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精析精練

---------常用邏輯用語

典例分析:

一. 邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題

例1.寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假.

（1）p：9是144的約數(shù)，q：9是225的約數(shù)。

（2）p：方程x²－1=0的解是x=1，q：方程x²－1=0的解是x=－1；

（3）p：實數(shù)的平方是正數(shù)，q：實數(shù)的平方是0.

分析:由簡單命題構(gòu)成復(fù)合命題時,若兩個命題屬于同時都要滿足的為“且”，屬于并列的為“或”.然后通過“或”、“且”、“非”命題的真值表判斷各命題的正誤.

解析:（1）p或q：9是144或225的約數(shù)；p且q：9是144與225的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?是144的約數(shù)，且9是225的約數(shù)）；非p：9不是144的約數(shù).

∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q” 為真，而“非p”為假.

（2）p或q：方程x²－1=0的解是x=1,或方程x²－1=0的解是x=－1（注意，不能寫成“方程x²－1=0的解是x=±1”，這與真值表不符）；p且q：方程x²－1=0的解是x=1,且方程x²－1=0的解是x=－1；非p：方程x²－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思）；

∵p假，q假，∴“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真.

（3）p或q：實數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0； p且q：實數(shù)的平方都是正數(shù)且實數(shù)的平方都是0；非p：實數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實數(shù)，其平方不是正數(shù)）；

∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真.

點評: “p或q”是指p,q中的任何一個或兩者.例如，“xA或xB”，是指x可能屬于A但不屬于B（這里的“但”等價于“且”），x也可能不屬于A但屬于B，x還可能既屬于A又屬于B（即xAB）；“p且q”是指p,q中的兩者.例如，“xA且xB”，是指x屬于A，同時x也屬于B（即xAB）.“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“xA”，則“非p”表示x不是集合A的元素（即x）

二.四種命題及其相互關(guān)系

例2. （1）“若，則沒有實根”，其否命題是 .

（2）判斷命題：“對于實數(shù)、，若＋≠8，則≠2或≠6”的真假.

分析:書寫命題的幾種形式時,要分清條件與結(jié)論,依據(jù)定義書寫;對于直接較難判斷真假的命題可依據(jù)命題間的等價關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化解答.

解析:（1）否命題為:若，則有實根

（2）本題若直接判斷,很難確定＋≠8是否能推出≠2或≠6，若利用原命題與逆否命題等價這一結(jié)論，可使本題的解題思路清晰，步驟簡潔,原命題的逆否命題為：若=2且=6則＋=8。而我們?nèi)菀字溃?dāng)=2且=6時＋=8 成立.∴原命題的逆否命題為真，則原命題為真。

點評:在書寫命題的幾種形式或判斷命題的真假時要注意如下幾方面:（1）若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若?p 則?q” ；逆否命題為“若?q 則?p”;（2）在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”;（3）要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定；（4）對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價關(guān)系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。

三.充要條件

例3.在下列四個結(jié)論中，正確的有________.(填序號)

①若A是B的必要不充分條件，則非B也是非A的必要不充分條件

②“”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件

③“x≠1”是“x²≠1”的充分不必要條件

④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分條件

分析:關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。

解析: ①∵原命題與其逆否命題等價，∴若A是B的必要不充分條件，則非B也是非A的必要不充分條件. ②結(jié)合二次函數(shù)的圖象易知命題是正確的；③x≠1x²≠1，反例：x=-1x²=1，∴“x≠1”是“x²≠1”的不充分條件. ④x≠0x+|x|＞0，反例x=-2x+|x|=0.但x+|x|＞0x＞0x≠0,∴“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分條件.答案:①②④

點評:判斷充要條件關(guān)系有三種方法：

①定義法：若，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若，則A是B的充要條件。

②利用原命題和逆否命題的等價性來確定 “若A，則B”及“若B，則A”的真假性。

③利用集合的包含關(guān)系：若則A是B的充分條件，B是A的必要條件；

若A=B，則A是B的充要條件。

鞏固練習(xí)

基礎(chǔ)驗收

1.p:“有些三角形是等腰三角形”，則┐p是（）

A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形

C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形

2.若集合，，則“”是“”的

A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件．

3.原命題：“設(shè)、、，若則”的逆命題、否命題、逆否命題真命題共有：（）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

4.設(shè)命題p：若. 給出下列四個復(fù)合命題：

①p或q；②p且q；③p；④q,其中真命題的個數(shù)有（）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

5.在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)可以是（）

（A）1或2或3或4 （B）0或2或4

（C）1或3 （D）0或4

6..下列四個命題中真命題是

①“若xy=1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題 ②“面積相等的三角形全等”的否命題 ③“若m≤1，則方程x²－2x+m=0有實根”的逆否命題 ④“若A∩B=B，則AB”的逆否命題

A.①② B.②③ C.①②③ D.③④

7.已知真命題“”和“”, 那么“”是“”的( )

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

8.若命題“非p”與命題“p或q”都是真命題，那么（）

A．命題p與命題q的真值相同 B．命題q一定是真命題

C. 命題P一定是真命題 D.無法確定

9.若與都是非零向量，則“”是“”的( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D.既不充分也不必要條件

10.命題“a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為

A.a+b不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)B.a+b不是偶數(shù)，則a、b都不是偶數(shù)

C.a、b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)D.a、b都不是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)

11.使不等式2x²－5x－3≥0成立的一個充分而不必要條件是（）

A.x＜0 B.x≥0 C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3

12.若已知A是B的充分條件，C是D的必要條件，而B是D的充要條件，則D是C的_______條件；D是A的_______條件；A是C的_______條件，D是B的_______條件.

13．有下列四個命題：

①命題“若，則，互為倒數(shù)”的逆命題②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題；

③命題“若≤1，則有實根”的逆否命題④命題“若∩=，則”

的逆否命題其中是真命題的是（填上你認(rèn)為正確命題的序號）

14.指出下列復(fù)合命題的形式及其構(gòu)成.

（1）若α是一個三角形的最小內(nèi)角，則α不大于60°；

（2）一個內(nèi)角為90°，另一個內(nèi)角為45°的三角形是等腰直角三角形；

（3）有一個內(nèi)角為60°的三角形是正三角形或直角三角形.

15.若a、b、c∈R，寫出命題“若ac＜0，則ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假.

16.已知：命題：，命題：，若是的充分不必要條件，求的取值范圍。

17.設(shè)命題：函數(shù)的定義域為；命題：不等式對一切正實數(shù)均成立．如果命題“或”與命題“且”的真假性不同，求實數(shù)的取值范圍．

挑戰(zhàn)高考

18.（07山東理7）命題“對任意的，”的否定是（）

A．不存在，B．存在，

C．存在， D．對任意的，

19.（06江西卷）下列四個條件中，是的必要不充分條件的是（　�。�

Ａ，Ｂ,

Ｃ為雙曲線,Ｄ,

20.(07重慶)命題“若，則”的逆否命題是（　�。�

Ａ．若，則或Ｂ．若，則

Ｃ．若或，則Ｄ．若或，則

21.（07湖南文）設(shè)（），關(guān)于的方程（）有實根，則是的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

22.(06?湖北)有限集合中元素的個數(shù)記做，設(shè)都為有限集合，給出下列命題：①的充要條件是；

②的必要條件是；③的充分條件是；

④的充要條件是；其中真命題的序號是( )

A．③④ B．①② C．①④ D．②③

23.（07全國卷1），是定義在上的函數(shù)，，則“，均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的（　　）

Ａ充要條件Ｂ充分而不必要的條件Ｃ必要而不充分的條件Ｄ既不充分也不必要的條件

24.（07湖北）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件�，F(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；⑤是的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（）

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

25.下列各小題中，是的充分必要條件的是

①有兩個不同的零點

②是偶函數(shù)③

④

A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

鞏固練習(xí)答案部分

基礎(chǔ)驗收

1.答案C;解析:本題屬存在性命題的否定命題,一般地若命題p：“存在使P（x）成立”，┐p為：“對任意,有不成立”.

2.答案:A;解析:據(jù)定義判斷.

3.答案:B;解析:若,則,即原命題正確; 而若,則,不一定成立(不成立),即得其逆命題為假命題.∴逆否命題為真命題,否命題為假命題,真命題共的1個,故應(yīng)選B.

4.答案:C;解析:命題p:若為假命題,因為中有一個為0,則此命題就是不成立;命題也是假命題.則①為假命題;②為假命題;③為真命題;④真命題;綜上所述,其中真命題有2個,故選C.

5.答案:B;解析:結(jié)合命題的等價關(guān)系進(jìn)行判斷．

6.答案:C;解析:寫出滿足條件的命題再進(jìn)行判斷.

7.答案:A;解析:轉(zhuǎn)化為逆否命題進(jìn)行判斷.

8.B;解析:據(jù)已知易知P假,q一定真.

9.答案:C;解析:由于為非零向量，故.故應(yīng)選C.

10.答案: A;解析:命題“a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為“a+b不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)”

11.答案:C;解析：∵2x²－5x－3≥0成立的充要條件是x≤－或x≥3,只需已知范圍對應(yīng)的集合是此不等式的解集的真子集即可.

12.答案:充分、必要、充分、充要;解析:ABDC， D是C的充分條件，D是A的必要條件，A是C的充分條件，D是B的充要條件.

13答案:①②③;解析:依次寫出再作出判斷.

14.解析:（1）是非p形式的復(fù)合命題，其中p:若α是一個三角形的最小內(nèi)角，則α＞60°.

（2）是p且q形式的復(fù)合命題，其中p:一個內(nèi)角為90°，另一個內(nèi)角為45°的三角形是等腰三角形，q:一個內(nèi)角為90°，另一個內(nèi)角為45°的三角形是直角三角形.

（3）是p或q形式的復(fù)合命題，其中p:有一個內(nèi)角為60°的三角形是正三角形，q：有一個內(nèi)角為60°的三角形是直角三角形.

15.解：逆命題“若ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）有兩個不相等的實數(shù)根，則ac＜0”是假命題，如當(dāng)a=1，b=－3，c=2時，方程x²－3x+2=0有兩個不等實根x₁=1，x₂=2，但ac=2＞0.

否命題“若ac≥0，則方程ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）沒有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題.這是因為它和逆命題互為逆否命題，而逆命題是假命題.

逆否命題“若ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）沒有兩個不相等的實數(shù)根，則ac≥0”是真命題.因為原命題是真命題，它與原命題等價

16.分析：因為是的充分不必要條件，即，由逆否命題與原命題等價，得，使已知條件簡單化。

解析:由得，從而，所以命題：Ａ=；由得，所以命題：，

∵ ，∴，即，∴，∴，又∵

∴

17.命題為真命題等價于對恒成立．當(dāng)時，則矛盾．故,即得.命題為真命題等價于對一切正實數(shù)均成立．而當(dāng)時，，所以.因為命題“或”與命題“且”的真假性不同，則必有：命題“或”為真，命題“且”為假．所以，命題與有且僅有一個真命題.當(dāng)真假時，則實數(shù)的取值范圍為,當(dāng)真假時，則實數(shù)的取值范圍為．綜合以上得，所求實數(shù)的取值范圍為.