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湖南省2009屆高三十二校聯(lián)考第一次考試學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

文科數(shù)學(xué)試卷學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

總分：100分時量：90分鐘 2009年3月8日學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

長郡中學(xué)；衡陽八中；永州四中；岳陽縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中

石門一中；澧縣一中；郴州一中；益陽市一中；桃源縣一中；株洲市二中

由聯(lián)合命題學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

1．設(shè)集合則等于（）學(xué)科網(wǎng)

試題詳情

A. B. C. D.學(xué)科網(wǎng)

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2．在含有30個個體的總體中，抽取一個容量為5的樣本，則個體甲被抽到的概率是（）學(xué)科網(wǎng)

試題詳情

A. B. C. D.學(xué)科網(wǎng)

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3．公差不為0的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）學(xué)科網(wǎng)

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A.2 B.4 C.8 D.16學(xué)科網(wǎng)

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4．函數(shù)具有性質(zhì)（）學(xué)科網(wǎng)

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A.圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，最大值為2 學(xué)科網(wǎng)

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B.圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，最大值為2 學(xué)科網(wǎng)

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C.圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，最大值為1學(xué)科網(wǎng)

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D.圖象關(guān)于直線x=對稱，最大值為1學(xué)科網(wǎng)

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5．已知直線l和平面α、β滿足這三個關(guān)系中，以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論所構(gòu)成的命題中，真命題的個數(shù)是（）學(xué)科網(wǎng)

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A.0 B.1 C.2 D.3學(xué)科網(wǎng)

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6．已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時，f(x)=x-2，則不等式f(x)<的解集是（）學(xué)科網(wǎng)

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A.{x｜0<x<} B.{ x｜<x<0}學(xué)科網(wǎng)

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C.{ x｜<x<0或0≤x<} D.{ x｜x<或0≤x<)學(xué)科網(wǎng)

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7．拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的漸近線方程是（）學(xué)科網(wǎng)

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A. B. C. D.學(xué)科網(wǎng)

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8．已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，則的取值范圍是（）　　　　學(xué)科網(wǎng)

試題詳情

A. B. C. D.學(xué)科網(wǎng)

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9．已知直線與圓C：相交于A、B兩點(diǎn)，且的面積是，則的值是（）學(xué)科網(wǎng)

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A. B. C. D.與的值有關(guān)的數(shù)學(xué)科網(wǎng)

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10．如圖，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列的前12項(xiàng)，如下表所示：學(xué)科網(wǎng)

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按如此規(guī)律下去，則（）學(xué)科網(wǎng)

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A.1003 B.1005 C.1006 D.2011學(xué)科網(wǎng)

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學(xué)科網(wǎng)

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二、填空題（本大題共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在答題卡上）學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

11．在去年抗擊雪災(zāi)的戰(zhàn)斗中，上級安排9名專家分別到衡陽、株洲、郴州3地指導(dǎo)抗災(zāi)，每地3人，則不同的安排方法數(shù)是 ___ (用數(shù)字作答).學(xué)科網(wǎng)

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12. 在的展開式中，有理項(xiàng)共有 ___項(xiàng).學(xué)科網(wǎng)

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13．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,那么 ___. 學(xué)科網(wǎng)

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14．四面體的外接球的球心在棱上，且，則在外接球球面上、兩點(diǎn)的球面距離是 ___.學(xué)科網(wǎng)

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15．如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，斜坐標(biāo)定義為學(xué)科網(wǎng)

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（其中分別為斜坐標(biāo)系的x軸,y軸學(xué)科網(wǎng)

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的單位向量），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.若學(xué)科網(wǎng)

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且動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)M在斜坐標(biāo)系中的學(xué)科網(wǎng)

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軌跡方程為 ___. 學(xué)科網(wǎng)

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三、解答題（本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 學(xué)科網(wǎng)

16. (本小題滿分12分)學(xué)科網(wǎng)

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已知.學(xué)科網(wǎng)

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（1）求的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；學(xué)科網(wǎng)

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（2）在中，、、分別是角的對邊，若的面積為，求的值.學(xué)科網(wǎng)

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17.（本小題滿分12分）學(xué)科網(wǎng)

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食品監(jiān)管部門要對某品牌食高考資源網(wǎng)版權(quán)所有品四項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)在進(jìn)入市場前進(jìn)行嚴(yán)格的檢測，如果四項(xiàng)指標(biāo)中的學(xué)科網(wǎng)

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第四項(xiàng)不合格或其他三項(xiàng)指標(biāo)中有兩項(xiàng)不合格，則這種品種的食品不能上市，已知每項(xiàng)檢測是學(xué)科網(wǎng)

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相互獨(dú)立，第四項(xiàng)指標(biāo)不合格的概率為，且其他三項(xiàng)抽檢出現(xiàn)不合格的概率均是.學(xué)科網(wǎng)

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（1）若食品監(jiān)管部門要對其四項(xiàng)指標(biāo)依次進(jìn)行嚴(yán)格的檢測，求恰好在第三項(xiàng)指標(biāo)檢測結(jié)束時能確定不能上市的概率；學(xué)科網(wǎng)

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（2）求該品牌的食品能上市的概率.學(xué)科網(wǎng)

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18．（本題滿分12分）學(xué)科網(wǎng)

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如圖,棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，學(xué)科網(wǎng)

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PA=AD=3,AB=4,Q為棱PD上一點(diǎn)，且.學(xué)科網(wǎng)

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（1）求二面角Q-AC-D的余弦值；學(xué)科網(wǎng)

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（2）求點(diǎn)C到平面PBD的距離.學(xué)科網(wǎng)

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學(xué)科網(wǎng)

學(xué)科網(wǎng)

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學(xué)科網(wǎng)

學(xué)科網(wǎng)

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19.（本大題滿分13分）學(xué)科網(wǎng)

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,學(xué)科網(wǎng)

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（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；學(xué)科網(wǎng)

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（2）若數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.學(xué)科網(wǎng)

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20．(本小題滿分13分) 學(xué)科網(wǎng)

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以F₁(0，-1)，F(xiàn)₂(0，1)為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)P(，1)．學(xué)科網(wǎng)

試題詳情

（1）求橢圓C的方程；學(xué)科網(wǎng)

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（2）過點(diǎn)S(，0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T ? 若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．學(xué)科網(wǎng)

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21.（本題滿分13分）

試題詳情

設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，取得極值.

試題詳情

（1）求的值，并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值；

試題詳情

（2）當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有兩個公共點(diǎn)，求的取值范圍.

試題詳情

一. 選擇題 : （本大題共10小題, 每小題5分, 共50分）

ABDCC DDBCB

二．填空題: （本大題共5小題, 每小題5分, 共25分）

11．1680 12.5 13.-1 14. 15.

三. 解答題: （本大題共6小題, 共75分）

16.（本小題滿分12分）

解：（1）f(x)．．．．．．3分

……4分

令　

的單調(diào)區(qū)間為,k∈Z　　　．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由得．．．．．．7分

又為的內(nèi)角．．．．．9分

　　　　　　．．．．．．．11分

　�。�12分

17.（本小題滿分12分）

解：（1）．．．．．．．5分

．．．．．．．12分

18．（本題滿分12分）

解法一：

（1）在棱取三等分點(diǎn),使,則,由⊥平面,

得⊥平面。過點(diǎn)作于，連結(jié)，

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 則，為所求二面角的平面角.

在中，，

，

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 所以，二面角的余弦值為．．．．．．6分

（2）因?yàn)?sub>，所以點(diǎn)到平面的距離等于

到平面的距離，⊥平面，

過點(diǎn)作于，連結(jié)，則，

⊥平面，過點(diǎn)作于，

則，為所求距離，

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)

所以，求點(diǎn)到平面的距離為．．．．．．12分

解法二：

證明：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、

B(4，0，0)、C(4，3，0), 由已知得，

得.

設(shè)平面QAC的法向量為，則，

即∴，令,得到平面QAC的一個法向量為

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.

設(shè)二面角P―CD―B的大小為q，依題意可得．．．．．6分

（2）由（1）得

設(shè)平面PBD的法向量為，則，

即，∴令，得到平面QAC的一個為法向量為

∵，∴C到面PBD的距離為．．．．．12分

19. （本小題滿分13分）

（1）解：當(dāng)時,,………………………………①

則當(dāng), 時,………………②

①－②，得，即

∴，∴，當(dāng)時，，則.

∴是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,∴,

∴………………………6分

（2）證明:.

∴, 則,…………③

…………………………④

③－④，得

∴.

當(dāng)時,, ∴為遞增數(shù)列,

∴.．．．．．．．13分

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com) 20．(本小題滿分13分)

解法一：

(1)設(shè)橢圓方程為(a>b>0)，由已知c=1，

又2a= .

所以a=,b²=a²-c²=1，

橢圓C的方程是x²+ =1. ．．．．．．．4分

(2)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1,

若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)²+y²=．

由解得即兩圓相切于點(diǎn)(1，０)．

因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(1，0)．事實(shí)上，點(diǎn)T(1，０)就是所求的點(diǎn)．．．．．．．．6分

證明如下：

當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.記點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則

由=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂), =(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，

所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(1,0).故在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T(1,0)滿足條件．．．．．．．13分

解法二：

(1)由已知c=1，設(shè)橢圓C的方程是(a>1)．

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以,解得a²=2，所以橢圓C的方程是：.

．．．．．．．4分

(2)假設(shè)存在定點(diǎn)T(u，v)滿足條件．同解法一得(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

記點(diǎn)A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),則

又因?yàn)?sub>=(x₁-u, y₁-v), =(x₂-u, y₂-v),及y₁=k(x₁+),y₂=k(x₂+)．

所以=(x₁-u)(x₂-u)+(y₁-v)(y₂-v)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-u-kv)(x₁+x₂)+k²-v+u²+v²

當(dāng)且僅當(dāng)?=０恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T.

?=０恒成立等價于解得u=1,v=0.

此時，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T(1，０)．當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓亦過點(diǎn)T(1，０)．所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T(1，O)滿足條件

．．．．．．．．13分

解法三：

(1)同解法一或解法二．．．．．．．．4分

(2)設(shè)坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T滿足條件，根據(jù)直線過x軸上的定點(diǎn)S及橢圓的對稱性，所求的點(diǎn)T如果存在，只能在x軸上，設(shè)T(t，O)．

同解法一得=(x₁-t,y₁),=(x₂-t,y₂)

=(x₁-t)(x₂-t)+y₁y₂=(x₁-t)(x₂-t)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-t)(x₁+x₂)+k²+t²=

當(dāng)且僅當(dāng)?=O恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T.

?=O恒成立等價于解得t=1.所以當(dāng)t=1時,以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T.

當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓亦過點(diǎn)T(1，O)．

所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T(1，O)滿足條件．．．．．．．．13分

21. (本小題滿分13分)

解：（1）由題意 …………………………1分

當(dāng)時，取得極值，所以

即 …………………3分

此時當(dāng)時，，當(dāng)時，，

是函數(shù)的最小值。 ………………………5分

（2）設(shè)，則，……8分

設(shè)，

，令解得或

列表如下：

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)

函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。

當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時,有極小值……10分

函數(shù)與的圖象有兩個公共點(diǎn)，函數(shù)與的圖象有兩個公共點(diǎn)

或 ……13分

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