宜春市2006年高考模擬考試

數學(理科)試卷

一、選擇題(本大題共12小題，每小題均史有唯一正確答案12×5分=60分)

1.復Z在映射f下的象為z?i，則-1+2i的原象為

A.2+i                       B.2-i                            C.-2+i                          D.-2-i

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2.已知集合M不={(x，y)|y≤x},P={(x,y)|x+y≤2},S={(x,y)|y≥0},T=M∩P∩S,點E(x，y)∈T，則3y+x的最大值為

A.充分不必要條件    B.必要非充分條件              C.充要條件                  D.非充分非必要條件

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3.已知集合M={(x，y)|y≤x},P={(x，y)|x+y≤2},S={(x，y)|y≥0},T=M∩P∩S,點E(x,y)∈T,則3y+x的最大值為

  A.0               B.2                 C.4                 D.6

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4.已知函數f(x)=，按向量平移此函數圖象，使其比簡為反比例函數的解析式，則向為

A.(-1，1)                 B.(1，-1)                            C.(-1，-1)                    D.(1，1)

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5.若在二項式(3x+5)10的展開式中任取一項，則該項的系數為奇數的概率為

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A.                       B.                           C.                           D.

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6.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC,則△ABC的形狀是

  A.不等邊三角形              B.直角三角形                     C.等邊三角形                     D.等腰直角三角形

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7.F1、F2是雙曲線=1的左、右焦點，P、Q為右支上兩點，直線PQ過F2，且傾斜角為α，則|PF1|+|QF1|-|PQ|的值為

  A.16                         B.12                                   C.8                              D.隨α的大小而變化

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8.已知a>0，設命題P：函數f(x)=x+在區(qū)間(1，2)上單調遞增，命題Q：不等式|x-1|-|x+2|<4a對任意x∈R都成立，若P或Q為真命題，P且Q為假命題，則實數a的取值范圍是

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  A.               B.                   C.0<a≤或a>1         D.0<a<或a≥1

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9.拋物線y=x2上點A處的切線與直線3x-y+1=0的夾角45°，則點A的坐標為

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  A.(-1，1)                 B.()                     C.(1,1)                         D.(-1，1)或()

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10.若tanx1?tanx2=1,則sinx1?sinx2最大值為

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  A.                        B.                                   C.1                              D.無最大值

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11.已知函數f(x)在R上為偶函數，f(x+1)+f(x)=1,x∈[1,2]時，f(x)=2-x,則f(-2006)的值為

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  A.1.5                        B.0                              C.1                              D.0.5

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12.水平桌面上放置這一個容積為V的密閉長方體玻璃容器ABCD-A1B1C1D1，其中裝有V的水.

  ①把容器一端慢慢提起，使容器的一條棱AD保持在桌面上，這個過程中，水的形狀始終是柱體；

②在①中的運動過程中，水面始終是矩形；

③把容器提離桌面，隨意轉動，水面始終過長方體內一個定點；

④在③中水與容器的接觸面積始終不變.

  以上說法中正確的個數是為

A.1                          B.2                              C.3                              D.4

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二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.已知函數f(x)對于任意x1、x2∈R+,恒有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2),若f()=，則f(8)=______.

 

 

 

 

5

 

 

 

 

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14.已知a、b、c∈R，且三次方程x3+ax2+bx+c=0有三個實根x1、x2、x3仿照二次方程根與系數的關系，寫出三次方程根與系數的關系，則x1+x2+x3、x1?x2+x2?x3+x3?x1、x1?x2?x3的值依次分別為_____.

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15.將1、2、3……8、9這9個數字填在如圖所示的3×3的

表格中，每格填一個數，要求每一行從左到右，每一列從上到

下都依次增大，5已定在中間位置，則不同的填法種數為________。

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16.關于函數f(x)=  (a為常數且a>0)，下列表述正確的為________.

  (將你認為正確的都填上)

(1)它的最小值為0；

(2)它在每一點處都連續(xù)；

(3)它在R上為增函數.

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三、解答題(本大題共6小題，共74分，17-21題每題12分，22題14分，解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知△ABC的面積S滿足≤S≤3，且的夾角為x.

(1)求x的取值范圍

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(2)已知=(cos4x，-sinx),=(1,sin3x+2cosx),f(x)= ?，求f(x)的值域.

 

 

 

 

 

 

 

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18.某人上樓梯，每步上一階的概率為，每步上二階的概率為，設該人從臺階下的平臺開始出發(fā)，到達第n階的概率為Pn.

  (1)求P1，P2；

(2)該人共走了5步，求該人這5步共上的階數ξ的數學期望.

 

 

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19.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側棱與底面邊長均為2，且∠A1AD=∠A1AB=60°,AC與BC交于點O.

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  (1)求證：A1O⊥平面ABCD；

  (2)求BC1與底面ABCD所成的角；

(3)求側棱AA1和截面B1D1DB的距離.

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.設實數x、y同時滿足條件4x2-9y2=36,且x>0,y<0.

  (1)求y=f(x)的解析式和定義域；

  (2)設y=f(x)的反函數y=f-1(x)圖象上任意一點的切線的斜率為k，試求k的取值范圍.

 

 

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21.已知(n，n)(n∈R，n為變量)，的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：①，λ≠0,t∈R)；③動點P的軌跡Q經過點B(0，-1)

  (1)求c的值；

  (2)求曲線Q的方程；

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  (3)方向向量為=(1,k)(k≠0)的直線l與曲線Q交于兩個不同的點M、N，，求k的取值范圍.

 

 

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22.對于數列{an}，定義其倒均數Vn=

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(1)若數列{an} 中，Vn=求{an}的通項公式；

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(2)已知{bn}為等比數列，且其公比為，其倒均數為Vn,是否存在正整數m,使得當n≥m(n∈N*)時，Vn<恒成立，如果存在，求m的最小值；如不存在，說明理由.

 

 

 

 

 

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

A

C

D

C

C

A

C

D

B

B

D

二、填空題

13.3        14.-a、b、-c         15.18             16.(1)(2)

三、解答題

17.解：(1)∵夾角為x,∴cosx=6

S=sin∠ABC=sin(π-x)=sinx                           …………2分

∴                                    …………4分

x∈[0,π],∴x∈[]                                                                              …………6分

(2)f(x)==cos4x×1+(-sinx)(sin3x+2sin2x)=cos4x-sin4x-2sinxcosx

=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+)                  …………9分

∵

∴f(x)∈[-]                                                                                       …………12分

18.解：(1)從平臺達到第一階每步只能上一階，因此概率P1=                …………2分

從平臺到達第二階有二種走法：走兩步，或一步到達，

故概率為P2=×+                                                                      …………5分

(2)該人走了五步，共上的階數ξ取值為5，6，7，8，9，10

ξ的分布列為：(6分)

ξ

5

6

7

8

9

10

P

()5

Eξ=5×()5+6×    …………12分

19.(1)證：連結A1D、A1B

由已知可得△AA1B和△A1AD為全等的正三角形.

∴A1B=A1D∴A1O⊥BD

又AB=AD，BD=BD

∴△ABD≌△A1BD∴A1O=AO=

又AA1=2∴A1O⊥AO

∴A1O⊥平面ABCD                                                                        …………4分

(2)過C1作C1H⊥AC交AC的延長線于H，則C1H⊥平面ABCD

連結BH，則∠C1BH為BC1與平面ABCD所成的角.

∵OH=A1C1=2，BO=，∴BH=

∴tan∠C1BH=∠C1BH=arctan                       …………8分

((2)也可用向量法求解)

(3)連結OO1，易知AA1∥OO1，面AA1O1O⊥面BDD1B1

作A1G⊥OO1，則A1G為AA1與面B1D1DB的距離.

由(1)知A1O=AO=A1O1，A1O⊥A1O1

∴A1G==1                                                                             …………12分

((3)也可用向量法或等積法求解)

20.(1)y2=,∵y2>0,x>0,∴x>3又y<0

  ∴y=-                                                                      …………4分

  (2)x=∴y=f-1(x)=  (x<0)                                        …………7分

  設(x0，y0)為y=f-1(x)圖象上任一點.

  =

  故-                                                                                   …………12分

21.(1)，當n=時，

∴c=                                                                                            …………3分

(2)∵直線x=∴P點在以F為焦點，x=為準線的橢圓上                                                                                …………5分

設P(x,y)則點B(0，-1)代入，解得a=

∴曲線方程為                                                                   …………7分

 (3)設l:y=kx+m(k≠0)與聯立，消去y得：(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,

  △>0得：m2<3k2+1                                                                         …………9分

  設M(x1，y1),N(x2，y2),MN中點A(x0,y0),由，

  由韋達定理代入KBA=-，可得到m=

  ∴k2-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1                                                 …………11分

  即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l與曲線Q交于兩個不同的點M、N

  使                                                                                 …………12分

22.(1)由于數列{an}的倒均數，Vn=

得：                                                           …………2分

當n≥2時，所以，又當n=1時，a1=也適合上式.

∴an=                                                                           …………6分

(2)由于{bn}是公比為q=的等比數列，∴{}為公比為2的等比數列，其倒均數

Vn=，不等式Vn<                                      …………8分

若b1<0,則2n-1>8n，令f(x)=2x-8x-1，則f(x)=2xln2-8,當x≤3時，f(x)<0,當x>4時，f(x)>0,∴f(x)當x≥4時是增函數又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故當n≥6時，f(n)>0，即2n-1>8n恒成立，因此，存在正整數m，使得當n≥m,n∈N*時，Vn<恒成立，且m的最小值為6……12分

若b1>0,則上式即為2n-1<8n,顯然當n≤5時成立，而n>5時不成立，故不存在正整數m,使n≥m(n∈N*)時，Vn=成立                                                                 …………14分

 

 


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