分

12、(江西省南昌二中2008～2009學(xué)年度第一輪第二次段考)設(shè)有關(guān)于的不等式（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解這個(gè)不等式；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)不等式的解集為.

解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為

當(dāng)時(shí)，由

當(dāng)時(shí)，由原不等式的解集為

（2）對(duì)于任何都成立。

對(duì)于任何都成立。  當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)對(duì)于任何都成立，當(dāng)時(shí)，的解集為

13、(江西省南昌二中2008～2009學(xué)年度第一輪第二次段考)已知，b為正數(shù)，求證＋1＞成立的充要條件是對(duì)于任何大于1的正數(shù)，

恒有＋＞b．

證明:⑴ax＋＝a（x－1）＋＋1＋a≥2＋1＋a＝（＋1）²＞b；

⑵因?yàn)閍x＋＞b對(duì)于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立，即x＞1，［ax＋］_min＞b．

而ax＋＝a（x－1）＋＋1＋a≥2＋1＋a＝（＋1）²，

當(dāng)且僅當(dāng)a（x－1）＝時(shí)，即x＝1＋＞1時(shí)等號(hào)成立．

14、(廣東省深圳中學(xué)2008―2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)解不等式

解：（1）

即…………………………3分

得…………………………4分

所以原不等式的解集為……………………5分

15、(河北省衡水中學(xué)2008―2009學(xué)年度第一學(xué)期期中考試)建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段與兩腰長的和）要最小.

(1)  求外周長的最小值，此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少？

(2)  如防洪堤的高限制在范圍內(nèi)，外周長最小為多少米？

解： （1）有題意，

         所以

        設(shè)外圍周長為，則

         當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

          所以外圍的周長的最小值為米，此時(shí)堤高米.－－－－－－－－－－－－－－8分

（2）由（1），由導(dǎo)數(shù)或定義可證明在單調(diào)遞增，

    所以的最小值為米（當(dāng)）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分

16、(四川省成都市高2009屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝(x≠0，a＞0，c＜0)，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，函數(shù)f(x)的取值范圍恰為[－，]

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若向量＝(－，)，＝(k²＋k＋2，3k＋1)(k＞－1，且k≠0)，解關(guān)于x的不等式f(x)＜?

解：(1)f(x)＝)
∵a＞0，c＜0，∴f '(x)＝)＞0
∴函數(shù)f(x)在[1，3]上是增函數(shù)    ……3'
由  Þ  a＝2，c＝－4
∴f(x)＝(x≠0) ……5'
(2)∵?＝－  ……6'
∴f(x)＜?  ó  ＜－
                ó  ＜
                ó  ＜0
                ó  ＜0   ……8'
    ∵k＞－1，且k≠0，∴k＋1＞0
于是－1＜k＜0時(shí)，x∈(－∞，2k)∪(0，k＋1)
    0＜k＜1時(shí)，x∈(－∞，0)∪(2k，k＋1)
    k＝1時(shí)，x∈(－∞，0)
    k＞1時(shí)，x∈(－∞，0)∪(k＋1，2k)    ……12'

17、(湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題)如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

    （1） 要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

    （2） 若|AN| （單位：米），則當(dāng)AM、AN的長度是多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

解：設(shè)AN的長為x米（x ＞2）

    ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝

（1）由S_AMPN ＞ 32 得  ＞ 32 ，

    ∵x ＞2，∴，即（3x－8）（x－8）＞ 0

    ∴    即AN長的取值范圍是

（2）令y＝，則y′＝

∵當(dāng)，y′＜ 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即（平方米）

此時(shí)|AN|＝3米，|AM|＝米

18、(山東省平邑第一中學(xué)2009屆高三元旦競賽試題)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。

（I） 寫出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P＝；

      寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q＝；

（II）     認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿收益最大？

（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/kg，時(shí)間單位：天）

本小題主要考查函數(shù)圖象建立的函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。

     解：（I）由圖一可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

     由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

       ，                 

（II）設(shè)時(shí)刻的純收益為，則由題意得

   ，

 即              

 當(dāng)時(shí)，配方整理得

     ，

 所以，當(dāng)＝50時(shí)，取得區(qū)間上的最大值100；

當(dāng) 時(shí)，配方整理得

    ，

所以，當(dāng)時(shí)，取得區(qū)間上的最大值87.5；

綜上，由100＞87.5可知，在區(qū)間上可以取最大值100，此時(shí)， ，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大。

19、(西南師大附中高2009級(jí)第三次月考)已知

（1）若p ＞ 1時(shí)，解關(guān)于x的不等式；

（2）若對(duì)時(shí)恒成立，求p的范圍．

解：(1) ???????????????????????? 1分

①??????????? 3分

② p ＝ 2時(shí)，解集為?????????????? 5分

③ p ＞ 2時(shí)，解集為??????????? 7分

(2)

????????????????????? 8分

∴ 恒成立

∴ 恒成立??????????? 9分

∵ 上遞減?????????????? 10分

∴ ??????????????????????? 11分

∴ p ＞ 2 ??????????????????????????? 12分

20、(天津市漢沽一中2008~2008學(xué)年度第五次月考)已知函數(shù),（ x＞0）．

（I）當(dāng)0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時(shí)，求證：ab＞1；

（II）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y＝f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

（III）若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?[a，b]時(shí)，值域?yàn)?[ma，mb]

(m≠0),求m的取值范圍．

解：（I） ∵x＞0，∴

∴f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，

可得 0＜a1＜b和．

即．

∴2ab＝a＋b＞．……………………………………3分

故，即ab＞1．……………………………………4分

 （II）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．

     若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y＝的定義域、值域都是

[a，b]，則a＞0．

①   當(dāng)時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù)．

故     即 

解得  a＝b．

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………6分

②     當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．

故     即 

此時(shí)a，b是方程的根，此方程無實(shí)根．

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………8分

③     當(dāng)，時(shí)，

由于，而，

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

      綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………10分

（III）若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]．

      則a＞0，m＞0．

①       當(dāng)時(shí)，由于f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，故．此時(shí)刻得a,b異號(hào)，不符合題意，所以a，b不存在．

②       當(dāng)或時(shí)，由（II）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函數(shù)，

     ∴        即 

a，  b是方程的兩個(gè)根．

即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根．……………………12分

設(shè)這兩個(gè)根為，．

則＋＝，?＝．

∴       即 

解得   0＜m＜．

    故m的取值范圍是0＜m＜．…………………………………………14分

21、(山西省太原五中2008―2009學(xué)年度高三上學(xué)期10月月考)解關(guān)于 的不等式

解：原不等式等價(jià)于

綜上：  

22、(四川省成都市2008―2009學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)期末綜合測(cè)試)已知直線過點(diǎn)M(2,1),且分別與正半軸交于A,B兩點(diǎn).O為原點(diǎn).

     (1) 當(dāng)面積最小時(shí),求直線的方程;

     (2) 當(dāng)值最小時(shí), 求直線的方程.

即這時(shí)的面積函數(shù)為增函數(shù)，不存在最值。因此只考慮與軸正向相交的

情況，此時(shí)斜率。

設(shè) 則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。

故，即。

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。

或

23、(安徽省巢湖市2009屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))設(shè)二次函數(shù)，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為.

 （Ⅰ）若求不等式的解集；

（Ⅱ）若且，比較與的大�。�

解：（Ⅰ）由題意知，　　　　　…………………２分

當(dāng)時(shí)，不等式 即為.

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為. ………………………6分

（Ⅱ）

且，

    即．            ………………………………12分

24、(江蘇省梁寨中學(xué)08－09學(xué)年高三年級(jí)調(diào)研考試)某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝）

解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則

     令  得  

     當(dāng)  時(shí)，  ；當(dāng) 時(shí)，

因此 當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層．

25、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)解關(guān)于的不等式：(1) x²－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．

解：(1)原不等式可化為：若a＞1時(shí)，解為1＜x＜a，若a＞1時(shí)，

解為a＜x＜1，若a＝1時(shí)，解為

(2)△＝．  

①當(dāng)，△＞0．

方程有二實(shí)數(shù)根：

∴原不等式的解集為

①當(dāng)＝±4 時(shí)，△＝0，兩根為

若則其根為－1，∴原不等式的解集為．

若則其根為1，∴原不等式的解集為．

②當(dāng)－4＜時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．∴原不等式的解集為R．

26、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)集合A＝{x|x²＋3k²≥2k(2x－1)}，B＝{x|x²－(2x－1)k＋k²≥0}，且AB，試求k的取值范圍．

 解：，比較

因?yàn)?sub>

(1)當(dāng)k＞1時(shí)，3k－1＞k＋1，A＝{x|x≥3k－1或x}.

(2)當(dāng)k＝1時(shí)，x.

(3)當(dāng)k＜1時(shí)，3k－1＜k＋1，A＝.

B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式，

(1)當(dāng)k＝0時(shí)，.

(2)當(dāng)k＞0時(shí)，△＜0，x.

(3)當(dāng)k＜0時(shí)，.

故：當(dāng)時(shí)，由B＝R，顯然有A，

當(dāng)k＜0時(shí)，為使A，需要k，于是k時(shí)，.

綜上所述，k的取值范圍是：

27、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 解： (１)當(dāng)m²－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1時(shí)，

①若m＝3，原不等式解集為R

②若m＝－1，原不等式化為4x－1＜0

∴原不等式解集為｛x｜x＜＝，不合題設(shè)條件.

(２)若m²－2m－3≠0，依題意有

  即

∴－＜m＜3?

綜上，當(dāng)－＜m≤3時(shí)，不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集為R.

28、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知二次函數(shù)y＝x²＋px＋q，當(dāng)y＜0時(shí)，有－＜x＜，解關(guān)于x的不等式qx²＋px＋1＞0．

 解： 由已知得x₁＝－，x₂＝是方程x²＋px＋q＝0的根，

∴－p＝－＋   q＝－×

∴p＝，q＝－，∴不等式qx²＋px＋1＞0

即－x²＋x＋1＞0

∴x²－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx²＋px＋1＞0的解集為｛x｜－2＜x＜3｝.

29、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)p與q的值．

 解：由不等式的解集為，得

2和4是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．(如圖)

       解得

30、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)，若，，, 試證明：對(duì)于任意，有.

解：∵ ,

∴ ,

∴ .∴ 當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

31、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足.  當(dāng)時(shí)，證明.

證明：由題意可知.

,∴ ,

∴  當(dāng)時(shí)，.

又,

    ∴  ,

綜上可知，所給問題獲證.

32、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知關(guān)于x的二次方程x²＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.

解：(1)條件說明拋物線f(x)＝x²＋2mx＋2m＋1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得

∴.

(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組

(這里0＜－m＜1是因?yàn)閷?duì)稱軸x＝－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)

得－＜m≤1－

33、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c和一次函數(shù)g(x)＝－bx，其中a、b、c滿足a＞b＞c,a＋b＋c＝0,(a,b,c∈R).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍.

 (1)證明：由消去y得ax²＋2bx＋c＝0

Δ＝4b²－4ac＝4(－a－c)²－4ac＝4(a²＋ac＋c²)＝4［(a＋c²］

∵a＋b＋c＝0,a＞b＞c,∴a＞0,c＜0

∴c²＞0,∴Δ＞0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).

(2)解：設(shè)方程ax²＋bx＋c＝0的兩根為x₁和x₂,則x₁＋x₂＝－,x₁x₂＝.

|A₁B₁|²＝(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂

∵a＞b＞c,a＋b＋c＝0,a＞0,c＜0

∴a＞－a－c＞c,解得∈(－2,－)

∵的對(duì)稱軸方程是.

∈(－2,－)時(shí)，為減函數(shù)

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().

34、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知實(shí)數(shù)t滿足關(guān)系式 (a＞0且a≠1)

(1)令t＝a^x,求y＝f(x)的表達(dá)式；

(2)若x∈(0,2時(shí)，y有最小值8，求a和x的值.

解：(1）由log_a得log_at－3＝log_ty－3log_ta

由t＝a^x知x＝log_at，代入上式得x－3＝,?

∴l(xiāng)og_ay＝x²－3x＋3，即y＝a (x≠0).

(2)令u＝x²－3x＋3＝(x－)²＋ (x≠0),則y＝a^u

①若0＜a＜1,要使y＝a^u有最小值8，

則u＝(x－)²＋在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a＞1,要使y＝a^u有最小值8，則u＝(x－)²＋,x∈(0,2應(yīng)有最小值

∴當(dāng)x＝時(shí)，u_min＝,y_min＝

由＝8得a＝16.∴所求a＝16,x＝.

35、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)如果二次函數(shù)y＝mx²＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.

解：∵f(0)＝1＞0

(1)當(dāng)m＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.

(2）當(dāng)m＞0時(shí)，則解得0＜m≤1

綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.

36、二次函數(shù)f(x)＝px²＋qx＋r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足＝0,其中m＞0,求證：

(1)pf()＜0;

(2)方程f(x)＝0在(0，1)內(nèi)恒有解.

證明：(1)

,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m＞0,所以，pf()＜0.

(2)由題意，得f(0)＝r,f(1)＝p＋q＋r

①當(dāng)p＜0時(shí)，由(1）知f()＜0

若r＞0,則f(0)＞0,又f()＜0,所以f(x)＝0在(0，)內(nèi)有解;

若r≤0,則f(1)＝p＋q＋r＝p＋(m＋1)＝(－)＋r＝＞0,

又f()＜0,所以f(x)＝0在(,1)內(nèi)有解.

②當(dāng)p＜0時(shí)同理可證.

37、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)一個(gè)小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價(jià)P(元/件)之間的關(guān)系為P＝160－2x,生產(chǎn)x件的成本R＝500＋30x元.

(1)該廠的月產(chǎn)量多大時(shí)，月獲得的利潤不少于1300元？

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

解：(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得?

y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x²＋130x－500

由y≥1300知－2x²＋130x－500≥1300

∴x²－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時(shí)，月獲利不少于1300元.

(2）由(1）知y＝－2x²＋130x－500＝－2(x－)²＋1612.5

∵x為正整數(shù)，∴x＝32或33時(shí)，y取得最大值為1612元，

∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí)，可獲得最大利潤1612元.

38、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1．(1)證明：|c|≤1；

　　(2)證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；

解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因?yàn)?∈[－1，1])．

　　所以當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，

39、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足.  且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明：.

解：由題意 .

它的對(duì)稱軸方程為

由方程的兩個(gè)根滿足, 可得

且,

∴ ，

即  ，   而

故  .

40、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練) 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和.

（1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；

（2）如果，，求的取值范圍.

解：設(shè)，則的二根為和.

（1）       由及，可得  ，

即   ，

即 

兩式相加得，所以，;

（2）由, 可得  .

又，所以同號(hào).

∴ ，等價(jià)于或,

即     或

解之得  或.

41、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè),f(0)＞0，f(1)＞0,求證：

(Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

證明：（I）因?yàn)?sub>，

所以.

由條件，消去，得

；

由條件，消去，得

，.

故.

（II）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

在的兩邊乘以，得.

又因?yàn)?sub>

而

所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根。

故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

42、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示：

（1）試判斷 及 的符號(hào)；

（2）若|OA|＝|OB|，試證明 。

解析：解本題主要是應(yīng)用拋物線的幾何特性（張口方向，對(duì)稱軸，截距，與 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)）及函數(shù)零點(diǎn)（方程）的有關(guān)知識(shí)，即

（1）由拋物線張口方向、對(duì)稱軸位置、截距及與 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，立即可得： ， 。

（2）由方程 結(jié)論

43、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)m為何值時(shí)，關(guān)于 的方程 的兩根：

（1）為正數(shù)根；（2）為異號(hào)根且負(fù)根絕對(duì)值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）兩根在0，2之間。

解析：關(guān)于方程根的討論，結(jié)合二次函數(shù)圖象與 軸的交點(diǎn)位置的充要條件即可求：即設(shè)方程兩根為 則

1） ；

（2） ；

（3） ；

4） ；

（5）

44、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)證明關(guān)于 的不等式 與 ，當(dāng) 為任意實(shí)數(shù)時(shí)，至少有一個(gè)桓成立。

解析：證明不等式恒成立，實(shí)質(zhì)是證明對(duì)應(yīng)拋物線恒在 軸的上方或下方的問題，故只要求拋物線恒在 軸上方或下方的充要條件即可。

即由 恒成立 對(duì)應(yīng)拋物線恒在 軸下方

；

由 恒成立 對(duì)應(yīng)拋物線恒在 軸上方

。

因此,當(dāng) 為任意實(shí)教時(shí)，上述兩充要條件至少有一個(gè)成立，命題得證。

45、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知關(guān)于 的方程 兩根為 ，試求 的極值。

解析：求 的極值，即應(yīng)用方程根與系數(shù)的關(guān)系和判別式，求二次函數(shù)的條件極值的問題。即 為方程的兩根 ，

，又

46、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)若不等式 對(duì)一切x恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.

解析：∵x²－8x＋20＝(x－4)²＋4＞0, ∴ 只須mx²－mx－1＜0恒成立，即可：

①當(dāng)m＝0時(shí)，－1＜0,不等式成立；②當(dāng)m≠0時(shí)，則須

     解之：－4＜m＜0.由（1）、（2）得：－4＜m≤0.

47、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練) 設(shè)不等式ax²＋bx＋c＞0的解集是{x|a＜x＜β}(0＜a＜β),求不等式cx²＋bx＋a＜0的解集.

分析：由題∴cx²＋bx＋a＜0的解集是

{x|x＜ 或x＞}．

48、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若m、n∈［－1，1］，m＋n≠0時(shí)＞0 

(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)；

(2)解不等式  f(x＋)＜f()；

(3)若f(x)≤t²－2at＋1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍 

(1)證明  任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈［－1，1］，則f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁)＋f(－x₂)＝?(x₁－x₂)

∵－1≤x₁＜x₂≤1，

∴x₁＋(－x₂)≠0，由已知＞0，又 x₁－x₂＜0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數(shù) 

(2)解  ∵f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，

∴  解得  {x|－≤x＜－1，x∈R}

(3)解  由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，且f(1)＝1，

故對(duì)x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，

所以要f(x)≤t²－2at＋1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t²－2at＋1≥1成立，

故t²－2at≥0，記g(a)＝t²－2at，對(duì)a∈［－1，1］，g(a)≥0，

只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，

解得，t≤－2或t＝0或t≥2 

∴t的取值范圍是  {t|t≤－2或t＝0或t≥2} 

49、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)不等式x²－2ax＋a＋2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 

解  M［1，4］有兩種情況  其一是M＝，此時(shí)Δ＜0；其二是M≠，此時(shí)Δ＝0或Δ＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍 

設(shè)f(x)＝x² －2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)²－(4a＋2)＝4(a²－a－2)

(1)當(dāng)Δ＜0時(shí)，－1＜a＜2，M＝［1，4］

(2)當(dāng)Δ＝0時(shí)，a＝－1或2 

當(dāng)a＝－1時(shí)M＝{－1}［1，4］；當(dāng)a＝2時(shí)，m＝{2}［1，4］ 

(3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，a＜－1或a＞2 

設(shè)方程f(x)＝0的兩根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M＝［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4

即，解得  2＜a＜，

∴M［1，4］時(shí)，a的取值范圍是(－1，) 

50、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1)

解  原不等式可化為  ＞0，

①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解 

由于

∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，＋∞) 

②當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解 

由于,

若a＜0，,解集為(，2)；

若a＝0時(shí)，，解集為；

若0＜a＜1，,解集為(2，)

綜上所述  當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，＋∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2） 

51、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)函數(shù)f(x)＝a^x滿足條件  當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＞1；當(dāng)x∈(0，1時(shí)，不等式f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 

解  由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)，x∈(0，1恒成立 

在x∈(0，1恒成立 

整理，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，恒成立，

即當(dāng)x∈(0，1時(shí)，恒成立，

且x＝1時(shí)，恒成立，

∵在x∈(0，1上為減函數(shù)，∴＜－1，

∴m＜恒成立m＜0 

又∵，在x∈(0，1上是減函數(shù)，∴＜－1 

∴m＞恒成立m＞－1

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，恒成立m∈(－1，0)        ①

當(dāng)x＝1時(shí)，，即是∴m＜0         ②

∴①、②兩式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1時(shí)，

f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)恒成立，m的取值范圍是(－1，0)

52、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)，求關(guān)于不等式的解集。

解集為

53、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)解關(guān)于。

①若；

②若；

③若。

54、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知

求證：（1）；（2）。

證明：（1），

        ，

（2）首先易證

55、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)某種商品原來定價(jià)每件p元，每月將賣出n件。假若定價(jià)上漲，每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的z倍。

（1）       若時(shí)的值；

（2）        ，求使售貨金額比原來有所增加的的取值范圍。

解：該商品定價(jià)上漲成時(shí)，上漲后的定價(jià)、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是

因而有：

（2）

56、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，。

（1）       求證：如果；

（2）       判斷（1）中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論；

（3）       解不等式。

（1）       證明：當(dāng)

（2）（1）中命題的逆命題為：   ①

    ①的逆否命題是：         ②

仿（1）的證明可證②成立，又①與②互為逆否命題，故①成立，即（1）中命題的逆命題成立。

（2）       根據(jù)（2），所解不等式等價(jià)于

。

57、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)奇函數(shù)上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使對(duì)所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實(shí)數(shù)m；若不存在，說明理由。

解：易知，

因此，滿足條件的實(shí)數(shù)m存在，它可取內(nèi)的一切值。

58、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)數(shù)列滿足

     （Ⅰ） 證明：對(duì)一切正整數(shù)成立；

（Ⅱ）令判斷與的大小，并說明理由.

解析：（Ⅰ）證法一：

①當(dāng)時(shí)，不等式成立，

②假設(shè)時(shí)，成立

當(dāng)時(shí)，

時(shí)，成立

由①②可知，對(duì)一切正整數(shù)成立.

證法二：由遞推公式可得

…

上述各式相加并化簡得

又時(shí)，成立，故

（Ⅱ）解法一：

故

解法二：

故.因此

59、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)使,，求證：

(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

解析：(Ⅰ)因?yàn)?sub>,所以

又,消去,得,

由消去,得

所以

(Ⅱ)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

又兩邊乘以得

,又

而

所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根,即方程在有兩個(gè)實(shí)根

60、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:

證明:（Ⅰ）;(Ⅱ).

解析：（Ⅰ）先用數(shù)學(xué)歸納法證明

①當(dāng)時(shí),由以知,結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即.

因?yàn)?sub>時(shí).所以在上是增函數(shù).

又在上連續(xù),從而

即

故當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.

由①②可知對(duì)一切正整數(shù)都成立.

又因?yàn)?sub>時(shí),

所以.

綜上所述.

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)

由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí),

從而.

所以在上是增函數(shù),又在上連續(xù),且.

所以當(dāng)時(shí),成立,所以

即,故

61、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知函數(shù),數(shù)列滿足:,

(1)證明:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.

（2）證明：

解析：本題以函數(shù)、數(shù)列為載體，考查不等式證明的基本方法，在證明的過程中，要對(duì)所證的不等式適當(dāng)變形、合理放縮.

(1)證明:由題意得

所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列

（2）證明：由(1)的證明過程可知，

所以

故

62、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)若關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集

解：由不等式的解集是得

是方程的兩個(gè)根，故

又所以                  

不等式即

或                       

所以不等式的解集是.      

63、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)都是正實(shí)數(shù),求證:

證明：因?yàn)?sub>都是正實(shí)數(shù)，

上述各式相加，得：

64、、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)，解關(guān)于的不等式   

解：設(shè)則原不等式化為

①當(dāng)時(shí)，所以

②當(dāng)時(shí)，所以

③當(dāng)時(shí)，所以

綜上所述：

即                                            

⑴當(dāng)時(shí)，由得

（2）當(dāng)時(shí)，由得                

所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是                      

65、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)過點(diǎn)作直線交正半軸于兩點(diǎn).

(1)若取到最小值,求直線的方程

(2)若的面積取到最小值,求直線的方程

解：設(shè)直線的方程為：則，

（1）

當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)取等號(hào).

此時(shí)，直線的方程是：                

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)取等號(hào).

此時(shí)，直線的方程是：.

66、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)函數(shù)正實(shí)數(shù)滿足，且

（1）求證：;         （2）求證：

證明：（1）由得

，，得

，所以                      

（2）由得

，得，

所以，又

67、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知函數(shù),數(shù)列滿足:,

(1)設(shè)證明:   （2）證明：

證明：（1）因?yàn)?sub>,數(shù)列滿足:,

所以

＝（

所以 ：                                        

（2）由（1）得

所以

即

68、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)（1）設(shè)a＞0，b＞0且，試比較a^ab^b與a^bb^a的大小。

（2）已知函數(shù)，，試比較與的大�。�

解：(1)根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，可考慮用比值比較法。

當(dāng)a＞b＞0時(shí)，,則，于是a^ab^b＞a^bb^a

當(dāng)b＞a＞0時(shí)，,則，于是a^ab^b＞a^bb^a

綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a,b，都有a^ab^b＞a^bb^a

解(2)作差―＝

當(dāng)時(shí)，得＝。

（2）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，得＝。②當(dāng)時(shí)，得

＞。③當(dāng)時(shí)，得

＜。

綜上所述：當(dāng)或時(shí)＝。當(dāng)且時(shí)＞。當(dāng)且時(shí)＜。

69、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足條件：，其中m是正數(shù)，對(duì)于f(x)＝ax²＋bx＋c

(1)如果，證明：

(2)如果，證明：方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有解。

解：（1）

所以

（2）由于f(0)＝c,f(1)＝a＋b＋c,當(dāng)a＞0時(shí), 因?yàn)?sub>,所以

若c＞0,f(0)＝c＞0,所以方程f(x)＝0在內(nèi)有解,若c≤0,

所以方程在內(nèi)有解

當(dāng)a＜0時(shí),同理可證

故時(shí),方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有解

70、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知函數(shù)滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實(shí)數(shù)a₀，a，b滿足和

(Ⅰ)證明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)證明；

(Ⅲ)證明.

證法一：（I）任取

    和  ②

    可知 ，

    從而 .  假設(shè)有①式知

    ∴不存在

    （II）由                        ③

    可知   ④

    由①式，得   ⑤

    由和②式知，   ⑥

    由⑤、⑥代入④式，得

（III）由③式可知

  （用②式）

       （用①式）

證法二：題目中涉及了八個(gè)不同的字母參數(shù)以及它們的抽象函數(shù)值。參數(shù)量太多，讓考生們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)難以理清頭緒。因而解決問題的關(guān)鍵就在于“消元”――把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個(gè)參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾個(gè)特定變量來表示，然而再進(jìn)行運(yùn)算證明�！跋�元”的模式并不難唯一，這里提供一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)解答不同的“消元”設(shè)想，供參考。

題設(shè)中兩個(gè)主要條件是關(guān)于與的齊次式。而點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，是連接這兩點(diǎn)的弦的斜率。若欲證的不等式關(guān)系也能轉(zhuǎn)化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進(jìn)行“整體消元”。

設(shè)為不相等的兩實(shí)數(shù)，則由題設(shè)條件可得：

和。

令，

則對(duì)任意相異實(shí)數(shù)，有及，即。

由此即得；又對(duì)任意有，得函數(shù)在R上單調(diào)增，所以函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)。

如果，則，因?yàn)?sub>，所以。即不存在，使得。于是，（Ⅰ）的結(jié)論成立。

考慮結(jié)論（Ⅱ）：

因?yàn)?sub>，故原不等式為

；

當(dāng)時(shí)，左右兩邊相等；

當(dāng)時(shí)，，且，則原不等式即為：

，

令，則原不等式化為，即為。

因?yàn)?sub>，則，所以成立，即（Ⅱ）中結(jié)論成立。

再看結(jié)論（Ⅲ）：

原不等式即，

即，注意到，則，則原不等式即為

即，令，則原不等式即化為

，即，因?yàn)?sub>，則，所以

成立，即（Ⅲ）的結(jié)論成立。

在一般的“消元”方法中，本題三個(gè)小題中不等關(guān)系的證明過程差異較大。尤其是（Ⅱ）與（Ⅲ），許多尖子學(xué)生證明了（Ⅱ）的結(jié)論而不能解決（Ⅲ）。

借助斜率k“整體消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等關(guān)系都轉(zhuǎn)化為相同的不等關(guān)系，然后由條件推證，有獨(dú)到之處。

71、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)己知，

（1）

（2），證明：對(duì)任意，的充要條件是；

（3）討論：對(duì)任意，的充要條件。

證明：（1）依題意，對(duì)任意，都有

（2）充分性：

必要性：對(duì)任意

（3）

即

 而當(dāng)

72、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

解：設(shè)2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。

由題意得

73、（溫州十校2008學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題）上海某玩具廠生產(chǎn)套2008年奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃”所需成本費(fèi)用為元，且，而每套售出的價(jià)格為元，其中 ，

   （1）問：該玩具廠生產(chǎn)多少套“福娃”時(shí)，使得每套“福娃”所需成本費(fèi)用最少？

   （2）若生產(chǎn)出的“福娃”能全部售出，且當(dāng)產(chǎn)量為150套時(shí)利潤最大，此時(shí)每套價(jià)格為30元，求的值．（利潤 ＝ 銷售收入 ― 成本）

[解]（1）每套“福娃”所需成本費(fèi)用為

     _{…………………………4分}

                    _{…………………………5分}

當(dāng)，  即x＝100時(shí)，每套“福娃”所需成本費(fèi)用最少為25元. ……7分

（2）利潤為

＝（_{……－－－11分}

_{由題意，                      ……………………14分}

_{解得      a＝ 25，   b＝ 30.                       ……………………15分}

74、(安徽省六安中學(xué)2009屆高三第六次月考)已知函數(shù)f(x)＝,g(x)＝x²－3ax＋2a²(a＜0)，若不存在實(shí)數(shù)x使得f(x)＞1和g(x)＜0同時(shí)成立，試求a的范圍.

解:由f(x)＞1，得＞1,化簡整理得＜0.

解得－2＜x＜－1或2＜x＜3.

即f(x)＞1的解集為A＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}.

由g(x)＜0得x²－3ax＋2a²＜0,即(x－a)(x－2a)＜0(a＜0).

則g(x)＜0的解集為B＝{x|2a＜x＜a,a＜0}.

根據(jù)題意，有A∩B＝.因此，a≤－2或－1≤2a＜0.

故a的范圍是{a|a≤－2或－≤a＜0}.

75、(江蘇省南通通州市高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測(cè)試)證明不等式：

證明：

＜                                            6′

=2－

＜2                                                              10′