北京東城區(qū)

2008―2009學(xué)年度高三第二學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)（二）

數(shù)學(xué)試題（理科）

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。

 

第Ⅰ卷（選擇題  共40分）

注意事項(xiàng)：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目寫在答題卡上.

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).不能答在試卷上.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1．已知集合的集合N的個(gè)數(shù)是                                  （    ）

       A．1                        B．2                        C．3                        D．4

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2．處連續(xù)的                                 （    ）

       A．充分不必要條件                                 B．必要不充分條件

       C．充要條件                                           D．既不充分也不必要條件

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3． 在100個(gè)零件中，有一級(jí)品20個(gè)，二級(jí)品30個(gè)，三級(jí)品50個(gè)，從中抽取20個(gè)作為樣本

       ①采用隨機(jī)抽樣法：抽簽取出20個(gè)樣本；

       ②采用系統(tǒng)抽樣法：將零件編號(hào)為00，01……，99，然后平均分組抽取20個(gè)樣本；

       ③采用分層抽樣法：從一級(jí)品，二級(jí)品，三級(jí)品中抽取20個(gè)樣本。

下列說(shuō)法中正確的是                                                                                        （    ）

       A．無(wú)論采用哪種方法，這100個(gè)零件中每一個(gè)被抽到的概率都相等

       B．①②兩種抽樣方法，這100個(gè)零件中每一個(gè)被抽到的概率都相等；③并非如此

       C．①②兩種抽樣方法，這100個(gè)零件中每一個(gè)被抽到的概率都相等；②并非如此

       D．采用不同的抽樣方法，這100個(gè)零件中每一個(gè)零件被抽到的概率是各不相同的

 

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4．在的系數(shù)分別為a，b，如果的值為      （    ）

       A．70                      B．60                      C．55                      D．40

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5．設(shè)數(shù)列，且對(duì)任意的，則{}的前n項(xiàng)和為Sn為                                                                    （    ）

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       A．           B．           C．           D．

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6．已知直線l1//平面，直線，點(diǎn)的距離為a，A到l2的距離為b，A，B兩點(diǎn)間的距離為c，則                                           （    ）

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       A．          B．           C．           D．

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7．若則角的終邊落在直線（    ）上                              （    ）

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       A．    B．    C．    D．

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8．已知P為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F作拋物線在P點(diǎn)處的切線的垂線，垂足為G，則點(diǎn)G的軌跡方程為                                       （    ）

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       A．                                   B．

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       C．                         D．

 

第Ⅱ卷（共110分）

 

注意事項(xiàng)：

 

 

 

 

 

 

 

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1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。

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2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。

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二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。

9．設(shè)函數(shù)的值為             .

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10．已知過(guò)原點(diǎn)的直線與圓（其中為參數(shù)）相切，若切點(diǎn)在第二象限，則該直線的方程為             .

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最小值為             .

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12．如圖，PD⊥平面在ABCD，ABCD為正方形，

PD=AD，則直線PA與直線BD所成的角

為             .

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13．6個(gè)人分乘兩輛不同的出租車，如果每輛

20090508

             種。

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14．在圓條弦，它們的長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列{}，若a­1為過(guò)該點(diǎn)最短弦的長(zhǎng)，an為過(guò)該點(diǎn)最長(zhǎng)的弦的長(zhǎng)，且公差，則n的值為             .

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三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15．（本小題滿分13分）

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量

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且。

（1）求角C的大��；

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（2）若，求角A的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

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16．（本小題滿分14分）

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如圖，在三棱錐S―ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2M、N分別為AB，SB的中點(diǎn)。

   （1）求證：AC⊥SB；

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17．（本小題滿分12分）

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一個(gè)圓環(huán)直徑為2m,通過(guò)鐵絲BC、CA1、CA2、CA3（A1、A2、A3是圓上三等分點(diǎn)）懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2m，如圖所示。

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   （1）設(shè)BC長(zhǎng)為，鐵絲總長(zhǎng)為，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；

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18．（本小題滿分13分）

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在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一只巨大汽油罐，已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中的概率都是，每次命中與否互相獨(dú)立。

   （1）求恰好射擊5次引爆油罐的概率；

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   （2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望.

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分13分）

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如圖， F為雙曲線的右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形OFPM為菱形。

   （1）求雙曲線C的離心率；

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20．（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)（其中a為常數(shù)，），利用函數(shù)

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方法如下：

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對(duì)于給定的定義域中的x1，令

20090508

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   （1）當(dāng)的通項(xiàng)公式；

   （2）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；

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   （3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一實(shí)數(shù)值作為x1，都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{}？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題

1―8  DAACA  CBD

二、填空題

9．    10．    11．    12．    13．50    14．5

三、解答題

15．（本小題滿分13分）

解：（1）由………………2分

整理得

即……………………3分

又……………………5分

又因?yàn)?sub>，

所以…………………………6分

（2）因?yàn)?sub>，所以

故…………………………7分

由

即，

所以.

即.……………………11分

因?yàn)?sub>……………………12分

故

所以……………………13分

16．（本小題滿分13分）

解：（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OS，OB。

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO，AC⊥OB。又平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=BC，

∴SO⊥平面ABC。

故SB在平面ABC內(nèi)的射影為OB。

∴AC⊥SB.……………………6分

（2）取OB的中點(diǎn)D，作NE⊥CM交GM于E，連結(jié)DE，ND。

在△SOB中，N、D分別為SB，OB的中點(diǎn)，

∴DN//SO，又SO⊥平面ABC，

∴DN⊥平面ABC，由NE⊥CM得DE⊥CM。

故∠NED為二面角N―CM―B的平面角，………………9分

設(shè)OB與CM交于G，則G為△ABC的中心

∴DE⊥CM，BM⊥CM，

∴

在△SAC中可得，

在△SOB中，ND=

在Rt△NDE中，

∴.

∴二面角N―CM―B的大小為……………………14分

解法二：（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OS，OB。

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO，AC⊥OB。

又平面SAC⊥平面ABC，

∴SO⊥平面ABC。

如圖建系為O―xyz。

則A（2，0，0），B（0，2）

C（―2，0，0），S（0，0，），

M（1，），N（），

則

∴AC⊥SB.……………………6分

（2）由（1）得

設(shè)

為平面ABC的法向量，

∴

       ∴二面角N-CM-B的大小為……………………………………………14分

17．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由題意C，A1，A2，A3四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三棱錐，CA1，CA2，CA3為該三棱錐

的三條側(cè)棱，………………………………………………………………2分

三棱錐的側(cè)棱……………………………………4分

于是有（0<x<2）……………………………5分

（Ⅱ）對(duì)y求導(dǎo)得……………………………………8分

令=0得解得或（舍），……10分

當(dāng)

故當(dāng)時(shí)，即BC=1.5m時(shí)，y取得最小值為6m。………………………13分

18．（本小題滿分13分）

       解：（Ⅰ）記“恰好射擊5次引爆油罐”的事件為事件A，

則……………………………………4分

（Ⅱ）射擊次數(shù)的可能取值為2，3，4，5�！�5分

=；

=；

=；

=�！�11分

故的分布列為

2

3

4

5

P

……………………………………………………………………………12分

     E=2×+3×+4×+5×=

故所求的數(shù)學(xué)期望為………………………………………………13分

19．（本小題滿分13分）

       解：（Ⅰ）由于四邊形OFPM是菱形，故

作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于點(diǎn)H。

則…………………………………………………3分

所以離心率

整理得解得或（舍）。

故所求雙曲線的離心率為2。……………………………………………5分

 

              
   
              
    
    
              
    
               
               
               
               
               
               
               
               
               
                  （Ⅱ）由得，又故。
                  雙曲線方程為。
                 設(shè)P的橫坐標(biāo)為，由得即=a
                     將其帶入雙曲線方程
                     解得即                                                                    7分
                     ，故直線AB的方程為                                      8分
                     將直線AB方程代入雙曲線方程                                  10分
                     由得
                     解得，則
                     所求雙曲線方程為                                                                       13分
              20．（本小題滿分14分）
                     解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以
                     兩邊取倒數(shù)，得，即=-1，又
              所以數(shù)列是首項(xiàng)為―1，公差d= ―1的等差數(shù)列………………3分
              故，
              所以
              即數(shù)列的通項(xiàng)公式為……………………4分
              （2）根據(jù)題意，只需當(dāng)時(shí)，方程有解，………………5分
              即方程有不等式a的解
              將x=a代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等。
              故方程不可能有解x=a�！�7分
              由，得.
              即實(shí)數(shù)a的取值范圍是……………………10分
              （3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使處取定義域中的任一實(shí)數(shù)值作為x1，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{}，
              那么根據(jù)題意可知，中無(wú)解，……………………12分
              即當(dāng)無(wú)實(shí)數(shù)解.
              由于的解。
              所以對(duì)任意無(wú)實(shí)數(shù)解，
              因此,
              故a= ―1即為所求a的值…………………………14分
               
              
				
	
              
		
              


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