第三單元：圓周運動

　　[內(nèi)容和方法]

　　本單元內(nèi)容包括圓周運動的動力學(xué)部分和物體做圓周運動的能量問題，其核心內(nèi)容是牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律等知識在圓周運動中的具體應(yīng)用。

　　本單元中所涉及到的基本方法與第二單元牛頓定律的方法基本相同，只是在具體應(yīng)用知識的過程中要注意結(jié)合圓周運動的特點：物體所受外力在沿半徑指向圓心的合力才是物體做圓周運動的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物體的受力情況同樣也是本單元的基本方法；只有物體所受的合外力的方向沿半徑指向圓心，物體才做勻速圓周運動。根據(jù)牛頓第二定律合外力與加速度的瞬時關(guān)系可知，當(dāng)物體在圓周上運動的某一瞬間的合外力指向圓心，我們?nèi)钥梢杂门ｎD第二定律對這一時刻列出相應(yīng)的牛頓定律的方程，如豎直圓周運動的最高點和最低點的問題。另外，由于在具體的圓周運動中，物體所受除重力以外的合外力總指向圓心，與物體的運動方向垂直，因此向心力對物體不做功，所以物體的機(jī)械能守恒。

　　[例題分析]

　　在本單元知識應(yīng)用的過程中，初學(xué)者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：對物體做圓周運動時的受力情況不能做出正確的分析，特別是物體在水平面內(nèi)做圓周運動，靜摩擦力參與提供向心力的情況；對牛頓運動定律、圓周運動的規(guī)律及機(jī)械能守恒定律等知識內(nèi)容不能綜合地靈活應(yīng)用，如對于被繩（或桿、軌道）束縛的物體在豎直面的圓周運動問題，由于涉及到多方面知識的綜合，表現(xiàn)出解答問題時顧此失彼。

　　例1、 一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多），圓管中有兩個直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點）。A球的質(zhì)量為m₁，B球的質(zhì)量為m₂。它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v₀。設(shè)A球運動到最低點時，球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m₁，m₂，R與v₀應(yīng)滿足關(guān)系式是。

　　【錯解分析】錯解：依題意可知在A球通過最低點時，圓管給A球向上的彈力N₁為向心力，則有

　　B球在最高點時，圓管對它的作用力N₂為m₂的向心力，方向向下，則有

　　因為m₂由最高點到最低點機(jī)械能守恒，則有

　　 錯解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏規(guī)范的解題過程。沒有做受力分析，導(dǎo)致漏掉重力，表面上看分析出了N₁=N₂，但實際并沒有真正明白為什么圓管給m₂向下的力�？傊畯母�本上看還是解決力學(xué)問題的基本功受力分析不過關(guān)。

　　【正確解答】首先畫出小球運動達(dá)到最高點和最低點的受力圖，如圖4-1所示。A球在圓管最低點必受向上彈力N₁，此時兩球?qū)�圓管的合力為零，m₂必受圓管向下的彈力N₂，且N₁=N₂。

　　據(jù)牛頓第二定律A球在圓管的最低點有

　　同理m₂在最高點有

　　m₂球由最高點到最低點機(jī)械能守恒

　　【小結(jié)】 比較復(fù)雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對象，逐一分析就會變?yōu)楹唵螁栴}。找出其中的聯(lián)系就能很好地解決問題。

　　例2、 使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點上升，那么需給它最小速度為多大時，才能使它達(dá)到軌道的最高點？

　　【錯解分析】錯解：如圖4-2所示，根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最高點A時的勢能等于它在圓形軌道最低點B時的動能（以B點作為零勢能位置），所以為

　　從而得

　　 小球到達(dá)最高點A時的速度v_A不能為零，否則小球早在到達(dá)A點之前就離開了圓形軌道。要使小球到達(dá)A點（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點的速度必須滿足

　　式中，N_A為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在A點作圓周運動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當(dāng)N_A=0時，

　　【正確解答】以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。小球在圓形軌道最高點A時滿足方程

　　根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最低點B時的速度滿足方程

　　解(1)，(2)方程組得

　　
　　軌道的最高點A。

　　例3、 用長L=1.6m的細(xì)繩，一端系著質(zhì)量M=1kg的木塊，另一端掛在固定點上�，F(xiàn)有一顆質(zhì)量m =20g的子彈以v₁=500m/s的水平速度向木塊中心射擊，結(jié)果子彈穿出木塊后以v₂=100m/s的速度前進(jìn)。問木塊能運動到多高？（取g =10m/s²，空氣阻力不計）

　　【錯解分析】錯解：在水平方向動量守恒，有

mv₁=Mv+mv₂ (1)

　　式①中v為木塊被子彈擊中后的速度。木塊被子彈擊中后便以速度v開始擺動。由于繩子對木塊的拉力跟木塊的位移垂直，對木塊不做功，所以木塊的機(jī)械能守恒，即

　　h為木塊所擺動的高度。解①，②聯(lián)立方程組得到

　　v = 8(v/s)

　　h = 3.2(m)

　　 這個解法是錯誤的。h = 3.2m，就是木塊擺動到了B點。如圖4-3所示。則它在B點時的速度v_B。應(yīng)滿足方程

　　這時木塊的重力提供了木塊在B點做圓周運動所需要的向心力。解

　　如果v_B＜4 m/s，則木塊不能升到B點，在到達(dá)B點之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運動。而木塊在B點時的速度v_B=4m/s，是不符合機(jī)械能守恒定律的，木塊在B點時的能量為(選A點為零勢能點)

　　兩者不相等�？梢娔緣K升不到B點，一定是h＜3.2 m。

　　實際上，在木塊向上運動的過程中，速度逐漸減小。當(dāng)木塊運動到某一臨界位置C時，如圖4－4所示，木塊所受的重力在繩子方向的分力恰好等于木塊做圓周運動所需要的向心力。此時繩子的拉力為零，繩子便開始松弛了。木塊就從這個位置開始，以此刻所具有的速度v_c作斜上拋運動。木塊所能到達(dá)的高度就是C點的高度和從C點開始的斜上拋運動的最大高度之和。

　　【正確解答】 如上分析，從式①求得v_A= v = 8m/s。木塊在臨界位置C時的速度為v_c，高度為

h′=L(1+cosθ)

　　如圖4-4所示，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

　　木塊從C點開始以速度v_c做斜上拋運動所能達(dá)到的最大高度h″為

　　【小結(jié)】 物體能否做圓運動，不是我們想象它怎樣就怎樣，這里有一個需要的向心力和提供向心力能否吻合的問題，當(dāng)需要能從實際提供中找到時，就可以做圓運動。所謂需要就是符合牛頓第二定律F_向= ma_向的力，而提供則是實際中的力若兩者不相等，則物體將做向心運動或者離心運動。

　　例4 假如一做圓周運動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的2倍，仍做圓周運動，則[ ]

　　A．根據(jù)公式v=ωr，可知衛(wèi)星運動的線速度增大到原來的2倍。

　　D．根據(jù)上述選項B和C給出的公式，可知衛(wèi)星運動的線速度將減

　　【錯解分析】錯解：選擇A，B，C

　　所以選擇A，B，C正確。

　　A，B，C中的三個公式確實是正確的，但使用過程中A，

　　【正確解答】正確選項為C，D。

　　A選項中線速度與半徑成正比是在角速度一定的情況下。而r變化時，角速度也變。所以此選項不正確。同理B選項也是如此，F(xiàn)∝1/r²是在v一定時，但此時v變化，故B選項錯。而C選項中G，M，m都是恒量，所以F∝

　　【小結(jié)】 物理公式反映物理規(guī)律，不理解死記硬背經(jīng)常會出錯。使用中應(yīng)理解記憶。知道使用條件，且知道來攏去脈。

　　衛(wèi)星繞地球運動近似看成圓周運動，萬有引力提供向心力，由此將

　　根據(jù)以上式子得出

　　例5、 從地球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星A和B，繞地球做勻速圓周運動的半徑之比為R_A∶R_B=4∶1，求它們的線速度之比和運動周期之比。

　　設(shè)A，B兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m_A，m_B。

　　 這里錯在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān)。根據(jù)萬有引力定律知道：

　　可見，在“錯解”中把A，B兩衛(wèi)星的重力加速度g_A，g_B當(dāng)作相同的g來處理是不對的。

　　【正確解答】衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有

　　【小結(jié)】 我們在研究地球上的物體的運動時，地面附近物體的重力加速度近似看做是恒量。但研究天體運動時，應(yīng)注意不能將其認(rèn)為是常量，隨高度變化，g值是改變的。