[數(shù)學(xué)論文]也談高考三角函數(shù)熱點問題

 

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一, 三角函數(shù)問題也是歷年高考的熱點問題,本文以2008年全國各地高考試題為例對高考三角函數(shù)部分的熱點問題再進行熱點分析,僅供參考.

一、考小題,重在基礎(chǔ).有關(guān)三角函數(shù)的小題,其考查的重點在于基礎(chǔ)知識,如:解析式、圖像及圖像變換、定義域、值域、五性(最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)及簡單的三角變換(求值、化簡、比較大。┑热允歉呖嫉闹攸c.

例1、(江西6)函數(shù)是(    )

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A.以為周期的偶函數(shù)     B.以為周期的奇函數(shù)

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C.以為周期的偶函數(shù)     D.以為周期的奇函數(shù)

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解析:,

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所以此函數(shù)的周期為,且為偶函數(shù).

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例2.(山東卷5)已知cos(α-)+sinα=(   )

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(A)-    (B)            (C)-             (D)

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解析:

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      ,

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.

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例3、(全國一8)為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像(    )

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A.向左平移個長度單位            B.向右平移個長度單位

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C.向左平移個長度單位            D.向右平移個長度單位

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解析:.

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二、考大題,難度明顯降低,通過三角公式的變形,轉(zhuǎn)化,最終化簡成一角一名形式,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)等求解仍不會退色.

例4.(安徽17)已知函數(shù)

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(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程;

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(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

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解析:(1)

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               .

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(2),

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因為在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

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所以   當(dāng)時,取最大值 1    ,

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又  當(dāng)時,取最小值,

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所以 函數(shù) 在區(qū)間上的值域為.

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三、考應(yīng)用,融入三角形再現(xiàn)亮點

例5.(全國Ⅰ17)設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為,且,

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(Ⅰ)求邊長

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(Ⅱ)若的面積,求的周長

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解析:(1)由兩式相除,有:

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,

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又通過知:,

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,,

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(2)由,得到

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,

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解得:

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最后

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四、考綜合,知識交叉命題備受命題者的青睞

例6.(江蘇17)某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處,已知AB=20km,BC=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界),且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP,設(shè)排污管道的總長為ykm。

(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式:

①設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式;

②設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短.

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解析:(1)①由條件知PQ垂直平分AB,

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若∠BAO=θ(rad),則,

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,

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,

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所以

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所求函數(shù)關(guān)系式為.

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②若OP=x(km),則OQ=10-x,所以,

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所求函數(shù)關(guān)系式為.

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(2)選擇函數(shù)模型①,,

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,得:  .

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當(dāng),y是θ的減函數(shù);當(dāng),y是θ的增函數(shù);

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所以當(dāng)時,.

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此時點O位于線段AB的中垂線上,且距離AB邊km處.

練習(xí):

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1.(陜西1) 等于(  )

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A.             B.         C.           D.

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2.(浙江2)函數(shù)的最小正周期是 (  )

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    (A)         (B)           (C)         (D)

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3.(天津6) 把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度,再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象所表示的函數(shù)是(    )

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A.          B.

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C.          D.

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4.(四川7)的三內(nèi)角的對邊邊長分別為,若,則( )

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。ǎ粒   。ǎ拢  。ǎ茫   (D)

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5.(四川17)求函數(shù)的最大值與最小值.

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6.(全國Ⅱ17)在中,

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)設(shè),求的面積.

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7.(山東17)(本小題滿分12分)

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已知函數(shù))為偶函數(shù),且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到函數(shù)的圖象,求的單調(diào)遞減區(qū)間.

答案:

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1.B 2. B  3. C  4 .B

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5. 解析:

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,

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由于函數(shù)中的最大值為: ,

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最小值為:

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故當(dāng)取得最大值,當(dāng)取得最小值.

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6. 解析:(Ⅰ)由,得

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,得

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所以

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(Ⅱ)由正弦定理得

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7. 解析:(Ⅰ)

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因為為偶函數(shù),

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所以對恒成立,

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因此

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整理得

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因為,且,

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所以

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又因為

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所以

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由題意得,所以

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因此

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(Ⅱ)將的圖象向右平移個單位后,得到的圖象,

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所以

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當(dāng)),

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)時,單調(diào)遞減,

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因此的單調(diào)遞減區(qū)間為).

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所以的面積

通過近幾年高考中出現(xiàn)的三角函數(shù)的考題的再次深思和研究,猜測2009年高考,利用三角公式化簡求值,求五性,在三角形中解三角,各知識點的交叉命題如與平面向量等仍會再現(xiàn)亮點.

 

 

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