2009屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練――抽象函數(shù)

1. 已知函數(shù)y = f (x)(x∈R，x≠0)對任意的非零實數(shù)，，恒有f()=f()+f(),

試判斷f(x)的奇偶性。

2 已知定義在[-2，2]上的偶函數(shù)，f (x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f (1-m)<f (m),求實數(shù)m的取值范圍

3. 設f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 設函數(shù)f（x）對任意都有f（=f（，                              已知f（1）=2，求f（

5. 已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f（x+2）[1－f（x）]=1+

f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。

6. 設f（x）是定義R在上的函數(shù)，對任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.

（1）求證f（0）=1；

（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù).

7. 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個遞增區(qū)間為（2，6），試判斷（4，8）是y=f(2-x)的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間？

8. 設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a，b，當a+b≠0，都有＞0

（1）.若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大�。�

（2）.若f（k＜0對x∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。

9.已知函數(shù)是定義在（-∞，3]上的減函數(shù)，已知對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

10．已知函數(shù)當時，恒有.

(1)求證: 是奇函數(shù);

(2)若.

11.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的都滿足: .

(1)求的值;

(2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;

(3)若,,求數(shù)列{}的前項和.

12.已知定義域為R的函數(shù)滿足.

(1)若

(2)設有且僅有一個實數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達式.

13.已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且,當時, >0.

(1)求;

(2)求和;

(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明.

14.函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:①對任意,有>0;②對任意,有;③.

(1)求的值;

(2)求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);

(3)若且,求證:.

15.已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且當時,.

(1)證明:;

(2)證明: 在R上單調(diào)遞減;

(3)設A=,B={},若=,試確定的取值范圍.

16.已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),設F.

(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:是R上的增函數(shù);

(2)證明:函數(shù)=的圖象關于點(成中心對稱圖形.

17.已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù),且它的圖象關于直線對稱.

(1)求的值;

(2)證明: 函數(shù)是周期函數(shù);

(3)若求當時,函數(shù)的解析式,并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個周期的圖象.

18．函數(shù)對于x>0有意義，且滿足條件減函數(shù)。

（1）證明：；

（2）若成立，求x的取值范圍。

19．設函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．

（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）試求方程=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

20. 已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區(qū)間[－2，1]上的值域。

21. 已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

22. 設函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：

（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。

23. 是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。

24. 設函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）?g（b）是否正確，試說明理由。

25. 己知函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：

①當是定義域中的數(shù)時，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數(shù)）；

③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。

答案：

1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①為了求f (-1)的值，令=1，=-1，則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得

f(-x)=f(x),可得f(x)是一個偶函數(shù)。

2. 分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分別在[-2，0]和[0，2]的哪個區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復雜，如果注意到偶函數(shù)，則f (x)有性質(zhì)f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場大規(guī)模討論。

解：∵f (x)是偶函數(shù)， f (1-m)<f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡得-1≤m<。

3. 解：因為f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函數(shù)f(x)的一個周期。又f(x)是奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，所以f(x)=0從而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x

         ，         f（1）=2，

         同理可得

5.解：從自變量值2001和1進行比較及根據(jù)已知條件來看，易聯(lián)想到函數(shù)f（x）是周期函數(shù)。由條件得f（x）≠1，故

f（x+2）=f（x+4）=.     所以f（x+8）=.

      所以f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，

      從而f（2001）=f（1）=1997

說明：這類問題出現(xiàn)應緊扣已知條件，需用數(shù)值或變量來迭代變換，經(jīng)過有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。

6.證明：（1）問題為求函數(shù)值，只需令x=y=0即可得。

     （2）問題中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），

且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）為偶函數(shù).

說明：這類問題應抓住f（x）與f（-x）的關系，通過已知條件中等式進行變量賦值。

7. 解：由y=f(x)是偶函數(shù)且在（2，6）上遞增可知，y=f(x)在（－6，－2）上遞減。令u=2-x，則當x∈(4,8)時，u是減函數(shù)且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上遞減，故y=f(2-x)在（4，8）上遞增。所以（4，8）是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

8. 解：（1）.因為a＞b，所以a-b＞0，由題意得

＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（－b）=－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）

（2）.由（1）知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜

令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1

9.解：等價于

10.（1）證明：令，得

      令，則

∴    ∴是奇函數(shù)。

（2）∵

     又∵

11.（1）解：令，則

令，則

  （2）證明：令，則，∵，∴

       令，則

       ∴是奇函數(shù)。

（3）當時，，令，則

   故，所以

∴

∵

∴，故

∴

12.解：(1)∵對任意，函數(shù)滿足，且

  ∴

∵，∴=f(a)=a

(2) ∵對任意，函數(shù)滿足,有且僅有一個實數(shù),使得

∴對任意，有

上式中，令