北京市2009屆高三數(shù)學期末試題分類匯總-圓錐曲線

1、(2009崇文區(qū))已知點,直線,點Bl上的動點, 過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P,則點P的軌跡是                                                   A

    (A)拋物線                   (B)橢圓            (C)雙曲線的一支     (D)直線

3、(2009豐臺區(qū)).雙曲線的焦點坐標為(    )D  

       A.(? 1,0),(1,0)                                          B(? 3,0),(3,0)

C.(0,? 1),(0,1)                                          D.(0,? 3),(0,3)

4、(2009東城區(qū))已知垂直豎在水平地面上相距20米的兩根旗桿的高分別為10米15米,地面上的動點到兩旗桿頂點的仰角相等,則點的軌跡是(   )B

    A.橢圓               B.圓             C.雙曲線                D.拋物線

5、(2009海淀區(qū))拋物線的準線方程為                      (    )A 

       A.             B.             C.             D.

6、(2009西城區(qū))已知圓的圓心為M,設A為圓上任一點,,線段AN的垂直平分線交MA于點P,則動點P的軌跡是    (   )B

A. 圓                                 B. 橢圓        

C. 雙曲線                             D. 拋物線

7、(2009崇文區(qū))已知橢圓的中心在坐標原點,左頂點,離心率,為右焦點,過焦點的直線交橢圓、兩點(不同于點).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)當時,求直線PQ的方程;

(Ⅲ)判斷能否成為等邊三角形,并說明理由.

解:(Ⅰ)設橢圓方程為 (a>b>0) ,

由已知

                ----------------------------------2分

      ∴ 橢圓方程為.           ---------------------------------------------4分

(Ⅱ)解法一

橢圓右焦點

設直線方程為∈R).          -------------------------------5分

    得.①          -----------6分

顯然,方程①的

,則有.     ----7分

    

,

解得

∴直線PQ 方程為,即.    ----------9分

解法二: 橢圓右焦點

當直線的斜率不存在時,,不合題意.

設直線方程為,            --------------------------------------5分

  得.   ①     ----6分

顯然,方程①的

,則.      --------7分

   

    =

,解得

∴直線的方程為,即.  --------9分

   (Ⅲ)不可能是等邊三角形.   ------------------------------------------------11分

     如果是等邊三角形,必有

      ∴,

,

,

,

,

     ∴,或(無解).

     而當時,,不能構成等邊三角形.

     ∴不可能是等邊三角形.--------------------------------------------------------14分

8、(2009豐臺區(qū))設橢圓M:(a>b>0)的離心率為,長軸長為,設過右焦點F傾

斜角為的直線交橢圓M于A,B兩點。

       (Ⅰ)求橢圓M的方程;

(Ⅱ)求證| AB | =;

(Ⅲ)設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C,D,求|AB| + |CD|的最小

值。

解:(Ⅰ)所求橢圓M的方程為…3分

       (Ⅱ)當,設直線AB的斜率為k = tan,焦點F ( 3 , 0 ),則直線AB的方程為

              y = k ( x ? 3 )         有( 1 + 2k2 )x2 ? 12k2x + 18( k2 ? 1 ) = 0

              設點A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )             有x1 + x2 =, x1x2 =

              |AB| = ** … 6分

              又因為   k = tan=          代入**式得

              |AB| = ………… 8分

              當=時,直線AB的方程為x = 3,此時|AB| =……………… 10分

              而當=時,|AB| ==          

綜上所述       所以|AB| =

       (Ⅲ)過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C,D,

              同理可得       |CD| == ……………………… 12分

              有|AB| + |CD| =+=

              因為sin2∈[0,1],所以  當且僅當sin2=1時,|AB|+|CD|有

最小值是  ………………………… 14分

9、(2009昌平區(qū))直線與拋物線相交于A、B兩點,O為拋物線的頂點,若.證明:直線過定點.

證明:

(I)當直線有存在斜率時,設直線方程為,顯然.………2分

聯(lián)立方程得:消去

由題意:           ……………………5分

又由,          …………… …………………………7分

,解得     ………………………………………9分

故直線的的方程為:,故直線過定點    ……………11分

(II)當直線不存在斜率時,設它的方程為,顯然

聯(lián)立方程得: ,即

又由,即,解得  

可知直線方程為:,故直線過定點                            

綜合(1)(2)可知,滿足條件的直線過定點.………………………13分

10、(2009東城區(qū))已知橢圓的對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,又點在橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知直線的方向向量為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.

解: (Ⅰ)由已知拋物線的焦點為,故設橢圓方程為.

        將點代入方程得,整理得,

         解得(舍).

        故所求橢圓方程為. …………………………………………6分

 (Ⅱ)設直線的方程為,設

代入橢圓方程并化簡得,               ………………9分

,可得 .        ( )

,

.                          

又點的距離為,                             ………………11分

,

當且僅當,即時取等號(滿足式)

所以面積的最大值為.                        ………………13分

 

11、(2009海淀區(qū))已知點A(0,1)、B(0,-1),P為一個動點,且直線PA、PB的斜率之積為

   (I)求動點P的軌跡C的方程;

   (II)設Q(2,0),過點(-1,0)的直線交于C于M、N兩點,的面積記為S,若對滿足條件的任意直線,不等式的最小值。

解:(I)設動點P的坐標為

       由條件得…………3分

       即

       所以動點P的軌跡C的方程為…………5分

       注:無扣1分

   (II)設點M,N的坐標分別是

       當直線

       所以

       所以…………7分

       當直線

       由

       所以…………9分

       所以

       因為

       所以

       綜上所述…………11分

       因為恒成立

       即恒成立

       由于

       所以

       所以恒成立!13分

       所以…………14分

       注:沒有判斷為銳角,扣1分

12、(2009西城區(qū))已知拋物線,點M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點,O為坐標原點.

(Ⅰ)若m=1,l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;

(Ⅱ)若存在直線l使得成等比數(shù)列,求實數(shù)m的取值范圍.

(Ⅰ)解:由題意,得,直線l的方程為.

, 得,

設A, B兩點坐標為,  AB中點P的坐標為,

,

故點           -----------------3分

所以,

故圓心為, 直徑,

所以以AB為直徑的圓的方程為;     --------------6分

方法一:(Ⅱ)解:設A, B兩點坐標為, .

,

      所以                     1             

      因為點A, B在拋物線C上,

      所以,                     2            

      由12,消去.                     ------------------10分

      若此直線l使得成等比數(shù)列,則

      即,所以

      因為,,所以,

整理得,             3      --------------------12分

      因為存在直線l使得成等比數(shù)列,

所以關于x1的方程3有正根,

      因為方程3的兩根之積為m2>0, 所以只可能有兩個正根,

      所以,解得.

故當時,存在直線l使得成等比數(shù)列.  ----------14分

方法二:(Ⅱ)解:設使得成等比數(shù)列的直線AB方程為,

當直線AB方程為時, ,

因為成等比數(shù)列,

所以,即,解得m=4,或m=0(舍)------8分

當直線AB方程為時,

    由,得,

設A, B兩點坐標為,

,                         1   

由m>0, 得.

因為成等比數(shù)列, 所以,

所以,               2 

   因為A, B兩點在拋物線C上,

所以,                  3---------------11分

   由123,消去,

,

因為存在直線l使得成等比數(shù)列,

所以,

       綜上,當時,存在直線l使得成等比數(shù)列.  ----------------------14分

 

 

 


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