∴存在實數(shù)b使得     有解，…………11分

由①得代入③得，…………12分

有解，得，

………………14分

8. _{武漢市2008屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試文科數(shù)學試題}

函數(shù)，。

(1)求證：函數(shù)與的圖象恒有公共點；

（2）當時，若函數(shù)圖象上任一點處切線斜率均小于1，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，關(guān)于的不等式的解集為空集，求所有滿足條件的實數(shù)的值。

解：（1）即證的實根。

也就是方程有非負實數(shù)根。

而

  ∴方程恒有正根

∴與圖象恒有公共點……………………………………………………（4分）

（2）由題設(shè)知時   恒成立

而

∴當時   恒成立

即

而在上單調(diào)增

∴

∴的取值范圍為……………………………………………………（8分）

（3）由題設(shè)知  當時，恒成立

記

若  則  不滿足條件

故  而

①     當 即時，在上遞減，在上遞增，

于是

∴

②     當 即時，在[0，1]上遞減，于是

矛盾

綜上所述：……………………………………………………………………（14分）

(若用分離變的方法相應(yīng)給分)

9. 武漢市2008屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試理科數(shù)學試題

（1）求證：當時，不等式對于恒成立 .

（2）對于在（0,1）中的任一個常數(shù)，問是否存在使得成立？

如果存在，求出符合條件的一個；否則說明理由。

（1）證明：(Ⅰ)在時，要使成立。

只需證：即需證：       ①

令，求導(dǎo)數(shù)

∴，又，求，故

∴為增函數(shù)，故，從而①式得證

（Ⅱ）在時，要使成立。

只需證：，即需證：         ②

令，求導(dǎo)數(shù)得

而在時為增函數(shù) ,故，從而

∴在時為減函數(shù)，則，從而②式得證

由于①②討論可知，原不等式在時，恒成立…………（6分）

（2）解：將變形為       ③

要找一個X₀>0，使③式成立，只需找到函數(shù)的最小值，

滿足即可，對求導(dǎo)數(shù)

令得，則x= -lna，取X₀= -lna

在0< x < -lna時，，在x > -lna時，

在x=-lna時，取得最小值

下面只需證明：，在時成立即可

又令，對關(guān)于求導(dǎo)數(shù)

則，從而為增函數(shù)

則，從而得證

于是的最小值

因此可找到一個常數(shù)，使得③式成立   ……………………（14分）

10. 2008年電白四中高三級2月測試卷

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

       （1） 要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

       （2） 若|AN| （單位：米），則當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

 解：設(shè)AN的長為x米（x >2）

       ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

       ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

       ∴       即AN長的取值范圍是----------- 8分

（2）令y＝，則y′＝  -------------- 10分

∵當，y′< 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴當x＝3時y＝取得最大值，即（平方米）

此時|AN|＝3米，|AM|＝米      ---------------------- 12分

11. 成都外國語學校高2008級二月月考數(shù)學試題

把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象。

（1）若證明：。

（2）若不等式對于及恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

解：（1）由題設(shè)得，令則在上是增函數(shù)。故即。

（2）原不等式等價于。

令則。

令得列表如下（略）

當時，。

令則解得或。

12. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且其前項和為，又正項數(shù)列滿足

⑴求數(shù)列的通項公式；

⑵比較的大小；

⑶求數(shù)列的最大項；

⑷令，數(shù)列是等比數(shù)列嗎？說明理由。

解：⑴設(shè)的公差為，則

且，得，從而

故   

⑵

⑶由（2）猜想遞減，即猜想當≥時，                     

考察函數(shù)，當時

故在上是減函數(shù)，而≥

所以，即

于是猜想正確，因此，數(shù)列的最大項是   

⑷不是等比數(shù)列

由知

故不是等比數(shù)列                                                           

13. 已知函數(shù)，，的最小值恰好是方程的三個根，其中．

（1）求證：；

（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點．

①若，求函數(shù)的解析式；         ②求的取值范圍．

解：（1）三個函數(shù)的最小值依次為，，，

由，得 

∴  

，

故方程的兩根是，．

故，．

，即

∴  ．

（2）①依題意是方程的根，

故有，，

且△，得．

由

 ；得，，．

由（Ⅰ）知，故，

∴  ，

∴  ．

②

（或）． 

由（Ⅰ）

∵  ，   ∴  ，

又，   ∴  ，

，（或）

∴  ．.

14. 200８年天津市十二區(qū)縣重點學校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）

已知函數(shù)，在處取得極值為2。

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間（m，2m＋1）上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

（Ⅲ）若P（x₀，y₀）為圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍.解：（Ⅰ）已知函數(shù)，…………１分

又函數(shù)在處取得極值2，　　　　　　　　　…………２分

即            ……………………4分

（Ⅱ）由，得，即

所以的單調(diào)增區(qū)間為（－1，1）…………………………     6分

因函數(shù)在（m，2m＋1）上單調(diào)遞增，

則有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………７分

解得即時，函數(shù)在（m，2m＋1）上為增函數(shù)   ………８分

（Ⅲ）

直線l的斜率…………９分

 即  令，…………１０分

則

   即直線l的斜率k的取值范圍是      ………………1２分

15. 若函數(shù)

   （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

   （2）若對所有的成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解：（1）的定義域為                                     …………12分

                                      …………2分

       ①當…………3分

       ②時

                              …………4分

                                                        …………5分

       綜上：

       單調(diào)遞減區(qū)間為

       的單調(diào)遞增區(qū)間（0，+）         …………6分

   （2）           …………7分

                                               …………8分

       則                                                  …………9分

                                                                        …………10分

                                                    …………11分

                                                                         …………12分

       另解：              

       …………7分

                          …………8分

       單增                     …………9分

       ①當

                                                                         …………11分

       ②當

       不成立                                                            …………12分

       綜上所述

16. 山東省濰坊市2008年高三教學質(zhì)量檢測

2008年奧運會在中國召開，某商場預(yù)計2008年從1日起前x個月，顧客對某種奧運商品的需求總量p（x）件與月份x的近似關(guān)系是

該商品的進價q(x)元與月份x的近似關(guān)系是。

   （I）寫出今年第x月的需求量f(x)件與月份x的函數(shù)關(guān)系式；

   （II）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預(yù)計最大是多少元？

解：（I）當 ；                                                …………1分

當

                                                                                                         …………4分

驗證，

                                     …………5分

   （II）該商場預(yù)計銷售該商品的月利潤為

（舍去）……9分

綜上5月份的月利潤最大是3125元。      …………12分

17. 江蘇省濱�？h08屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學試卷2008-1-4

    已知函數(shù)

(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

    (2)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.試證當時，為“凹函數(shù)”

解： (1)由，得

      若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立

     即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立

令，上述問題等價于，而為在上的減函數(shù)，則，于是為所求

       (2)證明：由 得

        而  ①

        又，  ∴  ②

∵   ∴，

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即，從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)

18. 如右圖（1）示，定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對，常數(shù)A，都有≥A成立，則稱函數(shù)在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界. （提示：圖(1)、（2）中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)或零）

                                               （1）

（1）試判斷函數(shù)在（0，＋）上是否有下界？并說明理由；

（2）又如具有右圖（2）特征的函數(shù)稱為在D上有上界。請你類

比函數(shù)有下界的定義，給出函數(shù)在D上有上界的定義，并判斷（1）   

中的函數(shù)在（－， 0）上是否有上界？并說明理由；                   

（3）若函數(shù)在D上既有上界又有下界，則稱函數(shù)在D上       (2)

有界，函數(shù)叫做有界函數(shù)．試探究函數(shù)（是常數(shù)）是否是（、是常數(shù)）上的有界函數(shù)？

解法1：∵，由得，

       ∵，      ∴，-----------------2分

∵當時，，∴函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)；

當時，，∴函數(shù)在（2，＋）上是增函數(shù)；

∴是函數(shù)的在區(qū)間（0，＋）上的最小值點，

∴對，都有，------------------------------------4分

即在區(qū)間（0，＋）上存在常數(shù)A=32,使得對都有成立，

∴函數(shù)在（0，＋）上有下界. ---------------------5分   

[解法2：

當且僅當即時“＝”成立

∴對，都有，

即在區(qū)間（0，＋）上存在常數(shù)A=32,使得對都有成立，

∴函數(shù)在（0，＋）上有下界.]

（2）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以這樣定義：

定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對，常數(shù)B，都有≤B成立，則稱函數(shù)在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界. -----7分

設(shè)則，由（1）知，對，都有，

∴，∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴

∴，∴

即存在常數(shù)B=－32，對，都有,

∴函數(shù)在（－， 0）上有上界. ---------9分

（3）∵，

由得，∵

∴    ∵ ，  ∴，----------10分

∵當時，，∴函數(shù)在（0，）上是減函數(shù)；

當時，，∴函數(shù)在（，＋）上是增函數(shù)；

∴是函數(shù)的在區(qū)間（0，＋）上的最小值點， ---------------------11分

①當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；

∴

∵、是常數(shù)，∴、都是常數(shù)

令,

∴對，常數(shù)A,B,都有

即函數(shù)在上既有上界又有下界-------------------------12分

②當  時函數(shù)在上是減函數(shù)

∴對都有

∴函數(shù)在上有界.-------------------------13分

③當時，函數(shù)在上有最小值

＝

令,令B=、中的最大者

則對，常數(shù)A,B,都有

∴函數(shù)在上有界.

綜上可知函數(shù)是上的有界函數(shù)--------------14分

19. 已知函數(shù)，僅當時取得極值且極大值比極小值

   大4，求的值.

解：且是極值點

則            

僅有極值且為極大值點，為極小值點 

故   

20. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，它的圖象過點A(0,-1)，且x=1處的切線方程為2x+y-2=0。

   （1）求函數(shù)的表達式；

（2）若對任意x∈R，不等式≤都成立，求實數(shù)t的取值范圍。

解：（1）∵是偶函數(shù)，

     即恒成立。

     ∴，                          ……2分

     又由圖象過點，可知

     又∵，由題意知函數(shù)在點(1,0)的切線斜率為，

     故                                           ……4分

     ∴  ∴ ……6分

  （2）由 恒成立 ，且恒大于0，可得恒成立，

令                                       ……8分

       設(shè)

 （當且僅當                               

      ∴的最大值為  故實數(shù)t的取值范圍是  ……12分

21. 已知，（），直線與函數(shù)、的圖像都

相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1．

    （Ⅰ）求直線的方程及的值；

（Ⅱ）若（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的最大值；

（Ⅲ）當時，求證：．

解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數(shù)在點處的切線，故其斜率

，

所以直線的方程為．

    又因為直線與的圖像相切，所以由

，

得（不合題意，舍去）；

    （Ⅱ）因為（），所以

．

當時，；當時，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當時，取得最大值；

（Ⅲ）當時，．由（Ⅱ）知：當時，，即．因此，有

．

22. 某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6時起到晚上10時止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時間t（小時，且規(guī)定早上6時t＝0）的函數(shù)關(guān)系為W＝100．水塔的進水量分為10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時打開進水管，問進水量選擇為第幾級時，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會使水溢出?

    設(shè)進水量選第x級，則t小時后水塔中水的剩余量為：

y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根據(jù)題意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?

當t＝0時，結(jié)論成立．

當t＞0時，由左邊得x＞1＋10（）, 令m=，由0＜t≤16，m ≥，

記f（t）=1＋10（）=1+10m²-10m³，（m ≥）

則f¢（t）=20m ? 30 m ² =0得m = 0或m =．

∵當≤m ＜時，f¢（t）＞0；當m ＞時，f¢（t）＜0，

∴所以m =時（此時t =），f（t）最大值=1+10（）²-10（）³=≈2.48．

當t＝時，1＋10（）有最大值2.48．?

∴x＞2.48，即x≥3．

由右邊得x≤＋1，當t＝16時，＋1有最小值

＋1=∈（3，4）．即x≤3．

綜合上述，進水量應(yīng)選為第3級．

【總結(jié)點評】本題考查數(shù)學建模的基本思想，怎么樣把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，進而用已有的數(shù)學知識求這個數(shù)學問題的解。水塔中的水不空又不會使水溢出等到價于進出水量的平衡，進水量與選擇的進水級別與進水時間相關(guān)，出水量有生活用水與工業(yè)用水兩部分構(gòu)成，故水塔中水的存量是一個關(guān)于進水級別與用水時間的函數(shù)，而容量為300噸的水塔就構(gòu)成一個不等式，解之得問題的解.

23. 某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū).已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=4 AO=2km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段.如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0．1km²）.

以O(shè)為原點，OA所在直線為軸建立直角坐標系（如圖）

依題意可設(shè)拋物線的方程為

故曲線段OC的方程為 

設(shè)P（）是曲線段OC上的任意一點，則|PQ|=2+，|PN|=4－^2．

∴工業(yè)園區(qū)面積S=|PQ|?|PN|=（2+）（4－²）=8－³－2²+4. 

∴S′=－3²－4+4，令S′=0

又

當時，S′>0，S是的增函數(shù)；

當）時，S′<0，S是的減函數(shù).

時，S取到極大值，此時|PM|=2+=

而當

所以當即|PM|=，矩形的面積最大為 

答:把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為寬為時,工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積為9.5（km）

【解讀】《考試大綱》要求利用導(dǎo)數(shù)求一些實際問題的最大值和最小值，而且還要求考查實踐能力，因此運用導(dǎo)數(shù)來解決實際問題也就在高考所要求考查之列，解決這類問題的關(guān)鍵在于從實際問題中建立函數(shù)模型，然后利用導(dǎo)數(shù)來求最值.如本題根據(jù)題意建立坐標系后（這是由拋物線聯(lián)想到的）建立的是三次函數(shù)模型，而引入導(dǎo)數(shù)以后三次函數(shù)本來就是高考的�？键c，應(yīng)引起足夠的重視.

24．已知函數(shù)（，）在和處取到極值．

（1）求，和的值；

（2）求最大的正整數(shù)，使得時，

 ≤與≤同時成立．

解：（1）依題意可知，，   則：，--------------------------------2分

  則，         ，，

；------------------------------------------4分

（2）由（1）知，

的兩個根分別是和2，

令得或，令得

即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，在區(qū)間上單調(diào)增，----------------------6分

又，，，

令，得，

其有一個根為，則分解得：，得或；--------8分

令，得，

其有一個根為2，則分解得：，得或；--------10分

則要使得，，，必須滿足：；-------12分

又∵為正整數(shù)，∴最大為4，

另一方面，，

由于，則要使得，，成立，則

，即，-------14分

令，則，，

則要使得，，成立，，

（此處也可以對最大的正整數(shù)，在區(qū)間上驗證）

綜上所述，最大的正整數(shù)為4．----------------------------------------17分

25．已知：在函數(shù)的圖象上，以為切點的切線的傾斜角為．

    （Ⅰ）求，的值；

    （Ⅱ）是否存在最小的正整數(shù)，使得不等式對于恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)；如果不存在，請說明理由；

    （Ⅲ）求證：（，）．

解：（Ⅰ） ，依題意，得，即，.  …2分

     ∵  ， ∴ .                  ……………………3分

   （Ⅱ）令，得.      …………………………4分

     當時，；當時，；

     當時，.     又，，，.     因此，當時，.

 要使得不等式對于恒成立，則.

          所以，存在最小的正整數(shù)，使得不等式對于

     恒成立.    

    （Ⅲ）方法一：

    .   又∵ ，∴ ，.   

  ∴ .

     綜上可得，（，）.   ………14分

    方法二：由（Ⅱ）知，函數(shù)在 [-1，]上是增函數(shù)；在[,]上是減函數(shù)；在[，1]上是增函數(shù).又，，，.

    所以，當x∈[-1，1]時，，即.

    ∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.

    ∴ .……11分

    又∵，∴ ，且函數(shù)在上是增函數(shù).

    ∴ .      …………………13分

    綜上可得，（，）.……………14分

26. 已知函數(shù)，在x=1處連續(xù).

   （I）求a的值；

   （II）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

   （III）若不等式恒成立，求c的取值范圍.

（I）解：由處連續(xù)，

可得，故                                                          …………2分

   （II）解：由（I）得

所以函數(shù)                                             …………7分

   （III）解：設(shè)

故c的取值范圍為                                                                 …………13分

27. 設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實數(shù)根；②

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”

   （I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為D，則對于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實數(shù)根；

   （III）設(shè)是方程的實數(shù)根，求證：對于定義域中任意的.

解：（1）因為，…………2分 

       所以滿足條件………………3分

       又因為當時，，所以方程有實數(shù)根0.

       所以函數(shù)是集合M中的元素.…………4分

     （2）假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根），

       則，………5分  不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

       使得等式成立，……………………7分

       因為，所以，

       與已知矛盾，所以方程只有一個實數(shù)根；…………9分

       （3）不妨設(shè)，因為所以為增函數(shù)，所以，

       又因為，所以函數(shù)為減函數(shù)，………………10分

       所以，…………11分

       所以，即…………12分

       所以

28. 已知向量=（1，0），=（0，1），函數(shù)的圖象在軸上的截距為1，在=2處切線的方向向量為，并且函數(shù)當時取得極值。

（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求的極值。

18．）

29. 將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進行操作：沿線裁去陰影部分，把剩余的部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱（⑦為底，①②③④為側(cè)面，⑤+⑥為水箱蓋，其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），設(shè)水箱的高為x米，容積為y立方米。

   （1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

   （2）如何設(shè)計x的大小，使得水箱的容積最大？